一类具有校正隔离率随机SIQS模型的绝灭性与分布.docx

1、数学物理学报http:2017,37A(6):1148-1161一类具有校正隔离率随机SIQS模型的绝灭性与分布魏凤英通讯作者林青腾(福州大学数学与计算机科学学洗福州350116)摘要：该文探讨了一类具有校正隔离率的随机传染病模型，得到了该模型存在唯一的全局解.研究表明，当白噪声强度取较大值时，随机模型的解在无病平衡点附近是绝灭的，感染者的密度将指数衰减到零.当白噪声的强度较小时，随机模型的正解在地方病平衡点附近服从唯一的平稳分布.进而，若地方病平衡点是稳定的，在适当的条件下，该解渐近服从一个三维正态分布，且得到了均值与方差的表达式.最后，数值模拟图显示了该解的性质并对模型做出了合理的解释.关

2、键词：随机S1QS传染病模型；绝灭；平稳分布；正态分布；李雅谱诺夫函数.MR(2010)主题分类：60H10;92B05中图分类号：0211.63文献标识码：A文章编号：10033998(2017)0&114&141引言我们提出一个具有校正隔离率的易感者感染者隔离者模型，该模型用常微分方程描述如下S。)i-相)-V)+如)+心)，<灿=l+a跳)+a彼广血+收稿日期：2016-11-25;修订H期：2017-05-17E-mail:基金项目：国家自然科学基金(11201075)和福建省自然科学基金(2016J01015)SupportedbytheNSEC(1120107

3、5)andtheFPNSFC(2016.J01015)加,(L1)Q(t)=R(t)-(d3+p)Q(t),其中，S(t)为易感者在t时刻的密度，Z(t)为没有接受隔离的感染者的密度，Q(t)为t时刻已接受隔离的隔离者的密度.参数4由,心/3为正数，且d,P,%a是非负常数.常数人是易感者的出生及移民的输入率；0是易感者与感染者(即，与非隔离者)之间的平均接触率；有为易感者的自然死亡率；力为感染者由疾病引起的死亡率；由为隔离者由疾病诱发的死亡率；S是被隔离的感染者的比率；丁和分别是经过治疗、隔离后，感染者与隔离者重新回到易感者的比率；篇翌商刻画了不含隔离者，且依赖易感者和感染者的校正隔离率(见

4、图1).选择C1=P,C2=片02一di),C3=I±竺S(di+2)+(di+d3)(d】+心+<?),C4=d】+使得£v(s,i,Q)<_勿(s一s*)2-化(/一r)2-m(Q-Q*)2+n由文献15,引理3.1.2,结合定理4.1的条件，椭球fh(S_S*)2+s(I_/*)2+m(Q.Q)2=r?位于区域内，且£V(S,/,Q)<-c<0成立，其中。为椭球的某邻域，UGHc是一个正常数且(S,LQ)丘睥亿模型(1.2)在地方病平衡点(SP,Q*)的扩散矩阵为<4=(dij)3x3=25*2/*2一“4(1+务5*+顷1*)

5、2。于是3£aijXiXj=af5*2Aj+牒产燧+(ij=l>af5*2Af+"/*2好+(=25*2/*2一“4(1+务5*+顷1*)2。于是3£aijXiXj=af5*2Aj+牒产燧+(ij=l>af5*2Af+"/*2好+(易(1车QlS*+顷，)2°2r.22S%*2时诙尸oo砖Q*?/q*2r*2Q*潟+沼(1+口招4口21*)2(用-“2尸Q"舄>M|A|2,对固定的常数M=min屏S3明尸2诚q*2>0及任意的UCXE睥.证毕.定理4.2对任意初值(5(0),7(0),。(0)G睥,若地方病平衡

