2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷理科2

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（北京卷）理科2选择题（共8小题，每题5分，共40 分）1. 设集合 A=1 , 2, 6 , B=2, 4 , C=x R - 1<x<5,则(AU B) A C=()D. x R| - 1 <x< 5A. 2 B. 1, 2, 4 C. 1, 2, 4, 52. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i (1+i) 2B. i2 (1- i)C. (1+i) 2 D. i (1+i)n=5,贝U输出k的值为（f x+y-2>04 .若实数x, y满足条件: . 则z=3x- 4y的最大值是（）A. - 13 B.-

2、 3 C.- 1 D. 15 函数I-二-亠在 上的最大值是（）x3A.丄 B.厶 C. - 2 D. 2236.已知向量I，都是非零向量，“'”是卩的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件7某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）2 2一 D. 3正f左）视圈8. 下列命题正确的是（）A. 若 Ina - Inb=a 3b,贝U av bv0B. 若 Ina - Inb=a- 3b，贝U 0vav bC. 若 Ina - Inb=3b - a,贝U a>b >0D. 若 Ina - Inb=3b- a,

3、贝U 0>a>b二.填空题（共6小题，每题5分，共30分）2 “9. 双曲线的焦点坐标是.10已知等差数列&的前n项和为S,若3,a7,a5也成等差数列，则S17.11. （坐标系与参数方程选做题）若直线I的极坐标方程为，一 -JT 宁：- 一，曲线C: p =上的点到直线I的距 离为d，则d的最大值为.12. 已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，终边经过点P （1,- 2）,则 sin2 a三.13 .方程9X+3X - 2=0的解是.14. 某班开展一次智力竞赛活动，共a, b, c三个问题，其中题a满分是20分, 题b, c满分都是25分.每道题或

4、者得满分，或者得0分.活动结果显示，全班 同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中 两道题.答对题a与题b的人数之和为29,答对题a与题c的人数之和为25, 答对题b与题c的人数之和为20 .则该班同学中只答对一道题的人数是 该班的平均成绩是 三解答题(共6小题，共80分)15. (13分) ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2a二csinA- acosC(1) 求 C；(2) 若c=，求 ABC的面积S的最大值.16. (14分)如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，ACA BD=O, PAC是边长为2的等边三角形， “二

5、，AP=4AF(I)求证：PO丄底面ABCD(U)求直线CP与平面BDF所成角的大小；(川)在线段PB上是否存在一点 M，使得CM/平面BDF?如果存在，求二的BP值，如果不存在，请说明理由.17. (13分)医生的专业能力参数 K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合 能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀.某市 卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力 K的频率分布直方图：(1)求出这个样本的合格率、优秀率;(2)现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名. 求这2名医生的能力参数K为同一组

6、的概率； 设这2名医生中能力参数K为优秀的人数为X,求随机变量X的分布列和期望.18. (14分)已知抛物线y2=2px(p>0),过点C (-2, 0)的直线I交抛物线于 A, B两点，坐标原点为 O,示？ 1-=12.(I)求抛物线的方程；(U)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线I的方程.19. (13分)已知函数 f (x) =lnx+aX+ (2a+1) x.(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 当 av 0 时，证明 f (x)w-丄-2.4且20. (13分)远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八一，请问尖头几碗灯？ ”源自明代数学家吴敬所著的九章詳註比纇算法大全,

7、(1) 通过计算可得尖头几碗？(2) 若设每层灯碗数构成一个数列an (n n*),求数列n?a(前n项和Tn.2017 年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷 （北京卷） 理科 2参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1. （2017?天津）设集合 A=1 , 2, 6 , B=2, 4 , C=（x R - 1<x< 5，则（Au B）n c=（）A. 2 B. 1, 2, 4 C. 1, 2, 4, 5 D. x R| - 1<x< 5【分析】由并集概念求得AU B,再由交集概念得答案.【解答】解：A=1, 2, 6 , B=2, 4，二 AU B= 1 , 2

8、, 4, 6,又 C=x R| - 1<x<5,二（AU B）n C= 1, 2, 4.故选： B.2. （2017?新课标I）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i） 2B. i2（1- i）C.（1+i） 2 D. i（1+i）【分析】 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论.【解答】 解： A. i（1+i） 2=i?2i=- 2，是实数.B. i2 （1 - i） =- 1+i，不是纯虚数.C. （1+i） 2=2i为纯虚数.D. i（1+i） =i- 1 不是纯虚数.故选： C.3. （2017?广州一模）阅读如图的程序框图.若输入n=5，则输出k的值

