储油罐的变位识别与罐容表标定的数学模型

1、储油罐的变位识别与罐容表标定的数学模型摘要本文解决了储油罐罐容表变位后标定的问题。通过把实际的储油罐抽象成直角坐标系下的几何柱体，然后从区分不同的油面高度入手建立了几何柱体体积的积分模型。再通过合理运用所给数据进行数据拟合，得出了油量体积与油面高度之间的函数关系，进而进行理论与实际体积之间的误差分析和模型可行性分析。针对问题一，首先对于无变位的小椭圆柱体建立了直角坐标系下的容积积分模型（见第4页）。通过Minitab15软件对实验数据进行曲线拟合，得出一个油量作为高度的函数关系。利用这个函数关系计算出相应罐容表高度的实际油量容积，对比理论积分模型的容积值，计算出误差值（见表3和表5）。观察知误

2、差属于正常范围内，则得出通过理论模型来标定的标准罐容表（见第7页表6）。然后当只有纵向倾斜的变位时，根据柱体内的倾斜油面将柱体容积分为三个部分，分段计算出相对应部分中的容积积分，建立了变位后的分段容积积分模型，通过Matlab7.0编程得出容积积分函数（见第9页）。而这个模型是与纵向倾斜角度和油高两个因素有关的。当倾斜角一定时，代入条件数据进行拟合对比，得出模型是合理有效的，从而得出变位后的罐容表（见第12页表7）。最后将每变化0.01m的油量变化量与标准罐容表作比，得出比例系数。针对问题二，将储油罐分割成两个球冠和一个圆柱三部分，并将其截面放入平面直角坐标系下建立容积积分模型，分别求出各个部

3、分的油量容积，再相加求总容积（见第15页）。而当纵向倾斜和横向偏转都存在时，考虑将空间直角坐标系作一个相应变换，即把轴乘以相应的三角函数得到新的坐标系，此时积分模型得出的是关于两个倾斜角度和高度的函数。然后根据所给数据作拟合计算出实际油量，且分别选取两个倾斜角度的合理范围，固定高度后代入容积积分函数，将得到的油量与拟合出的实际油量作比较，利用最小二乘的方法从两边逐步逼近，最终得出最优的倾斜角度（见第17页）和倾斜后的罐容表（见第17页表8）。最后，利用附件2中的实际检测数据对所建模型的正确性与所运用方法的可靠性进行了分析。关键词 椭圆柱；储油罐；积分模型一、问题的重述对于加油站的地下储油罐都有

4、与之配套的“油位计量管理系统”，工作人员采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据。再通过预先标定的罐容表进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。但由于地形变化而导致储油罐的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变位，使得罐容表的标度不再准确。故要研究变位与罐容表之间的对应关系。其中的条件包括：条件一：实际圆柱型（两端为球冠体）储油罐的尺寸及变位后的各项数据见附录一图1至图3，图4是小椭圆型储油罐模型（两端平头的椭圆柱体）。条件二：利用小椭圆型储油罐模型，分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据见附件1所示。条件三：问题只考虑纵向倾斜和横向偏转

5、的变位，且纵向倾斜角度为a和横向偏转角度为b。要讨论的问题有：问题一：针对小椭圆型储油罐，建立数学模型来研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。问题二：针对实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，并用附录二的数据确定a和b的值，给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。二、问题的分析对于问题一，首先计算无变位时的罐容表。已知罐容表就是罐内油位高度与储油量的对应关系，故要根据已给小椭圆型的数据，积分得出其体积与高度之间的关系，即建立积分模型。具体做法是取从左往右的左视

6、图，将所截半椭圆面函数作为被积函数。然后乘以罐长即得体积与高度的理论函数。再利用无变位时进油出油的实验数据，拟合出油量作为高度的函数关系。然后令高度为标准罐容表的刻度，通过编程计算出高度间隔为1cm的油量体积数，即为标准罐容表。而用拟合出的关系函数，则可以计算出相应高度的计算油量。将理论油量与计算油量做比较，可得出罐容表计量的误差。再考虑变位后的罐容表。由于小椭圆型油罐的两端是椭圆形，故在研究积分时先分段，以到一半长轴为界限，分别计算半椭圆的面积，从而得出被积函数的表达式。然后乘以模型的长，就可以表达出变位时的体积公式。用编程积分得体积与高度的函数，再与拟合的函数比较，得出变位后的罐容表。将标