6、点(S*,r,Q*)是稳定的,则模型(1.2)的解渐近服从一个三维正态分布，其均值为(S*,尸,Q)方差为1/*+8c(s,/,Q)(0)fLK(X)-i叫-1(X，)(tT(X*)W(X*)+i庭)丁】ds,其中/(X，)和/(X,)见(4.7)和(4.8)式在X,点的值.证令X(t)=(S(Z)J(t),Q(t)T和dB(t)=(dB1(t),dB2(t),dB3(0,dB4(t)T,模型(1.2)可改写为(4.7)(4.7)其中dX(t)=/z(X(t)dt+<r(X(t)dB(t),1皿)卞揣褊)+PQ厂+辎羿?痫*+，+。)的61(。一(63+p)Q(t)S(gt)心)=

7、76;"1+QiS(Z)+顷1(£)S(t)J(t)0一0"2/(t)0<74'74l+a1S(t)+Q2/(t)0一。3<2).o令u(t)=X(Z)-X*,沿地方病平衡点X*作泰勒展开，(4.7)式成为du(t)=«(X*)+"(X也(t)+o(|u(t)|2)dt+g(X*)+a,(X*)diag(u(t)+o(diag(u(t)dB(),(4.8)其中/(X*)壮+3*2(3插S*+Q2】*)2一10尸+施2欢(1+Q1S*+Q2I*)200S,+gS*2+«2/*)2少+心之(1+修+"*)21

8、27J6一(3+P)由于X*是稳定的，/(%*)=0,/(X*)V0.当X沿着X*扰动，且白噪声的强度ai(2=1,2,3,4)充分小时，次(X*)diag(“)可以忽略不计.因此，(4.8)式的估计式(4.9)du(t)-"(X*)岫dt=o(X*)dB(t)为一个三维的O-U过程(细节见文献3的第6章和第11章),方程(4.9)的解u(t)服从正态分布(0,C"0),其中Cu(0)为方差矩阵.根据自协方差Cu,&)的如下性质祭(丁)=-C=u(T)，Cu,富(T)=Cu(7)，C.,u(T)=C"(T),方程(4.9)的两端同时取自协方差运算，得到o(

9、X"(X*)6I=-C"(丁)+必X*)Cu,u(t)/t(X*)+/(X*)cg一C"”T(X*),(4.10)其中C"和C"(t)分别表示自协方差关于r的一阶、二阶导数；5是一个Dirac-Dclta函数，I是三阶单位阵，<7(X*)bT(X*)是扩散矩阵.方程(4.10)的两端取傅里叶变换，向量u的谱密度矩阵Su(w)满足方程a(X*)aT(X*)<5Z=-(iw)2Stt(w)+m，(X*)Su(w)m，t(X*)+iW(X*)S“(s)-讪Su(w)/t(X*).由于”(X*)土讪/是可逆矩阵，则有Su(w)=(/(%)-

10、isI)Ta(X*)bT(X*)(”(X*)+i庭)T1.经过傅里叶逆变换，令丁=0,我们有1广+8Cu(0)=/B(X*)-血Iy(X')(rT(x*)m'(X*)+iwZ)T-1dw.困J-oo事实上，Cx(O)=0推出C(sj,Q)(O)=Cu(0).定理的结论成立.证毕.例4.3考虑模型dS(t)=6_0.016S(t)_；冒羿饥+0.001®+0.001Q(t)dt一0.003Sg】(t)-嶙冷8招),(4.11)(4.11)d®=卜鬻普扁-(0-018+0.001+0.001)®dZ顷°廿例敬)+告歌端d"),dQ(

11、t)=(0.001Z(t)一(0.022+0.001)Q(圳d£-0.004Q(t)d&(£).在模型(4.11)中取初值(S(0),1(0),Q(0)=(1,0.02,0.03),易于验证定理4.1的条件成立，于是，地方病平衡点为(S*,I*,Q*)=(16.7,318,13.8).图4说明正解在地方病平衡点E*附近存在一个平稳分布；图5-7分别显示了易感者、感染者、隔离者的频率直方图.而且，在一些充分的条件下，我们得到了模型解的正态分布.350i111I300250200150100500010002000300040005000图4模型(1.2)的解在地方病平

