计算方法实验

1、计算方法实验报告学号姓名班级计算机科学与计术三班实验项目名称一、实验名称实验一插值与拟合1. 实验目的：1. 明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；2. 编程实现拉格朗日插值算法，分析实验结果体会高次插值产生的龙格现象；3.理解最小二乘拟合，并编程实现线性拟合，掌握非线性拟合转化为线性拟合的方法4.运用常用的插值和拟合方法解决实际问题。二、实验内容及要求1.给定函数.2.三、实验原理及算法描述1. Lagrange 插值法的基本原理：2. Lagrange 插值算法描述： (也可以是算法流程图 )步骤 1： 构造 x, x ,L , x处的插值基函数 l0 ( x), l1 (x),L

2、, l n ( x) ，其中，插值节点x处的插值01ni基函数 li (x) 为 li ( x) =( x -x0 )L (x - xi- 1 )( x - xi + 1 )L (x - xn )；(xi - x0 )L ( xi - xi - 1 )( xi - xi+ 1)L (xi - xn )步骤 2：以 yi 作为 li ( x) 的系数，使得 yil i ( x) 通过插值点 (xi , yi ) ；步骤 3：把所有的yi li ( x) 线性叠加，得到通过所有插值点( xi , yi ), i = 0,1,L , n 的插值函数nLn (x) = ? yi li ( x) 。i=

3、 0Lagrange 插值伪代码：给定 n 个插值点 ( x0 , y0 ),( x1, y1 ),L ,( xn , yn ) 的情况下，求插值函数Ln ( x) 在点 t 处的函数值。/* 输入参数* x=(x0,x1, .,xn),插值节点* y=(y0,y1, ,yn);被插函数 f(x) 在插值节点处的函数值* t求插值函数 L n (x)在 t 处的函数值* 返回值插值函数 Ln (x)在 t 处的函数值*/四、程序代码及实验结果实用文档1 主程序intmain()floatXN, YN, x;intnum;ifstreamin("input.txt");in&

4、gt;> num;for ( inti = 0; i < num; i+)in>> Xi;in>> Yi;in>> x;floatresult = largerange(X,Y,num,x);cout<<" 我们想要的结果为：" << result<<endl;return0;2 Lagrange 插值子程序 :functiony=lagr1(x0,y0,x)%x0为插值点的向量,y0 为插值点处的函数值向量,x 为未知的点 .floatlargerange(floatX,floatY,in

5、tn,floatx) floatres = 0;/ 结果intj = 0;floatLbaseN;/ 基函数floatup, down;for ( intk = 0; k<n; k+) up = 1.0;down = 1.0;for (j = 0; j<n; j+) if(j = k)continue ; / 是乘非 K 的数 so contiueup = up*(x -Xj);down = down*( Xk -Xj);Lbasek = up / down;/ 所有插值的 base/ 上米娜这个循环实现了基函数的运算.实用文档for ( inti = 0; i<n; i+)

6、 res = res + Lbasei *Yi;returnres;实验结果：分段线性差值：子程序：floatfenduan( floatX,floatY,intn,floatx)inth = 1;intxl =x;floatyi = 1.0 / (1.0+ xl*xl);floatyiplus =1.0/(1.0+ (xl + 1)*(xl + 1);floatres;res = yi*(1 - (x - xl) / h) + yiplus*(x - xl) / h);returnres;主程序：intmain()floatXN, YN, x;intnum;ifstreamin("

7、input.txt");in>> num;for ( inti = 0; i < num; i+)in>> Xi;.实用文档in>> Yi;in>> x;floatjingque = 1 / (1 + x*x);floatresult = fenduan(X, Y, num, x);cout<< " 我们求 " << x<< " 的近似值 "<< endl;cout<< " 分段线性结果为：" <<

8、result<< endl;cout<< " 精确值为： "<< jingque<< endl;cout<< " 误差为： " << abs(jingque - result)<< endl;return0;结果：牛顿：子程序：/ 求插上floatchashang( floatX,floatY,intn)floatres = 0;floattemp = 0;for ( inti = 0; i<n + 1; i+) temp = Yi;for ( intj = 0;

9、j<n + 1; j+)if(i != j) temp = temp / (Xi -Xj);/ 就是把他们的积 球出来res = res + temp;/ 求和returnres;floatniudun( floatX,floatY,floatx,intn)double res = 0;for ( inti = 0; i<n; i+).实用文档floattemp = 1;floatf = chashang(X,Y, i);for ( intj = 0; j<i; j+)temp = temp*(x -Xj);res = res + f*temp;returnres;主程序：i

10、ntmain()floatXN, YN;intnum;cout<< " 请输入插值的节点数 :"<< endl;cin>> num;cout<< " 请输入对应的插值结点（X，Y）： " << endl;for ( inti = 0; i<num; i+) cout<< " 第" << i + 1<<" 个节点的 x值： " ;cin>> Xi;cout<< " 第" &

11、lt;< i + 1<<" 个节点的 y值： " ;cin>> Yi;floatx;cout<< " 请输入待求解的插值节点的 X值" << endl;cin>> x;floatres = niudun(X, Y, x, num);cout<< " 插值结果为： " << res<< endl;结果：.实用文档。如图一所示。1离散点Lagrange插值0.9Newton插值0.80.70.60.50.400.10.20.30.40.50.60.70.80.91图 12Lagrange2Largr 插 值f(x) 图 像1.51Lagr.110.5Lagr.7Lagr.30Lagr.5-0.5Lagr.9-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4