北京市海淀区2019年高三上学期期末理科

1、选出符合题目要求的一项.海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)2019.11. sill600的值为A.C2D.2.若a =(-)03,bA abcbac3 个空 间几 何4.如图.半径为2的0O中， 厶OB =90。，D为OB的中点.则线段DE的长为AD的延长线交0O于点E，5.已知各项均不为零的数列aj,定义向量cB= (an,an+1), ia= (n,n+l), nwN.下 列命题中真命题是B若VneN*总有cj/bcj/bn n成立，则数列%是等比数列C.若VneN*总有q丄化成立，则数列aj是等差数列D.若VneNH 2 T2 2 A A 正视6.由数字0. 1. 2, 3,

2、4. 5组成的奇偶数字柑间J1无更复数字的六位数的个数是A. 72 B. 60 C 48D. 122 27.已知椭圆E： + = 1 ,对于任意实数k,下列直线被椭圆E所截弦长与1 ： m 4y = kx+1被椭圆E所截得的弦长否吵链柑等的是A. kx+y+k = 0 B. kx- y-1 = 0 C. kx+ y-k = 08如图所示,在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E是棱DD】的中点,F是侧面CDDC】上的动D. kx+y-2 = 0点,HB1F/面A1BE,则BF与平面CDDQi所成角的正切值构成的集合是ABA.2B.C.5t I: D t|-V5 t 0)上的动点，d(B,M)的

3、最小值 为.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过 程.15.(本小题满分12分)(用13-已知函数0,7T . COSXQ= i ( Xo 0,町)，那么下面命题中真31f(x)的最人值为f(Xo)2f(x)的3f(x)在0,4f(x)在屯,设函数f(x) = cos(2x- )-cos2x, xeR.(I )求f(x)在(0,-)的值域;2(II)记MBC的内角AB,C的对边长分别为a, b c,若f(刃=1, a = &, b =3,求c的值.16.（本小题满分13分）某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择 在

4、B区投篮3次任A区每进一球得2分，不进球得0分：在B区毎进一球得3分.不进球9得0分，得分務的选F胜出已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和1013（I） 如果选手甲以在A、B区投篮得分的期塑高者为选择投篮区的标准， 问选手甲应该选 择哪个区投篮？（II）求选于甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率.17.（本小题满分14分）如图， 棱柱ABCDdBjCDi的所有棱长都为2, AUDBD = O,侧棱A&与底面ABCD的所成角为60。，AO丄平面ABCD, F为DC】的中点.(I)证明：BD丄AA,；(II)证明：OF/平面BCCjB!；(III)求二面角D- AA,

5、-C的余弦值.18.(本小题满分13分)已知甫数f(x) = ln(x+1)-ax+ - (a i). x+12(I)当曲线y =f(x)在(1,(1)处的切线与直线l:y = -2x+l平行时，求a的值:(II)求函数f(x)的单调区间.19 (本小题满分14分)己如点M(l, y)在抛物线C : y? = 2px (p 0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2,直线1： y = -lx+b与抛物线交于AB两点.2(I)求抛物线C的方程：(II)若以AB为直径的圆与X轴相切，求该圆的方程：(III)若直线1与y轴负半轴相交，求AAOB面积的城人值.20.(本小题满分14分)已知集合A= l,

6、2,3,2n (n e N*).对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对于S中的任意一对元素勺宀，都f -s2|*m,则称S AYf性质P（I）当11 = 10时，试判断集合B = xeA|x9和C = xe A（x= 3k-l,kw N是否具有性 质P?并说明理由-（【I）若n = 1000时1若集合S具有性质P,那么集合T = 2001-x|xeS是否一定具有性质P?并说明 理由：2若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习数学2019. 1第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题毎小题5分.共40分）题号12345678答案BDD