7、准罐容表与变位后的罐容表数值关于纵向倾斜角度a作比值，就可以得出变位后对刻度的影响。对于问题二，类似于对问题一的分析，首先计算实际标准储油罐的体积与高度的函数关系，同样要建立积分模型。由于标准储油罐的两端是球冠体，因此可以将储油罐分成两部分分别积分，即分为圆柱体和两个球冠体。为了方便积分，可以取从上往下的视角，即俯视图，来对所截平面积分。故应设油高为积分变量，用高度表示不同油量时球冠弧对应的半径，从而计算出球冠处的面积，最后编程积分得理论函数。当有变位时，加入两个角度值为自变量，用实验数据二来代入计算，得出角度与罐容表的函数。三、模型的假设（1）不考虑储油罐内外温度的变化；（2）油位探针的压力

8、传感器在最下端；（3）出油管等管的体积忽略不计；（4）储油罐在进油后没有其他外在的抽油，即进油后的总量与刚开始出油时等量；四、符号说明误差：； 高端液高为时的体积：（单位：m3）；椭圆长半轴：； 椭圆短半轴：；油高：（单位：m）； 油高坐标值：；储油罐长度：（单位：m）； 理论油量：（单位：L）；实际进油油量：（单位：L）； 实际出油油量：（单位：L）；储油罐的一半高度：（单位：m）； 储油罐球冠半径：（单位：m）；储油罐球冠高：（单位：m）； 五、对问题一求解的小椭圆柱体容积积分模型5.1 无变位积分模型5.1.1模型的建立对于小椭圆型罐模型，把它转化成坐标系中的椭圆柱，如图1；当向里面进油

9、时，油面是水平的，即从左往右看的左视图如图2 图1椭圆柱 图2 左视图根据数学分析中的定积分应用知识1，将储油罐储油量计算问题转化成求椭圆柱容积计算问题来处理。当油面水平时，罐长是一定的，且左面与右面的半椭圆面大小相同。因此只需要计算侧平面图形椭圆的面积。故在图2所建的直角坐标系中，椭圆的方程为 ，为了将面积表示成高度的函数，其中横坐标可表示为 。 (1)取一个高度为的积分元，即用作为积分变量。值得注意的是，上式不是标准的椭圆方程，其目的是使得油高与纵坐标相一致。由定积分知识得，以椭圆方程为被积函数，分别以油高坐标值和短半轴为上、下限，积分得图2中油所覆盖半椭圆面积为 , (2)而要求的理论柱

10、体体积为 , (3)通过换元计算积分式(3)得理论体积为 。 (4)上式就是表示油高与体积之间的理论函数。根据这个理论函数，令且按1cm的增量递增，代入式(4)就可以计算出相应高度的油量体积，即刻画出标准罐容表。5.1.2 模型的求解对于小椭圆型的储油罐模型，已有数据为，将其代入(4)式，得理论容积作为油高的函数关系为 。 (5)为了先标刻出标准罐容表的刻度，利用问题的约束条件，令且按1cm的增量递增，代入式(6)计算得出理论油量体积，即罐容表。部分数据见如下的表1：表1 理论罐容表高度（m）理论油量（L）高度（m）理论油量（L）高度（m）理论油量（L）0.31839.50668650.361

11、034.8249920.411238.0842150.32877.83812790.371074.9042140.421279.5213150.33916.55268290.381115.2847820.431321.1867510.34955.63311160.391155.9515040.441363.0666950.35995.06265420.401196.8895080.451405.1475285.1.3 模型的检验为了检验理论油量函数的可实用性，需要将理论值与试验值做比较。有了这个目的，就可以利用对问题所给附件1的实验数据中无变位进油的数值，通过Minitab软件统计中的数据拟合

12、进行函数拟合，得出拟合油量体积作为油位高度的函数和图3如下： 。 (6)图3 进油时油量体积与油高的函数图令其中的油位高度为标度的0.01cm，代入式(6)得出对应的实际油量，部分数据如表2表2 由拟合函数得的进油时油量高度（m）实际油量（L）高度（m）实际油量（L）高度（m）实际油量（L）0.31801.57612120.361034.8249920.411238.0842150.32839.50668650.371074.9042140.421279.5213150.33877.83812790.381115.2847820.431321.1867510.34916.55268290.39

