1直线与椭圆关系

1、1 直线与椭圆的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为, >0时，有两个公共点，= o时,有一个公共点， <0时，没有公共点在判定此类情形时，应注意数形结合.2 .直线与椭圆的交点间的线段叫做椭圆的弦.设弦AB端点的坐标为 A(X1, yi), B(X2, y2),直线AB的斜率为k，则：| AB | =或：.利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理.当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算.焦半径公式3 .中点弦问题：x2 y2设A(Xi, yi), B(X2, y2)是椭圆 笃心 =1上不同的

2、两点，且 Xi族2, Xi+ X20 M(Xo, yo)为AB的中点，则2b2"2两式相减可得yi -y2yi 亠y2Xi 亠2 Xi X2b22 ，a2 2X y例i设Fi、F2分别是椭圆i的左、右焦点54(1) 若P是该椭圆上的一个动点，求PFi卩F2的最大值和最小值；(2) 是否存在过点 P ( 5, 0)的直线I与椭圆交于不同的两点 C、D，使得|F2C|=|F2D| ?若存在，求 直线I的方程；若不存在，请说明理由1 2 忑例2.已知椭圆M岀 (a > b> 0)的离心率为 3 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4 J-,(I)求椭圆 M的方程

3、；(H)设直线 I与椭圆M交于A, B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右 顶点。，求厶ABC面积的最大值.(III)思考：若直线I与椭圆交于不同的两点 A、B,以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,此时直线恒过定点？2 2例3.在椭圆计匕"上恒有两点关于直线y = 4x+ m对称，求m的取值范围.2 2思考：在椭圆X y 1上恒有两点关于直线 y= kx+ 1对称，求k的取值范围431判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的 系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况.2.涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是 设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐

4、标满足方程,作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式.对于存在 性问题，还需用判别式进一步检验.3 .对称问题，要注意两点：垂直和中点.1 直线与椭圆的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为， >0时，有两个公共点，= 0时,有一个公共点， <0时，没有公共点在判定此类情形时，应注意数形结合.2 .直线与椭圆的交点间的线段叫做椭圆的弦.设弦AB端点的坐标为 A(X1, y1)，B(X2, y2),直线AB的斜率为k，则：| AB I =或：.利用这个公式求弦长时，

5、要注当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算.焦半径公式3 .中点弦问题：设 A(xi, yi),B(X2,2y2)是椭圆X2a2y2 =1上不同的两点，且b2X1 族2,冯+ X20 M(X0, y°)为 AB 的中点，则 °必22准b22虽T2.2 _ 1a b二 1两式相减可得y1y2X1 %2y1y2b1 2 ，X1X2a例1设Fi、F2分别是椭圆二1的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1卩F2的最大值和最小值;(2) 直线是否存在过点 P( 5，0)的直线I与椭圆交于不同的两点 l的方程；若不存在，请说明理由 .C、D，使得|F2C|=|F2D|

6、?若存在，求解:()易知 a = 5,b = 2,c = 1, Ft = (-1,0), F2 (1,0)(x, y)，则 PF1 PF2 二(-1 -x,-y) (1 -x,-y) =x2y2 -1X24-4x25十I23当x=0，即点P为椭圆短轴端点时,PF1 PF2有最小值3；当x二 5，即点P为椭圆长轴端点时，PF1卩F2有最大值4(2)假设存在满足条件的直线I易知点P (5,l与椭圆无交点，所在直线I斜率存在，设为k'2直线I的方程为y =k(x5)由方程组50)在椭圆的外部，当直线 l的斜率不存在时，直线24 =1，得(5k2 4)x2 -50k2x 125k2-20 =

7、0 j = k(x 5)依题意厶=20(16 -80k2)0,得 5 : k 555.'5,'5当k 时，设交点 C (x1, y.) )> D(x2, y2), CD 的中点为 R(x0, y0),552则 xix1x225k2"5k2425k2 y。=k(X0 -5) =k(5k +4-5)-20k5k24c /20k、0 - (2)又IF2CFIF2DU F2R_I = k kF2R - -1. k kF2R =k5k 2 4/25k125k2420k2d2 = 一 14-20k220k2=20k2 4，而 20k2=20k2 4 不成立，所以不存在直线

8、I，使得 |F2C|=|F2D|,综上所述，不存在直线I，使得|F2C|=|F2D|例2.已知椭圆M(a > b> 0)的离心率为速3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+ 4 ,(I)求椭圆 M的方程；(n)设直线 I与椭圆M交于A, B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点。，求厶ABC面积的最大值.解:(I)因为椭圆 M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4所以2a+2c=6+4J-,又椭圆的离心率为2恵'，所以22T所以a=3 , c=2一= 1所以b=1 ,椭圆M的方程为'。y =-丄 a(n)不妨设 BC的方程y=n (x-3) (n

