第4讲代数综合

1、第4讲 代数综合 一 一次函数1 正比例函数一定经过_点2 一次函数的性质：（1） 当时，其图象定经过_象限；时，其图象定经过_象限（2） 当时，其图象与轴交于_半轴；当时，其图象与轴交于_半轴3 一次函数与轴的交点为_，与轴的交点为_ 4 若两直线与平行，则两直线的一次项系数_二 二次函数1 二次函数的定义：一般地，形如_（，常数，_）的函数称为的二次函数，其中为二次函数的_，二次函数的_，二次函数的_2 二次函数的解析式填表：一般式顶点式交点式解析式顶点坐标对称轴3 二次函数与轴的交点为_和_，轴的交点为_ 4 五点画图法：在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：_；_；_；

2、_；_三 反比例函数1 反比例函数的性质：当时，函数图象的两个分支分别位于_象限；当时，函数图象的两个分支分别位于_象限2 如图，反比例函数图象上一点向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为_如图，反比例函数图象上一点向轴或轴作垂线，并连接原点，所围成三角形的面积为_四 函数的平移：1 平移口诀“左加右减，上加下减” 2 填表：向左平移个单位向右平移个单位向上平移个单位向下平移个单位（了解）五 函数的对称：1 对称口诀“关于谁，谁不变，另外一个变相反，关于原点都要变” 2 填表：关于轴对称关于轴对称关于原点对称（了解）3 关于特殊直线或的对称的解题步骤：（1） 先用五点画图法画出函数的

3、图象，再根据题意进行对称；（2） 求出对称后的顶点坐标；（3） 若关于对称，的符号和值都不变；若关于对称的符号改变，值不变；（4） 根据和对称后的顶点坐标利用顶点式写出对称后的解析式【练1】 （2014年中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点关于原点的对称点为，点是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点）若直线与图象有公共点，结合函数图象，求点纵坐标的取值范围【练2】 （2013年中考）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点 ，其对称轴与轴交于点 。（1）求点，标；（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析

4、式；（3）若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且在这一段位于直线的下方，求该抛物线的解析式。【例1】 （2013年东城一模）已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当为何整数时，原方程的根也是整数【题型总结】整数根问题1 给出参数范围：通过计算可得是的一次形式即的形式，然后通过已知条件可以求出参数的取值范围，在取值范围内取值使方程的根为整数即可；2 分离常数法：通过计算可得是完全平方形式即的形式（假设是一元二次方程中的参数），然后利用求根公式表示出及，并分离常数化简成分子不含参数的形式，例如表示为或，然后通过分母是分子的因数及负因数求解分母中的参数；3

5、 枚举法：通过计算可得是的二次形式，但不是完全平方，即的形式，那么设，之后整理成，再利用平方差分解成，由题可得是整数，所以把分解成两个整数相乘的形式，可得，因为等号左右两边对应相等，可将等号左右两边分别相加再相等及可求出的值.【例2】 （2013年海淀期末）抛物线与轴交于、两点，且点在点的左侧，与轴交于点，（1） 求这条抛物线的解析式；（2） 若点与点在（1）中的抛物线上，且，. 求的值； 将抛物线在下方的部分沿翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与轴恰好只有两个公共点时，的取值范围是_.【题型总结】代数式求值消元思想常见的代数式求值的题型为整体代入及降次，解题思想就是

6、用消元的方法减少未知数的个数，并最终消除所有未知数，得到答案1 整体代入：题中给出或能够根据题意得出一个基本关系式，将此关系式直接代入或变形后代入题中要求的代数式即可2 降次：若题中题中的代数式出现较高的次幂，比如，可将变形为，再将由题中得到基本关系式变形为的形式，代入变形后的代数式即可【例3】 （2014年怀柔一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过和两点（1）求此二次函数的表达式（2）直接写出当时，的取值范围（3）将一次函数的图象向下平移个单位后，与二次函数图象交点的横坐标分别是和，其中，试求的取值范围【题型总结】函数与不等式问题解题思路：找交点分区域比高低写结论（注意等号的取舍）要求

