北京市海淀区2019届高三年级第一学期期末数学试题(文)

1、(1)(3)立的(4)(5)(7)海淀区高三年级第一学期期末试题数学(文科)(A)-2i(B)2 i(C)2_i(D)_2_i如图， 正方形ABCD 中，点E,F分别是DC,BC的中点，那么1 T1 T1彳1 T(A)AB +AD(B)-AB-AD2222(C)-1AB+1AD(D)1AB-1AD2222复数i(1 -2i)EF=(2)已知数列an满足:ain的最大值为()(A) 4某程序的框图如图所示,(A)5(C) 72019.01CFB二1,an(B)50,a；4- a；=1(n N *)，那么使an： ： ：5成(C) 24若执行该程序，则输出的(B) 6(D) 8i值为k2x+ y-

2、 1= 0,那么(A )充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件函数f (x) = Asin(2 x +)(A,? R)的部分图象如图所示，那么/八1(A )-( B)2-1(C)- 3(D)-.3已知直线h：k“x+ y+ 1= 0与直线I?:f (0) =(6)2已知函数f (x) =x x -2x，则下列结论正确的是(D)25ki= k2”是 “h/I2” 的(A)f(x)是偶函数，递增区间是(0,+ ?)(B)f (x)是偶函数，递减区间是(-? ,1)(C)f (x)是奇函数，递减区间是(-1,1)(D)f(x)是 奇函数，递增区间是(-? ,0)(

3、8 )点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离已知点A(1,0)，圆C:2 2x + 2x+ y = 0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为 1 的点的轨迹是(A)双曲线的一支(B)椭圆(C)抛物线(D)射线:、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 30 分，把答案填在题中横线上 .2 2(9) 双曲线_1 的离心率为4521(10)_ 已知抛物线y2=ax过点A(,1)，那么点A到此抛物线的焦点的距离为 _ .4彳 x+ y- 4? 0,(11)_若实数x, y满足2x+ y- 5? 0,则z = x+ 2y的最大值为 _.?y- 1? 0,I(12)甲和

4、乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：C )用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知,两城市中平均温度较高的城市是 _，气温波动较大的城市是 _甲城市乙城市(13)已知圆C:(X-1)2 y2=8，过点A(-1,0)的直线丨将圆C分成弧长之比为1: 2的两段圆弧，则直线丨的方程为_.(14)已知正三棱柱ABC - ABC的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.设匚ABCfABC的中心分别是0,0,现将此三棱柱绕直线00旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)， 对应 的俯视图的面积为S(x)说明：“三棱柱绕直线00旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时,0A旋转所成的

5、角则函数S(x)的最大值 为_;最小正周期为.为正角，顺时针方向旋转时，0A旋转所成的角为负角三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(15)(本小题满分 13 分)在：ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(I)求cos A的值；(n)若b = 2，求边a,c的长.(16) (本小题满分 13 分)为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.(I)求决赛中甲、乙两支队伍恰

6、好排在前两位的概率；(n)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率(17)(本小题满分 13 分)在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是菱形，AC门BD二0.(I)若AC _ PD，求证：AC_ 平面PBD;(n)若平面PACA平面ABCD，求证：PB = PD；(川)在棱PC上是否存在点M(异于点C)使得BM/平面PAD，若存在，求 电 的值；若不存在，说明理由PC(18) (本小题满分 13 分)已知函数f (x)二ex(x2 ax-a)，其中a是常数.(I)当a =1时，求f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(n)求f(x)在区间0,：)上的最小值.(19)(本小题满分 13 分)

7、2 2A = 2B，sin B3.3F1(1,0)，离心率为丄.2说明：“三棱柱绕直线00旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时,0A旋转所成的角已知椭圆C三 吿=1(a b 0)的右焦点为a b(I)求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；36(H)设过点F1的直线交椭圆C于A, B两点，若APAB的面积为3，求直线AB的方程13(20)(本小题满分 14 分)若集合A具有以下性质：10 A，1 A；12若x,yA，贝U x yA，且x式0时，一w A.x则称集合A是“好集”.(I)分别判断集合B= - 1,0,1，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；(H)设集合A是“好集”，求证：若

8、x, y A，则x y A;(川)对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题p:若x, y A，则必有xy A；命题q:若x, y A，且x=0，则必有 A；x33海淀区高三年级第一学期期末练习数 学(文科).选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号12345678答案BDCACBCD.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.35(9)3(10) -(11) 7(12)乙，乙24(13)y = x + 1或y=-x-1(14)8;3注：(13)题正确答出一种情况给 3 分，全对给 5 分；(12)、(14)题第一空 3 分；第二空