9、 > 0)，则AC的方程为'尹二旳(兀_3)=r1+2 = 1 (丄+小)工一6护疋十知2 1= 0 "得'乂弭(可必)因为所以_ 27 - 39同+1 ，同理可得所J n一-1 2( + -)2；23旳旳二笃4仗 + )+ 1 -» + > 2&匸二<16464 _ 8t +r +起9,设冷，则99fkA£C当且仅当3时取等号，所以 ABC面积的最大值为'。(3) 思考：若直线I与椭圆交于不同的两点 A、B,以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 恒过定点？(4) 求以A(2,1)为中点的椭圆的弦所在直线方程；2 2若椭

10、圆L丄1的弦被点(4,369变式训练2 :2)平分，则此弦所在直线的斜率为C.例3.在椭圆2=1上恒有两点关于直线43y = 4x+ m对称，求m的取值范围.C,此时直线设椭圆上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 y=4x+m 对称,AB中点为 M(xO,yO)。贝U3x1A2+4y1A2=123x2A2+4y2A2=12相减得到：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0 由于 M是AB的中点，所以 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0既 6x0(x1-x2)+8y0(y1-y2)=0则 k=y1-y2/x1-x2=-3x0/4y0=-1/4.y0=3x

11、0.代入直线方程 y=4x+m得 x0=-m,y0=-3mk的取值范围因为(x0,y0)在椭圆内部。贝U 3mA2+4(-3m)A2<12 解得-2V 13/13<m<2713/132 2思考：在椭圆亍1上恒有两点关于直线y= 3 1对称，求1判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的 系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况. .涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是 设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程,作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式.对于存在 性问题，还需用判别式进一步检验.

12、3 .对称问题，要注意两点：垂直和中点.高二数学直线与椭圆作业20161201姓名1. “a 3 ”是直线 ax+ 2y+ 2a= 0 和直线 3x + (a 1)y a+ 7= 0 平行”的(A )A.充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件2中心在原点，过焦点的最短弦长 为3，离心率为2的椭圆标准方程是(A )A.432 2x_342X2 彳C. y =1422 yX4=1、,2 、,23.椭圆-1上有n个不同的点:4 3Pi, P2,，Pn,椭圆的右焦点为F,数列|PnF|是公差大A. 198B. 199C. 200D. 20122于疵的等差数列，则n的

13、最大值是4 .若 * R，则是方程二:厂1表示椭圆”的A .充分而不必要条件.B .必要而不充分条件.C.充要条件D .既不充分也不必要条件x2 y25已知点A(4, 2)是直线1被椭圆369 1所截得的弦的中点，则直线 I的方程是(B)A. x-2y=0x+2y-8=0C. x+y-6=0D. 2x+y-10=06若点O和点F分别为椭圆2x y 1的中心和左焦点,43占八、P为椭圆上的任意一点，贝U OpFP的最大值为A.2B.3C6D.8*7 .2点P( 3, 1)在椭圆 笃 2=1(a>b>0)的左准线x =a2 b2x2上，过点cP且方向为a = (2, 5)的光线,经直线

14、y= 2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为(A)2 28 .若椭圆ax y =1的离心率为33，则其长轴长等22 29已知圆 A : (x -3) y =100 ,动圆M经过点B (-3, 0)且与圆A相切，则动圆圆心 M的轨2迹方程为22L匸12516；3-110设F1、F2为椭圆的两个焦点，以 F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率 e为.2 211 点P是椭圆 =1上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，若厶PF1F2为直角三角形，则厶PF1F2259的面积是9或3652 212.已知椭圆G :2=1(a b

15、0)的两个焦点为Fi、F2，点P在椭圆G上，且PFi _市2，a b且PFi3PF2二10-3，斜率为1的直线丨与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作3等腰三角形，顶点为Pi (-3,2).(1)求椭圆G的方程；(2)求CRAB的面积.分析：1 )由椭圆G： 2叫TSAirXO的两个焦点为Fl. F2.点P在橢IUG上,且PF1±F1 a i"F20F尸半，|吓二畔 -te|HF2=4j2 f即心2匹，為护叫+ |卩罔詔返，由此能求出 椭圜G的方程_fyx+m(2 )设直线I的方程为y=X+m *由k2 v 2_1得4x6wjc+3w 2-12 = 0 *设九B&3

16、坐标分羽T别为(xl r yl ) * ( f y2 ) ( xl < xi AB中点为E (y )则并=斗2 =罟 y=x+m= r由此能求出APA召的面积.解答：解:(1 )椭国G： =l(a>i>0)的两个焦点为F1、F2 .点P在椭那上 a犷且PF1丄F1F2目円丫二芈，I円划二畔 ,诽1R匕罟峙=诽返,2aPFl|+|PF2|=4j3 , /.a=jJ5 .又归汎厶4 r所以椭HG的方程为壬丐=1 +(2 )设宜线I的方程为戸艾+m .由j i2 v 2_ f 得4x2+Gwx-3m ：-12 = 0 , # 1J2 V设久呂的坐标分为(勒幻)(X兀)AB中点为E