9、为（）【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果； 直到满足判断框中的条件， 执行输出.【解答】解：经过第一次循环得到的结果为 k=0, n=16,经过第二次循环得到的结果为 k=1, n=49,经过第三次循环得到的结果为 k=2, n=148,经过第四次循环得到的结果为k=3, n=445,满足判断框中的条件，执行是”输出 的k为3故选Bx+y-2>04. (2017?可西区一模)若实数x, y满足条件-xtKO则z=3x- 4y的最大值是( )A. - 13 B.- 3 C.- 1 D. 1【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的 ABC及其内部，再将 目标函数z=3x

10、- 4y对应的直线进行平移，观察直线在 y轴上的截距变化，可得 当x=y=1时，z达到最大值-1.x+y-2>0【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的 ABC及其内部，其中 A (- 1, 3), C (1 , 1), B (3, 3).设 z=F (x, y) =3x- 4y,将直线 l: z=3x- 4y 进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当I经点C时，目标函数z达到最大值,-z 最大值=F (1, 1) = 1,故选：C5. (2017?上饶一模)函数-Vi-一在-一的最大值是()x3A.兰 B.丄 C. 2 D. 2 23【分析】求出f (x)的导数，判断导数

11、符号，可得f (x)的单调性，即可得到所求最大值.【解答】解：函数】的导数为f'(x) = 1-则 f'( x)v 0,可得f (x)在-2, 1 上递减，即有f (- 2)取得最大值，且为2-丄二.w £故选：A.6. (2017?长宁区校级三模)已知向量.都是非零向量，是“I,”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件【分析】由向量“匸：都是非零向量，“?：=|討？| i：i ”表示两向量同线，而“ in：. 表示两向量同向或反向，进而根据充要条件的定义，可得答案.【解答】解：? =| 1|?| ：.|=| |?| .|

12、?cos< , >即cos<芒，丨*>=1即向量1、同向，此时“/”一定成立而“/ :”时，向量1> -同向或反向，此时，“?:=| 1| ?|I ”不一定成立故“|?】尸|二I ?| I ”是“|/ ”的充分不必要条件故选：A.7. （2017?洛阳二模）某几何体的三视图如图所示，贝U该几何体中，面积最大的正（主）视圏正（左）视圈俯视图侧面的面积为（【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面 AED丄平面BCDE四 棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积， 即可得出结论.【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示

13、，平面 AED丄平面BCDE 四棱锥A- BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形，则 SAED=I 二,SABC=SABE= ., SACD=|=,MU'乙匕乙乙8. （2017?丽水模拟）下列命题正确的是（）A.若 Ina - Inb=a- 3b,贝U avbv0 B. 若 InaInb=a-3b，贝U 0vavbC.若 Ina - Inb=3b - a,贝U a>b>0 D. 若 Ina - Inb=3b- a,贝U 0>a>b【分析】 由Ina - Inb=3b - a,可得：Ina+a=Inb+b+2b，即可得出.【解答】 解：由 Ina-

14、Inb=3b- a,可得：Ina+a=Inb+b+2b，可得 a>b>0. 故选：C.二.填空题（共6小题）2 “9 .（ 2017?丰台区二模）双曲线_/.的焦点坐标是【分析】确定双曲线的焦点在x轴上，a=2, b=1，利用c= ，即可求出双 曲线的焦点坐标.【解答】解：双曲线二中a=2, b=1,c ' . = ,双曲线的焦点在x轴上，2 双曲线-一的焦点坐标是匸： 呵一 '故答案为:- "10. （2017?东莞市二模）已知等差数列an的前n项和为Sn,若3, a7, a5也成等差数列，则Si7 51【分析】 由等差数列通项公式求出a什8d=3.再由

15、 -=171 / 1 1 2(ai+8d),能求出结果.【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn, 3, a7, a5也成等差数列，2 (a1+6d) =3+ (a1+4d),a1+8d=3.-r=17(a1+8d) =51.故答案为：51.11. (2015?中山二模)(坐标系与参数方程选做题)若直线I的极坐标方程为，一 -“T宁：曲线C： p =上的点到直线I的距离为d，则d的最大值为_.【分析】求出直线的直角坐标方程，圆的直角坐标方程，通过圆心到直线的距离求出d的最大值.【解答】解：直线的直角坐标方程为x+y-6=0,曲线C的方程为x2+y2=1,为圆； d的最大值为圆心到直线的距离加半

