二项式定理典型例题

1、二项式定理典型例题典型例题一例1说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r的取值，得到了有理项.类 似地，(2 33)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为3n 典型例题四例4说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.典型例题五例5典型例题六例6说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求29c10 -

2、28c9o - 27c8' 2Ci20 - 10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与10(12)的展开式接近，但要注意：(12)10二 Codo 2 Co22C；029c10210=1 2 10 22C20 29C90 210C10-1 2(10 2C028 Cw 29C；0)从而可以得到：10 2Cf 28c90 29c10 =-(310 -1) 2典型例题七分析：64是8的平方，问题相当于证明 32n -8 n-9是82的倍数，为了使问题向二项 式定理贴近，变形 32n 2 -9n (8 1)n 1，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系起来.解：/ 32n 2 -8n_9-9

3、n 1 -8n-9=(8 1)n 1 -8 n-9= 8n1 Cn 1 8n C； 82 - Cn 1 8 1- 8n9=8n 1 - Cn , 8n cn： 82 8(n 1) 1 _8n9=8n 1 C1 , 8n丄：82=(8卅十C；十8心+Cn；1) 64是64的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些 复杂的指数式除以一个数的余数.典型例题八展开2x分析1：用二项式定理展开式.解法1： i 2x= C；(2x)5 -X.02?丿T232C；(2x)2C；(2x)327分析解法2：2x 好5 7"5 “c2j80135 405243=

4、32x -120x471?x x48x7 32x102：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.321严。(4x3)5 C5(4x3)4(3) EE2C；(4x3)2(-3)3 CfSx3)4 C；(-3)5151296332x(1024x -3840x5760x -4320x1620x -2437)= 32x5 -120x2180135405243+4 o 7” 10x x 8x 32x说明：记准、记熟二项式（a，b）n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.典型例题九例9若将（x y z）10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（

5、）A 11B 33 C. 55 D 6610 10分析：（x y z）看作二项式（x y） z展开.解:我们把x y z看成（x y） z，按二项式展开，共有11 “项”，即10(x y Z)10 =(x y) z10C(x y)10上 zk .k=0这时，由于“和”中各项 z的指数各不相同，因此再将各个二项式（X- y）10“展开,不同的乘积G0(x y)10_k zk（k = 0,1，10 ）展开后，都不会出现同类项.F面，再分别考虑每一个乘积Gk)(x y)10* zk ( k =0,1,10)其中每一个乘积展开后的项数由（x y）10°决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也

6、不会出现同类项. 故原式展开后的总项数为 11 10 9 T = 66 , 应选D 典型例题十例10x -2 的展开式的常数项为x-20,题中x = 0 ,当x 0时，把项式 x+丄2 j转化< x丿2n;当X £0时，同理x+丄k x-2 =(-1)n Jx(1(1 f解：当x >0时x +- -2 I = JX严I，其通项为< X丿、Jx丿Ty =C；n(TX)2n(一去)=(“心爲山叼如,令 2n 一2r =0 ,得 n =r ,展开式的常数项为 (-1)© ；( 1<f 1 £当 x c0 时，x + 一2 丨=(1)n | VXI

7、 ,I X 丿Vv-x J同理可得，展开式的常数项为 (-化以无论哪一种情况，常数项均为 (_1)nC；n .令(-1)nc2n 工20，以 n =1,2,3，逐个代入，得 n =3 .典型例题十一(-1 ¥例11Jx +歹 的展开式的第3项小于第4项，则x的取值范围是<<x /分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可.解:使i 1 有意义，必须x 0 ；Ivx丿依题意，有 T3 ：，即 C10 O' x) I 3: C；0 ( 、X)710 9»：型2J（ x 0）.2 13 2 13 xo 解得0 ex C站648

8、.9x的取值范围是应填：0 v x < 封648 .9典型例题十二例12已知(xlog2X - 1)n的展开式中有连续三项的系数之比为1： 2：3，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x的值.解：设连续三项是第k、 k 1、 k 2项(k N且k 1),则有Cn 1：Cn ：Cn 1：2：3 ,即(k -1)(n -k 1)!k !(n -k)!n!= 1：2：3 .(k 1)(n -k -1)!(n -k)(n -k 1)k (n -k)=1：2：3.k(k - 1)(k 1)_2.(n-k) 3k(n -k) (n _k)(n _k +1) k(k 1)2k (n -k)