12、衡点(16.7,318,13.8)的样本轨道AauenbeJu.图5易感者的频率直方图，其中上=23000图6感染者的频率直方图，其中k=3000AOUonbaJu.1111.51212.51313.51414.51515.5Qattime500图7隔离者的频率直方图，其中k=30005结论本文中，我们研究了一类具有饱和传染率的随机流行病模型，通过构建C2-函数及应用伊藤公式，得到了模型(L2)存在唯一全局解这一结论.同时，研究表明：当白噪声的强度刀=1,2,3,4)充分大的时候，疾病在模型(1.2)的无病平衡点Eg附近趋于绝灭，且感染者的密度将指数趋于零(见图2-3).当白噪声的强度c足够小

13、的时候，模型(1-2)的正解沿地方病平衡点E*服从唯一的平稳分布，相关的模拟图如图4-7所示.若模型(1.1)的地方病平衡点E*是稳定的，在一定的充分条件下，模型(1.2)的解将渐近服从一个三维正态分布，且得到了均值与方差的表达式.数值模拟的结果支持了定理的主要结论，并对模型给出了较好的解释，即，在长期动力学行为中，图2-3意味着疾病将沿无病平衡点附近绝灭，图4-7展示了疾病将沿地方病平衡点附近传播.参考文献1 KermackWO,McKendrickAG.Acontributiontothemathematicaltheoryofepidemics.ProcRoya)SocLondonSer

14、iesA,1927,115:700-721HethcoteH,MaZE,LiaoSB.Effectsofquarantineinsixendemicmodelsforinfectiousdiseases.MathBiosci,2002,180:141-1602 GeritzSAH.StochasticPopulationModels(CourseforAdvancedStudents,Helsinki,Spring2011).http:/wiki.helsinki.fi/display/mathstatHcnkilokunta/3 MayRM.StabilityandComplexityinM

15、odelEcosystems.Princeton:PrincetonUniversityPress,20014 MaoXR.StochasticDifferentialEquationsandApplications(2ndEdition).Chichester:Horwood,2007HighamDJ.Analgorithmicintroductiontonumericalsimulationofstochasticdifferentialequations.SIAMRev,2001,43(3):525-5465 JiangDQ,JiCY,ShiNZ,YuJJ.Thelongtimebeha

16、viorofDISIRepidemicmodelwithstochasticperturbation.JMathAnalAppl,2010,372:162-180ZhaoYN,JiangDQ,O'ReganD.TheextinctionandpersistenceofthestochasticSISepidemicmodelwithvaccination.PhysicaA,2013,392:4916-49279jLinYG,JiangDQ,XiaPY.Long-timebehaviorofastochasticSIRmodel.ApplMathComput,2014,236:19Lin

17、YG,JiangDQ,JinML.StationarydistributionofastochasticSIRmodelwithsaturatedincidenceanditsasymptoticstability.ActaMathSci,2015,35B(3):619-62910 ZhaoYN,JiangDQ.ThethresholdofastochasticSIRSepidemicmodelwithsaturatedincidence.ApplMathLett,2014,34：9493LiuH,YangQS,JiangDQ.Theasymptoticbehaviorofstochastic

18、allyperturbedDISIRepidemicmodelswithsaturatedincidences.Automatica,2012,48：82082511 LahrouzA,OmariL.ExtinctionandstationarydistributionofastochasticSIRSepidemicmodelwithnon-linearincidence.StatProbLett,20】3,83:960-968RaoF,WangWM,LiZB.Stabilityanalysisofanepidemicmodelwithdiffusionandstochasticpertur

19、bation.CommunNonlinearSciNumerSimulat,2012,17:2551256312 ZhangXB,HuoHF,XiangH,MengXY.DynamicsofthedeterministicandstochasticSIQSepidemicmodelwithnon-linearincidence.ApplMathComput,2014,243:546-558ExtinctionandDistributionforanSIQSEpidemicModelwithQuarantined-AdjustedIncidenceWeiFengyingLinQingteng(C

20、ollegeofMathematicsandComputerScience,FuzhouUniversity,Fuzhou350116)Abstract:ThispaperdiscussesastochasticSIQSepidemicmodelwiththequarantined-adjustedincidence.Weobtainthat,thestochasticmodeladmitsauniqueandglobalsolution.Ourresearchrevealsthat,whentheintensitiesofthewhitenoisesarelargeenough,thesol