7、画图要精准，用数形结合的方式来分析，寻找到临界点，计算即可【例4】 （2013年丰台一模）二次函数，其顶点坐标为（1）函数的解析式；（2）函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线与这个新图象有两个公共点时，求的取值范围【题型总结】一次函数与二次函数的公共点问题本题型经常会涉及一次函数与二次函数相切的问题，相切时联立两函数得一元二次方程，利用二次方程的求出参数的值1 直线可平移：已知一次函数的值，可先画出的图像，然后向上及向下平移进行分析2 直线绕某点旋转：已知一次函数的值或与之间存在一定的数量关系，先找出一次函数一定经过的定点（或已

8、知一次函数经过一个定点），比如，过定点画直线，并绕着定点旋转进行分析3 二次函数关于水平线翻折：二次函数的一部分关于水平线翻折，其余部分保持不变，需要画出变换后的图象再进行分析【例5】 （2014年石景山一模）已知关于的方程有两个实数根，且为非负整数（1）求的值；（2）将抛物线：向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，若抛物线过点和点，求抛物线的表达式；（3）将抛物线绕点旋转得到抛物线，若抛物线与直线有两个交点且交点在其对称轴两侧，求的取值范围 【题型总结】函数的几何变换1 平移口诀“左加右减，上加下减” 2 对称口诀“关于谁谁不变，关于原点都要变” 3 关于特殊直线或的对称，只要求出对称

9、后的顶点坐标及判断的符号是否发生改变，利用顶点式写出解析式即可4 旋转：函数的旋转一般只考旋转，在旋转过程中不变，因此求出旋转后的顶点坐标及判断的符号是否发生改变，利用顶点式写出解析式即可【例6】 （2014年密云一模）已知抛物线 （1）若，求该抛物线与轴的交点坐标；（2）若，证明抛物线与x轴有两个交点；（3）若， 且抛物线在 区间上的最小值是，求的值.【题型总结】二次函数的最值含参数的二次函数求最值的问题主要是考查分类讨论的思想，注意分类的情况要全面，解题思路都围绕着对称轴与自变量的取值范围进行分类讨论 1 “动轴定区间”型的二次函数最值2 “动区间定轴”型的二次函数最值3 “动轴动区间”型

10、的二次函数最值【例7】 （2015年海淀期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，（1）求代数式的值；（2）若二次函数的图象经过点，求代数式的值；（3）若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象，求的取值范围【题型总结】反比例函数问题1 反比例函数与一次函数或二次函数交点的问题2 反比例函数的几何意义的问题 【练1】 （2014年朝阳一模）已知关于的一元二次方程（1） 如果该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围（2） 在（1）的条件下，关于的二次函数的图像与轴交点的横坐标都是整数，且时，求的整数值【练2】 （2013年西城一模）已知关于的一元二

11、次方程（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线求抛物线的解析式；（3）点和都在(2)中抛物线上，且、两点不重合，求代数式的值【练3】 （2013年海淀一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为（1）求点坐标；（2）直线经过点 求直线和抛物线的解析式； 点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是_【练4】 （2011年中考）在平面直角坐标系中，

12、二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点（1）求点的坐标；（2）当时，求的值；（3）已知一次函数，点是轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点垂直于轴的直线交这个一次函数的图象于点，交二次函数的图象于点若只有当时，点位于点的上方，求这个一次函数的解析式【练5】 （2013年平谷一模）已知关于的一元二次方程=0.（1）判定方程根的情况；（2）设为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，求的值【练6】 （2014年昌平一模）如图，已知二次函数的图象经过点，点（1）求二次函数的表达式；（2）若反比例函数（）的图象与二次函数的图象在第一象限内交于点，落在两个相邻的正整数之间，请你直接写出这两个相邻的正整数；（3）若反比例函数（，）的图象与二次函数的图象在第一象限内交于点，且，试求实数的取值范围1 常见的整数根问题分为给出参数范围，分离常数法，枚举法；2 代数式求值的思想是消元，常见题型是整体代入及