13、1155.9515040.441363.0666950.35955.63311160.401196.8895080.451405.147528观察表1和表2的对应高度的油量容积，由此来计算相应于表1、表2中理论进油量与实际进油量之间的误差。计算误差公式为 ， (7)对于上述部分数据，在Excel中计算得误差值，见表3表3 理论油量和实际进油油量的误差高度（m）误差（%）高度（m）误差（%）高度（m）误差（%）0.313.3360095830.363.4626515960.413.4745182240.323.3733216790.373.4724568140.423.4676039140.33

14、3.4041296780.383.4781507070.433.4583831760.343.4289560750.393.4801405540.443.4471521250.353.4483033830.403.4788096920.453.434187644以上讨论的是进油时的理论与实际油量，还要研究出油时的误差，从而确定误差的来源与理论的可靠性。由假设（4）可知，进油后的一个小时中并没有其它的出油，即出油初始时的燃油量就是进油后的总量。故首先要将附件一中无变位出油中的累计出油量转化为出油后剩余量，即 ，其中是已给的累加出油量，是进油最后的总量，本问题中（L）。类似于表1对出油后剩余量和油

15、高通过Minitab曲线拟合，得到出油时的油量与油高的函数关系和图4 。 (8)图4 出油时油量体积与油高的函数图将罐容表的刻度值为0.01m代入式(8)，对应上面的部分数据的实际出油量见表4表4 由拟合函数得的出油时油量高度（m）实际油量（L）高度（m）实际油量（L）高度（m）实际油量（L）0.313156.0784460.362968.1631360.412772.0202260.323119.2366080.372929.5374180.422731.9565280.333082.0103220.382890.5964320.432691.6467420.343044.4134240.3

16、92851.3540140.442651.1047040.353006.459750.402811.8240.452610.34425由此来计算相应于表3、表4中理论出油量与实际出油量之间的误差，其表达式为 ，代入数据计算得表5表5 理论油量和实际出油油量的误差高度（m）误差（%）高度（m）误差（%）高度（m）误差（%）0.314.4126990480.364.5081456150.414.6256322310.324.4306237460.374.5295214780.424.6526631130.334.4490135780.384.5518814960.434.6810151720.34

17、4.4679905740.394.5753055230.444.7107390450.354.4876668910.404.5998667680.454.741880534比较表3和表5在相同高度处的误差，发现出油时的理论计算油量与实际油量的差距更大。这种现象可以认为是由于出油时油是通过出油管抽出的，且随着燃油的减少，储油罐中的油面高度也在下降。这样就会有部分燃油因油的粘稠性而附着在储油罐内壁，且出油越多，油面高度下降越大，附着的油量就越多，从而产生的误差就越大。据此分析依据这个角度看这个理论油量的积分模型所得出的油量与油高的函数关系是可行的，故可以使用积分来标定标准罐容表，具体数据见表6。表

18、6 标准罐容表高度（m）油量（L）高度（m）油量（L）高度（m）油量（L）高度（m）油量（L）0.014.248039830.31839.5066870.612095.233980.913339.287240.0213.88034610.32877.8381280.622138.779860.923376.360430.0326.30156840.33916.5526830.632182.301530.933412.975830.0440.94828060.34955.6331120.642225.786850.943449.113050.0557.49043680.35995.0626540

19、.652269.223650.953484.750890.0675.70237520.361034.824990.662312.599740.963519.867250.0795.41622300.371074.904210.672355.902860.973554.439010.08116.5001710.381115.284780.682399.120700.983588.441970.09138.8467440.391155.951500.692442.240850.993621.850660.1162.3658290.401196.889510.72485.2508513654.638

20、240.11186.9802160.411238.084220.712528.138121.013686.776330.12212.6226090.421279.521320.722570.889991.023718.234760.13239.2335220.431321.186750.732613.493651.033748.981370.14266.7597550.441363.066690.742655.936171.043778.981730.15295.1532600.451405.147530.752698.204471.053808.198740.16324.3702710.46

21、1447.415830.762740.285311.063836.592250.17354.3706280.471489.858350.772782.165251.073864.118480.18385.1172450.481532.462010.782823.830691.083890.729390.19416.5756730.491575.213880.792865.267791.093916.371780.2448.7137580.51618.101150.82906.462491.13940.986170.21481.5013430.511661.111150.812947.40050

22、1.113964.505260.22514.9100330.521704.231300.822988.067221.123986.851830.23548.9129870.531747.449140.833028.447791.134007.935780.24583.4847510.541790.752260.843068.527011.144027.649630.25618.6011070.551834.128350.853108.289351.154045.861560.26654.2389490.561877.565150.863147.718891.164062.403720.2769