21、utionofthestochasticmodelaroundthedisease-freeequilibriumwillbeextinct,andthedensityoftheinfectiveindividualswillexponentiallyapproachzero.Whentheintensitiesofthewhitenoisesarcsmallenough,thepositivesolutionofthestochasticmodelobeysauniquestationarydistributionaroundtheendemicequilibrium.Further,Und

22、ersomesufficientconditions,thesolutionwillasymptoticallyfollowathree-dimensionalnormaldistributioniftheendemicequilibriumisstable,andthemeanandthevariancecanbeexpressedbyformulation.Moreover,thenumericalsimulationsdemonstratethepropertiesofthesolutionandgivegoodexplanationstoourmodel.Keywords:Stocha

23、sticSIQSepidemicmodel;Extinction;Stationarydistribution;Normaldistribution;Lyapunovfunctions.MR(2010)SubjectClassification:60H10;92B05PQPQ图1SIQS模型的转化图为了研究流行病，Kermack与McKendrick从简单的SIR模型开始，于1927年首次提出了双线性传染率.借鉴Kermack与McKendrick的双线性传染率flSI,改进后的转移率更接近种群自身的实际情况，旦其有利于描述该种群的动力学性质it队当务=°2=0时，模型(1.1)的校

24、正隔离率ttK%退化为双线性传染率6SI,相关的流行病最新研究结果见文献7-9及其引文.当*=0时，模型(1.1)的校正隔离率转化为饱和传染率晶(见文献10-12).具有一般传染率(即，非线性传染率)的模型黜,其相关结果请参考13-15及其引文.对于一般的随机流行病模型，例如：易感者-感染者隔离者模型，其疾病的持久性与绝灭性等更多细节见文献2.最近，蒋达清等提出了DISIR模型，通过对双线性传染率月进行随机干扰，利用构造的合适的Lyapunov函数，他们分别考查了无病平衡点及地方并平衡点附近解的渐近行为.进而，刘红等Ml在随机DISIR流行病模型中引入饱和传染率善粉，他们的结果表明：若干扰较大

25、，感染者指数衰减到零，而易感者弱收敛到平稳分布，且呆依赖于R).若干扰较小旦7?o<l,则有相同的指数稳定性及弱收敛发生.若干扰较小且凡>1,通过构造一系列Lyapunov函数，则得到解的遍历性及正常返性.同时，对于一类具有接种的随机SIS模型，赵亚男等同发现，该模型的感染者指数减少到零，且存在一个均值意义下的持久解.类似地，林玉国等考查了SIR模型，并得到种群的密度收敛到一个不变密度，或者收敛到一个类似的测度，更多的细节清见引文.学者Mayl4)曾指出：当考虑到环境的噪音时，模型的参数将会展现出随机扰动.现在，我们对确定的易感者感染者隔离者模型中的参数引入随机干扰&di4

26、-(i=1,2,3),00+(74方4(t),其中Wt)0=1,2,3,4)为相互独立的一维布朗运动，s(2=1,2,3,4)表示白噪声的强度.于是，我们得到一个具有校正隔离率的随机易感者-感染者隔离者模型dS(£)=4_diS(t)_(1.2)cT2】(Z)dB2(Z)+cT2】(Z)dB2(Z)+CT4iS(t)Z(t)1+QS(t)+dQ(Z)=(t)03+p)Q(t)dt-(73Q(t)dB3(t).我们将在第二节证明随机模型(1.3)解的存在唯一性.在第三节讨论解沿无病平衡点绝灭的充分性条件,并证明当时间充分大时，感染者的密度指数衰减这一结论.结合Lyapunov函数、伊藤

27、公式及数值模拟，正解的平稳分布及正态分布将在第四节探讨.2全局正解由于模型(1.2)的系数满足局部Lipschitz条件，不满足线性增长条件，本节我们将利用文献5中的研究方法，证明模型(1.2)存在唯一的全局正解.定理2.1对任意初值(S(0)：I(0),Q(0)6府及t20,模型(1.2)存在唯一一个解(S(t),Z(t),Q(t),且该解以概率1位于区域内.证反证法.若结论不成立，假设模型(1.2)在区间(0,rc)上，存在一个局部解(S(t)J(t),Q(。)，其中Te为爆破时间，(S(0),I(0),Q(0)e再为任意的初值.为了证明模型(1-2)的解是全局正解，我们需要证明=8几乎处