16、径，即为.故答案为：七12. (2017?孝义市模拟)已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半 轴重合，终边经过点P (1 , - 2),则sin2 a=-刍.【分析】根据三角函数的定义，求出 sin a和cos a利用二倍角公式可得sin2 a 的值.【解答】解：由三角函数的定义，可得：sincos那么 sin2 a =2sin a cosa 二 x 2X 上= .555故答案为：.513. （2016?长宁区一模）方程9x+3x 2=0的解是 0.【分析】将原方程中的9X看成是3x的平方，对方程进行因式分解，求出x,化简 成同底的指数方程，利用函数的单调性解指数方程即可.【解答】解

17、：9x+3x 2=0即（3x） 2+3x 2=0（ 3x+2） （3x 1） =0? 3x= 2 （舍）,3x=1.解得x=0故答案为014. （2017?西城区二模）某班开展一次智力竞赛活动，共 a, b, c三个问题，其中题a满分是20分，题b, c满分都是25分.每道题或者得满分，或者得0分.活 动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题.答对题 a与题b的人数之和为29,答对题a与题c 的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20.则该班同学中只答对一道 题的人数是 4;该班的平均成绩是 42.【分析】利用方程组求出答对题a,题b,

18、题c的人数，再计算答对一题的人数 和平均成绩.【解答】解：设xa、xb、Xc分别表示答对题a,题b,题c的人数，R+x 严 9则有卩+区/石，/b+zc=20解得 Xa=17, xb = 12, Xc=8；答对一题的人数为37 1 X 3 2X 15=4,全班人数为1+4+15=20;平均成绩为x（ 17 X 20+12 X 25+8 X 25） =42.故答案为：4, 42.三解答题（共6小题）15. （2017?深圳一模） ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2a二csinA-acosC（1）求 C;（2）若c=，求 ABC的面积S的最大值.【分析】（1）由正弦定理，三角函数

19、恒等变换的应用化简已知等式可得sin （C-）=1,结合C的范围，可得C的值.b（2）由余弦定理，基本不等式可求ab< 1,进而利用三角形面积公式可求厶ABC 面积的最大值.【解答】（本题满分为12分）解：（1）v 2a=/?csinA acosC，由正弦定理可得：2sinA=VsinCsinA- sinAcosC 2分/ sinAM0，可得：2= '；sinC- cosC,解得：sin （C-）=1，6- C（ 0, n,可得：C*（-¥，等），o66 C- 一二，可得：C= .6分623（2）v 由（1）可得：cosC=-',由余弦定理，基本不等式可得：3=

20、b2+a2+ab>3ab,即：ab< 1,（当且仅当b=a 时取等号）8分 SabJ absinC=abw，可得 ABC面积的最大值为.12分244416. （2016?可东区一模）如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，底面四边形 ABCD 是菱形，ACA BD=O, PAC是边长为2的等边三角形，汀刃 ：，AP=4AF（I）求证：PO丄底面ABCD（U）求直线CP与平面BDF所成角的大小；（川）在线段PB上是否存在一点 M，使得CM/平面BDF?如果存在，求 玄的【分析】（I）证明P0丄底面ABCD只需证明P0丄AC, P0丄BD;（U）建立空间直角坐标系，求出直线 CP的方向向量

21、，平面BDF的法向量，利 用向量的夹角公式可求直线 CP与平面BDF所成角的大小；（E）设匹=入（0W圧1），若使CM/平面BDF,需且仅需页"n=0且CM?平面BPBDF,即可得出结论.【解答】（I）证明：因为底面 ABCD是菱形，ACA BD=O,所以0为AC, BD中点.（1 分）又因为 PA=PC PB=PD所以P0丄AC, P0丄BD,（3 分）所以P0丄底面ABCD（4 分）（U）解：由底面ABCD是菱形可得AC丄BD, 又由（I）可知P0丄AC, P0丄BD.如图，以0为原点建立空间直角坐标系 0- xyz. 由APAC是边长为2的等边三角形，汀可 ：，所以A(l, 0

22、, 0), 0(-1, 0, 0), B(0,繭，0)，P(0, 0,分）所以. 一 .-（ 6 分）_rV3y=°设平面BDF的法向量为7 = （x, y, z）,贝卜3 航令x=1，则.-，所以 F （1, o, ；）（8 分）因为C（9 分） 所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为I ,所以直线CP与平面BDF所成角的大小为30°（ io 分）（m ） 解： 设一=x （ o w 入w 1）, 则丫-I； - :/ 1- '1- :.- .（ii 分）若使CM /平面BDF,需且仅需 H -11=0且CM?平面BDF,（12 分） 解得 '<

