—9一一映射,同态及同构

1、第 3 讲 §79 一一映射，同态及同构 （2课时） (Bijection Homomorphism and Osomorphism )本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。具体要求：1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深入的研究。2、充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射。3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础，本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握

2、。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。一、一一映射在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。定义1、设是集合到的映射，且既是单的又是满的，则称是一个一一映射（双射）。例1：，其中，可知显然是一个双射。注意：与偶数集之间存在双射，这表明：与它的一个真子集一样“大”。思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：为无限

3、集的充要条件是与其某个真子集之间存在双射。定理1：设是到的一个双射，那么由可诱导出（可确定出）到的一个双射（通常称是的逆映射）证明：由于是到的双射，那么就中任一个元素，它在中都有逆象，并且这个逆象是唯一的。利用的这一特点，则可确定由到的映射：，如果，由上述说明，易知是映射。是满射：，因是映射，再由的定义知，这恰说明，是在下的逆象。由的任意性，知是满射。是单射：由是满射的逆象分别是，又是单射，这说明，所以是单射。综合上述讨论知：是到的一个双射。结论：设是映射，那么：（1）是双射可唯一的确定一个逆映射，使得：是双射； 也是的逆映射，且；（2）是双射同时是有限集或同时是无限集。二、变换定义2：设是映

4、射，那么习惯上称为是的变换。当是双射（单射，满射）时，也称为一一变换（单射变换，满射变换）例2 三、同态（本目与高代中的线性变换类似）对代数系统的比较。例3、设，其中中的代数运算就是中的加法，而中的代数运算为数中的乘法。定义3：设集合都各有代数运算（称及为代数系统）而是映射，且满足下面等式：（习惯上称可保持运算）那么称是到的同态映射。例4、设与同例3，今设，那么例5、与同上，而（1） 若均为偶数时为偶数，（2）若均为奇数时为偶数，（3）若奇而偶时为奇数，则（4）若偶而奇时同理知. 由(1)(4)知,是到的同态映射.如果同态映射是单射（满射），那么自然称是同态单射（同态满射），而在近世代数中，同

5、态满射是尤其重要的。定义4：若是到的同态满射，那么习惯上称同态，并记为；习惯上称是的同态象.定理2. 如果是到的同态满射，那么（1） 若满足结合律也适合结合律；（2） 若满足交换律也适合交换律.证明：（1）任取是满射，又因为中的满足结合律即，但是是同态映射。所以同理可以证明（2）定理3、设和都是代数系统，而映射关于以及都是同态满射，那么：（1） 若满足左分配律也适合左分配律；（2） 若满足右分配律也适合右分配律。证明：（1）是满射.又因为是关于及的同态映射即.同理可证明（2）。思考题1：在定理2及定理3中，都要求映射是满射，似乎当是同态满射时，才能将中的代数性质（结合律、交换律及分配律）“传递

6、”到中，那么：（1） 当不是满射时，“传递”还能进行吗？（即定理2，3成立吗？）（2） 即使是满射，“传递”的方向能改变吗？（即中的性质能“传递”到中去吗？）（3） 依照定理2，3的思路，若将换成同态单射后，能获得什么结论？四、同构定义4、设是到的同态映射，若是个双射，那么称是同构映射，或称与同构，记为。例6、设都是整数中通常的加法“+”，现作，那么是同构映射.事实上，（1）是单射：当是单射.（2）是满射：是满射.（3）是同态映射： 由（1），（2），（3）知，是同构映射，即。定理4、设是到的同构映射，那么（1）“”适合结合律“”也适合结合律；（2）“”适合交换律“”也适合交换律；（3）“”和

7、“+”满足左（右）分配律“”和“”满足 左（右）分配律。注意：由上述表明，同构的两个代数体系由运算所带来的规律性是相同的，因此，同构的两个代数体系尽管可能有这样或那样的差别，但从近世代数的宗旨来看，我们自然认为：它们的差别是表面上的，次要的，而它们的共同点运算所体现的规律性则是本质的，主要的。于是，我们需要阐明近世代数的观点是：凡同构的代数体系都认为是（代数）相同的。在上述的观点下，一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。我们将代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构。因此，同构的代数体系由于完全相同的代数结构。研究代数体系的首要目的就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构。而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。课堂练习：设，那么，不可能同构.证明：（反证法）若，那么是同构映射。设思考题2：试证：（1）不同构（为普通乘法）。（2）不同构.（3）不同构（其中为非零有理数集）.思路：（1）（反证法）若，且是到的同构映射。则（2）（反证法）若，且是到的同构映射。则.（3）（反证法）若，且是到的同构映射。则五、自同