28、处成立.定义停时丁+=infte(0,rc):S(t)<0I(Z)W0或Q(t)<o.贯穿全文，令inf0=oo.下面，我们将证明丁+=oc几乎处处成立.若不成立，即"V8,于是，存在时间T及任意小的正数e使得P4<T>£.定义一个CKd£<7idZ?i(t)b2dl?2(£)+o'4»(2)其中-函数V(S(t),I(t),Q(t)=mS(t)I(t)Q(t),dV(S(£)(Z),Q(Z)心)根据伊藤公式，得到_山+卫也+四沽l+*5(t)+a2l(t)1S(t)十S(t)2112/I(t)2

29、彻)山八一如(TT顽序而)+1湿书(£)习陌衍一“2+7+力一押一折(TT亩湍上而)2+端一+p)-掷出-cidBi(i)-(T2dB2(0一-s】匚页)七函衍姑40)S(t)(2.1)式两侧由0到t积分，于是U(S(t),®,Q(t)>V(S(0),7(0),<2(0)+-们Bi(Z)-a2B2(t)-a3B3(t)fS)I(u)只口/、(2.2)4./)l+QS(U)+Q2l(们”"'根据V(S(t)J(以Q(£)的定义，我们注意到limU(S(t),/(t),Q(Z)=-oo,于是，(2.2)式两端令t一丁+,得到一8>U

30、(S(O),I(O),Q(O)+Kt+一(7iBi(t+)一a2B2(T+)一。3岛(丁+)厂+S(u)一Z(u)m,、+)4/dB4(u)Jo1+免S(”)+a2I(u)>oo,(2.3)这与假设矛盾.于是，丁+=8.证毕.I3无病平衡点附近的绝灭性显然，E。=(玲,0,0)为模型(1.1)的解，称为无病平衡点.本节我们将研究Eo附近解的渐近性质，即，定理3.1-3.2将给出模型(1.2)的解在无病平衡点附近，疾病消失、感染者密度趋于零的充分性条件.定理3.1对任意初值(S(O),I(O),Q(O)W晦，令(S(以I(Z),Q(t)为模型(1.2)的解，若白噪声的强度满足有<务&

31、#176;2V22+。P,(73<23+P-%-5,则该解有如下性质1性P扣/即-分2+S)+Q2(小"音+即W，其中91rfl-2壁22p_2dl-_d-2一P一2+d3=6d2p-2-ro-2+d2=证令u=S-余次=/,m=Q,则模型(1.2)改写为du(t)du(t)du(t)0(u+=-diU-yv+pwdt1+Qll(u+余)+°2与J_bi(u+§)d3i(£)_<74；d34(n«11+。1他+讫)+。2。0(u+4-vz1=;7-tt02+>+<5)vdtLl+ai(tz+务)+o：2©h+会

32、)。(3.1).dw(t)一血时)+纺+皿(无齿+顷严血=伽03+p)wdtaswdBs(t).定义由映射到丸£的三个C2.函数Vl(u,v,w)=i(u+V)2,V(u,v,w)=V,p3(U,V,W)=膈2.根据高维伊藤公式，有£VJ(u,v,w)=£VJ(u,v,w)=(u+v)du-(.2+6)v+pw+9'("+苏)2+2V22(di_(力+5_分(di+d2+6)UV+(Ty(di_(力+5_分(di+d2+6)UV+(Ty222v+puw+pvw42-(di+6)uv+<7|了",42-(di+6)uv+<7|

33、了",p-2p-2£p2(U,V,W)=£p2(U,V,W)=0(u+4-)v1上还;+演顷"(4+)+加介BA"5祝£V3(U,V,w)=w6v一03+p)w+-(73W24-p+8vw<-(3+P-3-|)2+|2-构造则有其中构造则有其中V(u,v,w)=Vi(uyv,w)+V2(u,v,w)+V3(u,v.w),dV(u,v,w)=£V(u,v,w)dt(a+时。1(u+?)dBi(t)+(72©(访2(£)_di+*2+“21X132。)4-a3w2dB3(t),b4(u+会切1+01(1