9、 - 3=n =14 , k=5所求连续三项为第5、6、7三项.又由已知，=112 .即 xlog2X =8 .两边取以2为底的对数，(log 2 x)2 =3, log2 x =3 ,二 x = 2 3，或 x = 2.说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项, 根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.典型例题十三例13(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出 n,再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项.解：T6 =c5(2x)5 , T7 二 C；(2x)6，依题意有C；25

10、二 C；26 二 n = 8 .- (1 2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5二C；(2x)4 =1120x4 .设第r 1项系数最大，则有c8 -2 >c8Ac8 -2r 心r 1 r = 5或 r =6 (v r 二 0,1,2 , , 8).系娄最大的项为：T6 =1792x5, T7 =1792x6 .说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负 变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.典型例题十四例1

11、4设f(x) =(1 x)m (1 x)n(m,n N.),若其展开式中关于 x的一次项的系数2和为11,问m,n为何值时，含x项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：根据已知条件得到x2的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.解:C： = n m =11.2 2 1 2 2Cm Cn(m -m n -n)2110 -2mn2沙2-11n55=(n)299 .24v n N ,2 n =5或6 , m=6或5时，x项系数最小，最小值为 25 .11 2 9911说明：二次函数y=(x )2的对称轴方程为 x ，即x=5.5，由于5、6距24211 2995.5等距离，且对

12、n，N ., 5、6距5.5最近，所以(n )的最小值在n = 5或n=624处取得.典型例题十五例 15 若(3x T)7 二a7x7 a6x6 ex a0,求(1) a a?'a7； (2)a1a3a5a7； (3)玄a?兎.解：令x = 0,则a0 - -1 ,令x =1，则 a7 a ' -a1 a0 = 27 =128.二 a1 a2a7 =129.(2)令 Xu-1，贝y- a7a6- a5 a4- a3 a-a1a°=(- 4)由得：印 a3 a5 a7 =丄128_( 一4)7 =82562 2由2得:a° a?*4 a§1(a7

13、a6 - a5 a4 a3 a2 - a1 a0)2(- a? a6 -*4 - a3 a? - a1 a。)1128 ( Y)7 = -8128 .2说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法.这是一种重要的方法，它适 用于恒等式.一般地，对于多项式g(x) =(px q)a0 - a1x a2x2 anxn, g(x)的各项的系数和为g(1):1g(x)的奇数项的系数和为 一g(1) g(-1).21g(x)的偶数项的系数和为g(1) -g(-1).2典型例题十六例16填空：(1) 230 3除以7的余数； (2) 5555 +15除以8的余数是分析(1):将230分解成含7的因

14、数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数.解: 230 -3 =(23)10 -3=(8)10 -3=(7 1)1° 一3心 71° - C；o79 C9O7 - Clo - 3=7 C°79 唧C；o2又余数不能为负数，需转化为正数30二2-3除以7的余数为5应填：5分析(2):将5555写成(56 -1)55，然后利用二项式定理展开.解：5555 - 15 =(56 _1)55 15二 C555655 C55565C5456 c5 15容易看出该式只有 -C5 *15 = 14不能被8整除，因此5555 15除以8的余数，即14除以8的余数，故余数为6 应

15、填：6 .典型例题十七例17求证：对于n ：= N .,1 + 丄+.n丿证明:11展开式的通项.n1 n(n -1)(n - 2) (n -r 1) r!rr112r -1(1 )(1 ) (1 ) r! n nn1+ i展开式的通项< n +1 丿1(n 1)rArr !(n 1)r1 1 2苛(1n)(1ni)(1r -1n 1由二项式展开式的通项明显看出 Tr+ Tr+ ,f 1、 f 1 所以1 +丄丨 1 +丄|.门丿I n七丿说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采 用比较通项大小的方法完成本题证明.典型例题十八25例18在(x 3x 2

16、)的展开式中x的系数为().A. 160 B. 240C. 360D. 800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用应想办法将三项式转化为二项式求解.解法 1：由(x2 3x 2)5 =(x2 3x) 25,得TkC：(x23x)5A 2k=Cs 2k (x23x)5再一次使用通项公式得，T十 c5 2k C 3rx10kJ ,这里0乞k乞5,0空r乞5 k .令 10 2k r =1,即卩 2k r =9 .所以r =1 , k =4，由此得到x的系数为C；24 3二240 .解法2：由(x2 3x 2)5二(x 1)5(x 2)5，知(x 1)5的展开式中x的系数为C；,常数项为1, (