23、0.3761700.571921.050470.873186.799321.174077.050430.28726.9915690.581964.572140.883225.5138721.184089.4716540.29764.0647640.592008.118020.893263.8453131.194099.103960.30801.5761210.62051.6760.93301.7758791.24104.392645.2 变位后的容积积分模型5.2.1 模型的建立当小椭圆柱有纵向变位时，可将其分成、三个部分2，其中、两部分为楔形体，部分是水平液面为梯形的中部区，具体见图5。yh

24、xLdlH2ahA面A面图5 下部楔形体的部分容积计算 图6 左视图（1）部分下部楔形体积分模型为计算此部分的容积，就是要先计算图6的左视图中半椭圆的面积，再对垂直于罐底的各个面积分，即得容积。故在图5中，当，即时，为下部楔形地区。取在距离液面高端（液面高端就是指从左边观察油面的高度）处，用一垂直于椭圆柱体的截面，截得A面。该区内通过此面的任一高度的油，在A面上为一弓形面积，其值为 。由上式可以看出，这个截面面积跟油高有关。而要求容积的积分式中应该是罐长为积分变量，即高端液高为时的部分容积为 ， (9)观察图5，寻求与之间的关系，有 ，得，所以积分变量可换为，当时，；当时，。将换好的积分变量代

25、入(9)式，即得出部分的容积积分公式 。利用Matlab7.0软件编程（见附录二）就可以将上式的积分式解出，即 。 (10)（2）部分中部区积分模型如图7所示，当，即时，为中部区，该区高端起始高可按计算。 H2aMhHb1b2图7 中部区的部分容积计算 图8 高端 图9 低端当液面处于此区域时，其液面的形状为两端分别为弦长b1和b2截去部分的椭圆面。令此时高端液高为，低端液高为。在下楔形积分模型中，。在此模型中通过部分总截面是平行四边形这一条件，可以将高端液面处的容积计算转化成部分的最上限，从而由式(10)得液面处于中部区的部分容积计算公式为 。 (11)（3）部分上部楔形体积分模型最后一部分

26、是上部楔形体，如图10所示，当高端液高，即高端液面进入第部分时，其部分容积按下式计算 ， (12)也就是总容积与类似部分容积之差，其中和都用(10)式表示。 LGHH00HkM2R图10 上部楔形体的部分容积计算 图11 油浮子处高与高端液高关系（4）油浮子标度与高端液面的关系上面分情况讨论的三种情况都是以高端液面为自变量的积分模型，而问题要求的是油浮子处的刻度高度与标准罐容表之间的关系。如图11，利用三角形中的三角函数关系可得 ，其中是油浮子到左端点的固定距离。这样把用表示，再代入上面的式(10)等三个分段函数，就可以得出油量体积作为油浮子处高度的函数表达式。5.2.2 模型的求解根据式(1

27、0)的公式，代入已知数据，即，得部分下部楔形体的部分容积函数为 。对于本题中附件1中的变位实验数据知，同无变位时的自变量的取值相同，令且按1cm的增量递增，代入上式用Excel计算得出变位后相应刻度处的理论油量。同理将附件1中变位后的进油数据，通过Minitab软件进行数据拟合，得出变位后实际的油浮子量出的油面高度，见图12，其油量与油高的函数关系为 ，再令自变量，得出变位后罐容表中的油量数。图12 变位后油量与油高的拟合图但由于本问题中在进油前有一部分初始油，则要先算出此部分初始油量的高端液面。即直接令理论油量积分式中的容积，计算得出对应的高端高度（m）。而在分段函数中部分的上限值为，当时，

28、上限值就是 （m），比较初始油量高端液面与这个上限值，即，这说明由于变位的倾斜角度过小，导致初始油量已经处于部分。所以在标油浮子理论刻度时，要根据上限值来分段求解。利用Excel计算得出变位后理论与实际油量之间的误差，其值大约都为0.34%左右。这说明得出的理论函数较好，由此求变位后的罐容表如下表7表7 变位后罐容表高度（m）油量（L）高度（m）油量（L）高度（m）油量（L）高度（m）油量（L）0.01-0.53537020.31535.8585440.611749.588820.913060.997410.02-0.16609910.32570.4006310.621793.767600.9