7、CABDC第II卷（非选择题共110分）填空题 （本大题共6小题毎小题5分.共30分有两空的题目， 第一空3分.第二空11.5A2 + -(kl)4 4 k2k+ 3 (0 k 1)解：（I） f（x） = cos（2x-y）-cos2xcos2xcos + sin2xsiii -cos2x33sin2x- cos2x2 22分9. x + yZx (1, C10. 18012. ep3,选手甲应该选择A区投篮.7分方法二：（I）设选手甲在A区投篮的得分为歹，则歹的可能取值为0. 2, 4,所以的分布列为g024P11881100100100EM = 3 6.3分同理设选手甲在B区投篮的得分为

8、.则的可能取值为0. 3, 6. 9.9P（m詁1-10099P(2)=181009P =4) =81100p(=3)=c.(i_y=#；17P(/7 = 6) = C(-)2(1-) = J;所以77的分布列为:70369p8421279927.5分E = 3 .6分 E，选手甲应该选择A区投篮.7分(II)设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为爭件C,甲在A区投篮得2分在E区投篮得0分为爭件C,甲在A区投篮得4分在B区投篮得0分为爭件C?，甲在A区投 篮得4分在B区投篮得3分为来件C3,则C=C1UC2IJC3,其中CPC2,C3为互斥事件.9分则：1 888 188 14P(C P(

9、0J OJ c)= P ( ) P( )-H- x=1 00271 00271 0049故选于甲在A区投篮得分岛于在B区投篮得分的概率为一 .13分7517.(共14分)解：(I)棱柱ABCD的所有棱长都为2,四边形ABCD为菱形，BD丄AC .又片O丄平面ABCD, BDU平面ABCD,A。丄BD .又AC n AO = o , AC, AO u平面AACCy/.BD丄平而AjACC, p(=o)=(i_y=827D AA, u平面A ACC】,.BD丄A/.4分(ID连结BC四边形ABCD为菱形，ACPBD = O.O是BD的中点.5分又点F为DC】的中点，/.在ADBCt中，OF /BC

10、】，.6分/OFU 平面BCqBj, BC u平面BCCBi. OF /平面BCCiD.8分(III)以O为坐标系的原点，分别以OAOB,OA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.侧棱Az与底面ABCD的所成角为60。，心0丄平而ABCD.ZAAO = 60,在RidAO中，可得AO = l,O = /3,在RtAAOB中，OB =JAB-Q=肩二=羽.得iXl, 0,0), (0,0,73 ), D(0, -/3,0), B(0, /3,0).10分设平而AAjD的法向量为11】=(比，y】，Z)Jiij A/ = 0珂AD = 0 M = (-1A5/3), AD = (-1,-V3,

11、o)j-Xj + VZi = 0f_Qi = 0可设= (V3,1,1).11分又BD丄平面A ACC】.12分所以，平面AACC的法向慣为石=更=(0, JMo)二面角DAjC为锐角,18.(共13分)(I)由题意可得fQ)=匕卫=_2,解得a = 3,4因为f(l) = ln2-4,此时在点(1, f(1)处的切线方程为y-(ln2-4) = -2(x-l),即y =-2x+lii2-2,与直线l:y = -2x+1平行.故所求a的值为3.4分(II)令fr(x) = O得到齐=丄一2，&=0 ,a由ah丄可知丄一2S0,即Xj 0.5分所以，f (x) = -0.xe(-l,+o

12、o) ,.6分2(x+l)故f(x)的单调递减区间为(-1,+00). 7分(2)当la 1时，一1丄一2v0 即一lVXiVOnX2a所以，在区间(一1丄一2)和(0,4oo)上，f (X)0.9分a故f(X)的单调递减区间是(-1,1-2)和(0,炖)，单调递增区间是(1-2,0). 10分aa当ahi时，坷=丄一251,a所以，在区间(一1,0)上f(x)0:. 11分在区间(0,+8)上F(x)-l.2分.3分综上讨论可得:当a = l时，两数f(x)的单调递减区间是(-1,+8)；当Zvavl时，函数F(x)的单调递减区间是(-1,1-2)和(0,亦)，单调递增区间是(1-2,0)：