17、x 2)5的展开式中x的系数为C； 24，常数项为25 .因此原式中x的系数为C54 25 - C4 2 240 .解法3：将(x2 3x 2)5看作5个三项式相乘，展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取3x的系数3 ,从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即C5 3 C： 24 =240 .应选B.典型例题十九-、一U £分析：利用二项式的通项公式.a只一例19 已知解：在的展开式中的展开式中,39x3的系数为一，常数a的值为4通项公式为= C；(1)ra9Uf 梟心.23 一根据题设，r -9 = 3，所以r =8 代入通项公式，得Tgax3.2169 g根据题意，一 a =

18、，所以a = 4 164应填：4 .典型例题二十例 20 (1)求证：1-3C： 32 C； -33 C；(-1)n3n =(-2)n423422(2)若(2x一3) =a0a1x a2x a3x a4x，求(a0a2 a4) -(a1a3)的值.分析：(1)注意观察(1+x)n =1+cnx + C：x2+c：xn的系数、指数特征，即可通过 赋值法得到证明.注意到(a0- a2a4)(a1 a3)2=(a0 a1 a2a3a4)(ao -a1 a2 -a3 a4)，再用赋值法求之.解: (1)在公式(1+x)n =1+C：x+c2x2 + +c：xn 中令 x = 3，即有(13)n =1+

19、C：(3)1 +C；(3)2 + +C：(3)n=1 -3- 32 C； -(-1)n 3n等式得证.在展开式(2x 、,3)4 =玄 a1x a2x2 a3x3 a4x4 中，令 x =1，得 a0 印 a2 a3 a4 二(2x. 3)4 ；令 x - -1，得 a0 -aa2a3 a4 = (23)4.原式二(a0a1a2a3a4)(a-a1a2-a3a4)=(23)4 (-2.3)4 =1.说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用赋值法的模式是，在某二项展开式，如(abx)"=a0a1xa2x2亠 亠anxn 或(ab)n =C0ancnanbCfab2+C"bn中

20、，对任意的xe A( a,b A)该式恒成立，那么对 A中的特殊值，该工也 一定成立.特殊值x如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强.一 般取x = 0,1, 一1较多一般地，多项式 f (x)的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为11f (1) - f (-1),偶次项系数和为一f(1) f(-1) 二项式系数的性质22c0+C： +C；+c：=2n 及 C+C2+C：+=cn+c；+c；+=2 的证明就是 赋值法应用的范例.典型例题二一例21若N ，求证明：32n3-24n37能被64整除.分析：考虑先将32n 3拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开.解：32

21、n 3 -24n 372n -2=3 3-24n 37=3 9n 1 -24n 37=3 (8 1)n 1 -24n 37=3 略尹+C= 8n+C：十 8n» +C；+ 8 + C：-24n+37-3 8n 1cn18n Cn 18nj- (n 1) 8 1 -24n 37=3 8n 1C18n C：18n C： 82 (8n 9) -24n37=3 828nJ +Cn+ 8n<8n：十+C：¥+3(8n+9)_24n+37=3 648n4 C；1 8n Cn 1 8n 64,- 8n4, Ch 8n , C'1 8心,均为自然数，上式各项均为64的整数倍.

22、原式能被64整除.说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷.典型例题二十二2例22已知(x3 3x2)n的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992 .(1) 求展开式中二项式系数最大的项；(2) 求展开式中系数最大的项.分析：先由条件列方程求出 n .(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r . 解：令x =1得展开式的各项系数之和为(1 3)n =22n，而展开式的二项式系数的和为c0 C Cc： =2n ,.有 22n _2n =992 . n = 5.(1) n = 5

23、 ,故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.2 T3 二 C；(x3)3 (3x2)2 =90x6 ,2 22T； =C；(x3)2 (3x2)3 =270x .设展开式中第r 1项的系数最大.210:：；4rTr 1 =C； (x3)5(3x2)r 二 c5 3r x ,<3r3rc5 3c5+ 3r*3二丄，即 <r 6-r，丄亠-5 -r r +179解得7岂r乞9 . r N ,22 r =4，即展开式中第5项的系数最大.2 26T5 =Cs (x3)1 (3x2)4 =405x3说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同.前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组； 解不等式组时可能会求出几个r,这时还必须算出相应项的系数后再比较大小.典型例题二十三例23求证：Ccm+cCpr+c；cm = c短02244nnnlnl*(2) Cn 3 Cn 3 Cn 川诂3 Cn = 2 4 - 2 ( n=2K , n N)分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可