29、23102.143940.030.868778090.33605.5444920.631838.034150.933142.968680.042.69287790.34641.2633730.641882.375620.943183.454450.055.41645980.35677.5319190.651926.779200.953223.583530.069.137600720.36714.3260170.661971.232170.963263.337590.0713.94469180.37751.6226610.672015.721820.973302.697640.0819.9183

30、4570.38789.3998330.682060.235490.983341.643920.0927.13278110.39827.6364100.692104.760520.993380.155810.135.65684160.40866.3120720.72149.2842713418.211720.1145.55476630.41905.4072290.712193.794091.013455.788950.1256.88678480.42944.9029500.722238.277301.023492.863490.1369.70958930.43984.7809110.732282

31、.721211.033529.409840.1484.07671390.441025.023340.742327.113081.043565.400720.15100.0388470.451065.612950.752371.440121.053600.806700.16117.6440870.461106.532950.762415.689461.063635.595770.17136.9381640.471147.766940.772459.848181.073669.732680.18157.9646220.481189.298910.782503.903251.083703.17805

32、0.19181.3003510.491231.113240.792547.841521.093735.887190.2205.5449670.51273.194590.82591.649771.13767.808150.21230.9753680.511315.527950.812635.314581.113798.878940.22257.5041340.521358.098580.822678.822441.123829.022810.23285.0556350.531400.891990.832722.159631.133858.140220.24313.5649350.541443.8

33、93920.842765.312261.143886.093990.25342.9753700.551487.090330.852808.266241.153912.679050.26373.236710.561530.467380.862851.007241.163937.553040.27404.3038290.571574.011380.872893.520691.173960.047140.28436.1357440.581617.708830.882935.791751.183978.491370.29468.6948920.591661.546360.892977.805271.1

34、93986.167520.30501.9465770.61705.510730.93019.545771.23992.392645.2.3 模型的检验 在计算误差时发现其值基本上是保持在一个数值上，因此可以说明这个理论函数是可用性较高的。六、对问题二求解的实际储油罐容积积分模型6.1 模型的建立xyhR-ho对于实际储油罐的特殊形态，为了求其中油面对应的容积，要把储油罐分解成两个球冠与一个圆柱，分别求出各自的容积后求和。其中从正视图分解的各部分如图13图13 储油罐截面分解图 图14 左视图6.1.1 中间圆柱的容积积分模型当无变位时，以球冠的中心点为原点建立平面直角坐标系，而实际容积积分模型

35、要根据储油罐的油高分为两类：（1）油面高度的情况当时，储油罐中间圆柱体的左视图见图14。为了避免油高出现负值给积分和解释带来不便，我们将区域，即把图14中阴影区域翻折到时的阴影区域，则可求出阴影面积为 ，因此中间这个圆柱容积就可以求出为 。 (13)（2）油面高度的情况当时，中间圆柱体的左视图中阴影面积为 ，xy00xyr图15 求半径图 图16 球冠图因此对应容积为 。 (14)6.1.2 两端球冠的容积积分模型如图15所示，先求出球冠的半径，即 ， (15) 之后以垂直于地平面为截面画平面图，其中以右弧与中间长方形接线处中点为圆心建立平面直角坐标系。则截球冠的圆弧所在的方程为 ，在立体图中

36、球冠任意一截面所截得的圆半径为 ， (16)这个就是油面高度。而作为两端的球冠容积也要分成两种情况讨论：（1）油面高度的情况若，则按式(13)有 ，则球冠的容积为。 (17)（2）油面高度的情况若，则按(14)式有 ,则球冠的容积为。 (18) 综上所述，得储油罐的容积积分模型为 或者。6.2 模型的求解先计算中间圆柱体容积，即已知，代入(13)式和(14)式，得 对于球冠，根据附录一图1中的数据，可得，代入式(15)得出半径。再代入式(16),得出 而和中的、和的关系如下，代入亦可得出、。所以，纵向变为角度时，油浮子测量高度所对应的油的理论容积值为：。 (19)6.3 带倾斜角度的容积积分模型已知原来的空间直角坐标系是以罐长方向为轴，垂直地平面为轴，指向纸外为轴的坐标系。在上面无变位的容积积分模型基础上，将空间直角坐标系作变换如下 ， (20)即由建立了新的沿罐的空间直角坐标系。之后将无变位的容积公式中的坐标用新坐标系的坐标表示，即得出容积关于两个倾斜角度和高度的函数关系。由(2