17、(xf y),rat 石乜r Smm址二丄产二一ry=xm=-.JL-因为AB是等腰“PAB的底边f所以PE丄AE .所以PE的斜率2 三广-解得m=2 ,此时肓程为4x2fl2x = 0 .解得xl=-3 , y2=O .所以y1=-i, y=2 所切ab|=3返.此时点珥月.2 )到直线AE : x-y+2=0的显瞎c/二還兰二攀Ig所APAB的面积S=-AB >d=- r点评:本题考査桃圜方程和三角形面积的求考査运算求解能右，推理论证能力；考査 化归与转化思想.综合性强r难度大有一走的探索性，对数学思瞬幻J要求较高,是高 考的重点解题时要认真审题，仔细解答13已知 M(-3,0)、

18、N(3,0),P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线 PN的斜率之积为常数m(m _-1,m 刊).(1)求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？5若m,P点的轨迹为曲线C,过点Q(2,0)斜率为k1的直线11与曲线C交于不同的两点 A、B,AB9中点为R,直线0R（0为坐标原点）的斜率为k2，求证kik2为定值;（3）在（2）的条件下，设 QB二，AQ，且2,3，求11在y轴上的截距的变化范围V V解：（ 1）由命卞"'：得八能-9）,若m= -1，则方程为才+丫 =9，轨迹为圆（除A B点）一=1，方程为. NA B 点）。5f v2 .(2)9时，曲线c方程为+=195，

19、设，轨迹为双曲线（除的方程为:x=n+21*3x2V* ,+ -=1，方程为9 -9rn，轨迹为椭圆（除点A B点）；与曲线c方程联立得：卯一25二° ,6分-20r-25设，则 h+h 5?+9 ，才+9 ,40f可得得门二一Cl代入得:-20t如齐，25式平方除以式得:l-2+z=曲Z5+9 ,上单调递增,-2+X而./'在y轴上的截距为b,3【解析】c试题分析：在椭圆中,a=2 , c=1椭圆上点到右焦点的最小距离是a-c=1 ，最大距离是a+c=3，因为数列|PnF|是公差大于一，的等差数列，所以要使n最大，应让I|濟卜囲L2,=a-c=1， I * =a+c=3 ，

20、所以 d= 和-1 初-1100，所以 *<201，所以 n 的最 大值为2007A【解析】满分5 *给你不一样的解答I 试题分析：因为给走点P (-3 r 1)在椭圆C二+匚=沁的左准线上，则可知-=3 f同时根据光线的方向为石= 2 , -5 ),可知其斜率为-扌可知其直线方程为 cv-l = -|(x+3),那么可知直线反射后经过左焦点那么有与尸-2的交点的横坐标为冷 而反赢歧与入射光线的斜率互为相反数可知焦点的坐标为(1,0) f因此可知占很 a = y/3，故离心率为f，选A19.设x, y R, T,j为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若a = xT + (y+

21、2) j , bL._. -+f=x i + (y- 2) j，且 |a 1+ |b|= 8(1)求动点M (x, y)的轨迹C的方程.设曲线C上两点A、B,满足直线AB过点(0, 3), (2) OP=OA 9B且OAPB为矩形，求 直线AB方程.20.动圆M过定点A(伍,0)，且与定圆A': (x应)2+ y2= 12相切.(1)求动圆圆心 M的轨迹C的方程；过点P(0, 2)的直线I与轨迹C交于不同的两点 E、F，求PE PF的取值范围.19. ( 1 )解：令 M(x, y), F1(0, 2), F2(0, 2)则 a = F1M , b = F2M，即| a |+ | b

22、|= | F1M |+ | F2M I,即 | F1M + | F2M |= 8,p2又t F1F2 = 4 = 2c,. c= 2, a= 4, b = 12所求轨迹方程为16 12%),(2)解：由条件 可知OAB不共线，故直线 AB的斜率存在，设 AB方程为y= kx+ 3, A(X1,y =kx +3B(X2,2)，贝U y2 *x2n (3k2 + 4)x2 + 18kx 21 = 0.16 12 -X1+ X2= 18k3k24X1 X2 =-213k24y1 y2= (kx1 + 3) (kx?+ 3) = k2 X1X2 + 3k(x1 + x?) + 9=3b T8k23k24/ OAPB 为矩形， OA 丄 OB OA OB = 0二X1X2+ y2= 0 得k= ± 5 所求直线方程为y =±