23、_（13 分）所以在线段PB上存在一点M，使得CM/平面BDF.此时理丄（14 分）17. （2017?安徽三模）医生的专业能力参数 K可有效衡量医生的综合能力，K越 大，综合能力越强，并规定：能力参数 K不少于30称为合格，不少于50称为优 秀.某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所 示的能力K的频率分布直方图：（1）求出这个样本的合格率、优秀率；（2） 现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医 生中随机选出2名. 求这2名医生的能力参数K为同一组的概率； 设这2名医生中能力参数K为优秀的人数为X,求随机变量X的分布列和期望.【分析】（

24、1）根据合格率、优秀率的意义即可得出；（2）利用分层抽样的方法、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列和期 望即可得出.【解答】解：（1）解：各组的频率依次为0.2, 0.3, 0.2，0.15，0.1，0.05，这个样本的合格率为1- 0.2=0.8，优秀率为 0.15+0.1+0.05=0.3.（2）用分层抽样抽出的样本容量为 20的样本中，各组人数依次为4, 6, 4,3, 2, 1.从20名医生中随机选出2名的方法数为-T,选出的2名医生的能力参数K为同一组的方法数为i_ _八.故这2名医生的能力参数K为同一组的概率'-20名医生中能力参数K为优秀的有6人，不是优秀的有14人

25、.2 1依题意，X的所有可能取值为0,1,2，则.，一 ' -7 ,上190c295v20v20厂23P(X二刀二 W 二丽20二X的分布列为X012P911904295338:X的期望值z -甘右3 3518. (2017?兴庆区校级一模)已知抛物线 y2=2px (p>0)，过点C (-2，0)的 直线I交抛物线于A，B两点，坐标原点为O,"?U：；=12.(I)求抛物线的方程；(U)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线I的方程.* *【分析】(I)设I :=my- 2,代入y2=2px,可得根与系数的关系，再利用少？宀=12, 可得X1X2+y1y2=12，代入

26、即可得出.(n)由(I) (?)化为 y2- 4my+8=0.设 AB 的中点为 M ,可得 | AB| =2xm=X1+x2=m (y1+y2)- 4=4m2- 4,又1 AB =不詞浙-y2| =J(1+/)(16貯-32)，联立解出 m即可得出.【解答】解：(I)设I: x=my- 2,代入y2=2px,可得 y2- 2pmy+4p=0. (?)设 A (X1, yj , B (X2, y2),贝U y1+y2=2pm, yy2=4p,2 2贝U XiX2='上4.2p 2p示？ I =12,二 xiX2+yiy2=12,即 4+4p=12,得p=2,抛物线的方程为y2=4x.(

27、U)由(I)(?)化为 y2-4my+8=0.yi+y2=4m, yiy2=8.设AB的中点为M ,则 | AB| =2xm=xi+X2=m(yi+y2)- 4=4m2- 4,又|AB|= =|屮-闷=i，由得(i+m2) (i6m2- 32) = (4m2- 4) 2,解得 m2=3, m=±直线 I 的方程为 x+ ；y+2=0,或 x- :y+2=0.i9.(20i7?新课标川)已知函数 f (x) =lnx+ax2+ (2a+i) x.(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 当 av 0 时，证明 f (x)w-丄-2.【分析】(i)题干求导可知f'( x)=(厉时D

28、 &+D (0),分a=0 a> 0、avK0三种情况讨论f'(x)与0的大小关系可得结论；(2)通过(i)可知 f (x) max=f (-)= i In2 - +ln (-丄)，进而转化可知问题转化为证明：当t>0时-1 t+lnt<- i+ln2 .进而令g (t) =- t+lnt,2 2利用导数求出y=g (t)的最大值即可.【解答】(1)解：因为 f (x) =lnx+ax2 + (2a+1) x,+ 戸 z /、1 ,o ,/o，八 2ax+(2a+l)x+1(2ax+l) (x+1) z、c、求导 f (x) +2ax+ (2a+1) =、 , (x> 0),当a=0时，f'(x) 4+1 > 0恒成立，此时y=f (乂)在(0, +)上单调递增；当a>0,由于x>0,所以（2ax+1） （x+1）> 0恒成立，此时y=f （乂）在（0,+x)上单调递增； 当av 0时，令f'(x) =0,解得：x=-丄.2a因为当 x( 0, 1 ) f'( x)> 0、当 x( 1 , +x)f (x)v 0,2a2a所以y=f (乂)在(0,)上单调递增、在(-,+x)上单调递减.2a2a综上可知：当a>0时f (乂)在(0, +x)上单调递增，当av0时，f (乂)在