34、/4-斜+。2。(32+y2匹21xh/47222nla(T1-2+一w2p-2k/一2%co-21-2S2P一m-u2ro-2n-(7p-2一+</1一2d3z(/lAd+d)rfl(3.2)式的两端由0到t积分并取期望，得到0<EV(u(t),v(t)yw(t)<V(u(O),v(O),w(O)+EJ。(一&/($)v2(s)-C3w2(.s)+酣金+邮土*)ds.选择正常数£=min&,f2,&,因此，不等式limsup；/(u2(s)+v2(s)+w2(s)ds<酣金+丈”。，3)成立.证毕.I定理3.2若充分接触率。满足如下性

35、质02V2成(心+7+<5+粉状)，则感染者的密度将几乎处处指数趋于零，即<0a.s.<0a.s.limsup<聂一(2+)+$+膈)证利用伊藤公式，我们得到d®(d®)2dln/(t)=7w"r=l+a!+a2Z(0*+7+5)dtS(t)证利用伊藤公式，我们得到d®(d®)2dln/(t)=7w"r=l+a!+a2Z(0*+7+5)dtS(t)2(t)庭(t)FdWt)+。4讦指苻Mg科岛S2(渺(Z)一顽日宓刑+曷(1+QiS(t)+a2Z(t)2j=易S2(t)Ll+otiS(t)+si。)2(1+ai

36、S(t)+Of2】(t)2-(2+7+5+'a壹)dt-(J2B2(t)s(t)2/2dtdZ+"4:+面浦Q2而地，(3.4)(3.4)式两侧由0到Z积分，得到InZ(t)=JoInZ(t)=Jo+InZ(0)(心+)+6+云。3)*22()+M(t),其中局部鞅为tM(t)=/'dM),Jq1+QlS(u)+Q?2l(u)其二次变分为伽(z)W(")=£点普当而了血我们选择8=2m=u>。和Tk=k(见文献5,定理7.4),对几乎所有的36。,存在一个随机整数加(0使得对k>fco(w)及tGO,fc,我们有M-；"),)

37、"号/'讦房泠而常+三此(3.5)另外，由基本不等式(a+6)2<2q2+2珥有0S(u)0S(u)1+aiS(u)+aa/(u)-)22Ll+q】S(”)+愆以叫).(3.6)对k-l<t<k,由表达式(3.5)和(3.6),得到(。2+了+。+把)-。2罕+岸.令£一8,根据文献5,引理2.6知,如)如)-0,苫0.当趋于0时，定理结论成立.证毕.例3.3考虑模型dS(t)=dS(t)=o.i-ois(t)-i+sg华)-0.2S(t)dBi(t)一MS©)®+0.1/(Z)+0.004Q(£)dtl+SD+ld&

38、quot;)，.14)+%)-(03+0.1+0.1网)也一°处)也(')+渚耕%皿但，dQ(t)=0.11(f)一(0.2+0.004)Q(圳出一0.8Q(t)dB3(t).dl(t)=(3.7)根据Milstcin高阶方法【我们选择初值(S(0)J(0),Q(0)=(2.4,2.4,1.2),定理3.1-3.2的条件均满足，且无病平衡点为(夺,0,0)=(1,0,0),模型(1.2)的解的绝灭性如图2-3所示.图2模型(1.2)的解在无病平衡点(1,0,0)附近的样本轨道图3感染者的密度趋于零，其中t=1004地方并平衡点附近的平稳分布对于易感者感染者-隔离者模型(1.1),其地方病平衡点为E=(SL尸,Q*),对应的分域分别为7*A0(qM+di)02+.+3)(2+g+。)以1。2一dglQ0+otp6(d+p)l+石一pj(d3+p)-l'c*=（+9<+5）（。21*+1）o*=8尸3（2+7+S）'d>3+p在适当的充分条件下，本节将讨论模型（