13、 2 aa当沦1时，函数f(x)的单调递增区间是(-1,0)，单调递减区间是(0,+8).19.(共14分)ft?： ( I )抛物线y2= 2px (p0)的准线为x=-,. 1分由抛物线定义和已知条件可知IMF |=1_(_E) = 1 + E = 2，2 2解得p = 2,故所求抛物线方程为y2=4x.3分(II)联jzly =2X+b,消x并化简整理得y2+8y-8b = 0.r=4x依题意应有 =64 + 32b0,解得b-2.4分设厶(齐,),玫冷,),则+ %= -8,yy:=-8b ,.5分设圆心Q(Xo，y0),则应有% =齐：冷， =% ： %= _4.2 2因为以AB为直

14、径的圆与X轴相切，得到圆半径为r=)yl=4,.6分又I砸匕 丁区一卷尸+(%-%)，=J(l + 4)(% -丫2)2 = j5(% + %y-4刑2】=j5(64 + 32b)用7以I AB |= 2r = J5(64 + 32b) = 8 ,.7分解得b = -9.8分54274所以+卷=?b-?y1+ 7b-?y：= 4b + 16 =所以風心为(三,-4)故所求圆的方程为(x-y)2+ (y + 4尸=16.9分方法二：联立卜冷3,消掉y并化简整理得x2-(4b + 16)x+4b2=0,I y:=4x依题意应有 =16(b + 4)，- 16b，0,解得b2. 4分设仪贝lj X!

15、 + Xj = 4b +16, w = 4b2.5分设圆心Q(Xo, y0),则应有 XQ=旳 +X】，y。= % + % =_4 ,2 2因为以AB为直径的圆与X轴相切，得到圆半径为r =| y0|=4.6分又I AB匕J(%一 冷尸 + (y】一yJ = J(1 +右)(齐-x.)2=石+ 审 一4齐卷=5(64+ 32b)又 |AB|=2r=8,所以有J5(64 + 32b)二8 ,.7分解得b = -,.8分5所以屯+电=詈，所以圆心为(丰,_4).故所求圆的方程为(x-y)2+ (y + 4)2 = 16.9分(川)因为直线1与y轴负半轴相交,所以bvo,又1与抛物线交于两点，由(1

16、【)知b-2,所以-2b.10分克线1： y=整理得x+2y-2b = 0 ,点O到I1的距离d =|-2b|_-2b所以Sg = i| AB|d= -4bV2/2 + b = 4近屈+ 2b，2.11分.12分令g(b) = b + 2b，-2b9 = 10,11,12,19,20不貝:有性质P.1分因为对任意不人于10的正整数m,都町以找到该集合中两个元素0=10与d=10 + ni,使得l-bin成立.2分集合C = xe A|x = 3k-l,keN具有性质P . 3分因为可取m =110,对于该集合中任意一对元素勺=3出-10=3匕-1, IqXGN都有|q - c? | = 3阻

17、一 |h 1 .4分(II )当n = 1000时，则A= 1,2,3,1999,2000若集合S具有性质P ,那么集合T = 2001-x|xeS一定具有性质P.5分首先因为T = 2001-x|xeS,任取t = 2001-eT,其中观E S ,因为Sc A，所以舟w 1,2,3,2000,从而1 2001-XQ 2000 即t e A所以Tc A.6分由S具有性质P,可知存在不人于1000的正整数im使得对S中的任意一对元素SpS?,都有|si - s,p m.对干上述正整数m,从集合T = 2001-x|xe S中任取一对元素t】=2001m = 2001-x.,其中冯宀 wS ,所以集合丁 =2001-x|xe S具有性质P .设集合S有k个元素.由第问知，若集合S具有性质P,那么集合T = 2001-x|xeS一定具有性质P任给XGS, 1X2000则x与2001-x中必有一个不超过1000 所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000.由集合S貝有性质P,可知存在正整数m1000,使得对S屮任点两个元素宀，都令