9、2分.三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(15)(本小题满分 13 分)解：(I)因为A = 2B,所以cos A= cos2B = 1 - 2sin2B.因为sin B -31 1所以cos A = 1-2?.33(n)由题意可知，B? (0,).2所以cosB = ,1- sin2B =所以sin A =si n 2B =2sin BcosB =2 2 _3因为b =ab= 2,sin Bsin A所以23 =a2.2.参考答案及评分标准20 佃.017 分所以a=土芒31-rr由cosA二可知，A?(0,).过点C作CDAAB于D.32所

10、以c= a?cosB b?cosA4 ?63313 分(16)(本小题满分 13 分)解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙， 丙乙甲”.(I)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 有“甲乙丙，乙甲丙”，贝U 2 1P A.63甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙,A，事件A包含的基本事件1所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为丄3(n)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件 有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”42PB.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为(17)(本小题满分 14 分)证明：因为底面ABCD是菱形B，事件B包含的基本事件10 分13 分所以因为所以(n)因为AC _

11、BD.AC _ PD,PDBD =D,AC_ 平面PBD.证明：由(I)可知AC _ BD.平面PACA平面ABCD，平面PAC Pl平面ABCD = AC,BD所 以因 为所 以因为1平面ABCD,BD_平面PAC.PO 1平面PAC,BD _ P0.底面ABCD是菱形，10 分1 102?-337 分所以BO = DO.所以PB= PD.(川)解：不存在.下面用反证法说明.假设存在点M(异于点C)使得BM/平面在菱形ABCD中，BC/AD,PAD.因为ADi平面PAD,BC ?平面PAD,所以BC/ 平面PAD.11 分因为BM i平面PBC,BC i平面PBC,BCRBM所以平面PBC/

12、平面PAD.MAC8 分9 分13 分而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.14 分(18)(本小题满分 13 分)x 2解：(I)由f(x)二e(x ax-a)可得f (x) = exx2(a 2)x.-1时，f(1)=e,f (1)=4e.所以曲线y二f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-e =4ex-1，=4ex -3e.x 2(n)令f(x)二ex (a 2)x = 0,解得x - -(a 2)或x = 0.当-(a 2)乞0，即a一-2时，在区间0,匸：)上,f (x)一0,所以f (x)是0,匸：)上的增函数.所以f (x)的最小值为f(0)=-a；10 分x0(0,-(a+2

13、)-(a+2)(-(a+2),址)f(x)0-0+当-(a 2)0，即a：-2时，f (x), f x随x的变化情况如下表613 分（19）（本小题满分 13 分）10 分t 2f (X)f(0)f(-(a + 2)/由上表可知函数f（X）的最小值为a +4f(-(a 2)OT.e解：（I）由题意可知:c= 1,-所以a= 2. 2，所以b2= a2- c2= 3.所以2椭圆C的标准方程为 1，左顶点P的坐标是（-2,0）.43根据题意可设直线AB的方程为x= my+ 1，A(x1,y1), B(x2, y2).由pT+T=1,可得:?x= my+ 12 2(3m + 4)y + 6my- 9

14、=0.所以:=36m2+ 36(3m2+ 4) 0,y1+ y2=-輿 ,y1y2= -23m + 43m所以PAB的面积S二一PF1y2- y1=1仓临,(y2+ yj2- 4y2%18 . m2+ 1363m2+ 43m2+ 4因为PAB的面积为3613，所以一m2+ 123m2+ 4136RP?1).1解得t1=(舍) ，t2= 2.所以直线AB的方程为x+ 3y- 1= 0或x-、3y- 1=0.1（20）（本小题满分 14 分）所以-1_ 1= - 2? B.这与-2? B矛盾.所以有理数集Q是“好集”.（n）因为集合A是“好集”，所以x -(-y) A，即x y A.（川）命题p,q均为真命题.理由如下:对任意一个“好集”A，任取x, y? A,若x, y中有 0 或 1 时，显然xy A.1 1 1所以-丄？A，即1一? A.x- 1 xx(x- 1)所以x(x- 1)? A.22由（n）可得：x（x- 1）+ x? A，即x ? A.同理可得y ? A.113 分解：（I）集合B不是 “好集”.理由是：假设集合B是“好集”.有理数集Q是“好集”.因为0? Q,1? Q,1-0时，丄？Q.x对任意的x,y ? Q，有x- y? Q，且x因为-1? B，所以0，A.若x, y ? A，则0_yA，- y 三 A.下设x,y均不为 0, 1.由定义可