34简单线性规划的应用学案北师大版必修5

1、第 3课时简单线性规划的应用知能目标解读1. 能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 .2. 能利用简单线性规划知识解决实际问题 .重点难点点拨重点： 1. 准确理解题意，由线性约束条件列出不等式，找出目标函数 .2. 数形结合找出最优解的存在位置，特别是整数最优解问题 . 难点：最优解存在位置的探求和整点最优解的找法 .学习方法指导1. 列线性规划问题中的线性约束条件不等式时，要准确理解题意，特别是“至多”、“至 少” “不超过”等反映“不等关系”的词语 .还要注意隐含的限制条件，如 x、y 是正数 y 是正 整数等等 . 有时候把约束条件用图示法或列表表示，便于准确的写出不等式组

2、.2. 线性规划的应用：线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最 小值的问题，其关键是列出这些限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或 自 然数. 其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清 .应用线性规划的方法，一般须具备下列条件：（1）一定要能够将目标表达为最大或最小化的问题；（2）一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同选择的可能性存在；（3）所求的目标函数是有约束（限制）条件的；（4）必须将约束条件用数字表示为线性等式或线性不等式，并将目标函数表示为线性 函数.线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题中：一是在人力、物力、资金

3、等资源一定 的 条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务 .3. 解线性规划应用题的步骤：（1）转化一设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.（ 2）求解一解这个纯数学的线性规划问题.求解过程： 作图一一画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意 一 条直线 I. 平移一将 1 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置 . 求值一解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值 .（3）作答一就应用题提出的问题作出回答.4. 可行域内最优解为整点的问

4、题的处理 用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精确度要求较高，平行直线 系 f （x,y ）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准. 那么如何解决这一实际问题呢？确定最优整数解常按以下思路进行：（1）若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解 （在包括边界的情况下） ；（2）若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线 Z、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解.这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范 .（3）采用优值调整法，此法的一般步骤为： 先求岀非整点最优解及其相应的最优值； 调整最优值，代

5、入约束条件，解不等式组； 根据不等式组的解筛选岀整点最优解.知能自主梳理线性规划解决的常见问题有问题、问题、问题、问题、问题等.答案物资调配产品安排合理下料产品配方方案设计思路方法技巧命题方向求实际应用问题中的最大值例1某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过 9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？分析设岀未知数，列岀约束条件，作岀可行域

6、，确定最优解解析设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为 Z 7C.由题意得x+.yW300500.r+200y<90000,目标函数为 z=3000x+2000y.侦快0, .yNOx+yW300二元一次不等式组等价于5x+2.yW900 ,作岀可行域(如图所示)，J J叭O X+yirW如上图，作直线 /:3000.r+2000y=0,当直线z=3000x+2000y过点肱时，z最大.尸 +、=300山，得 M ( 100, 200).A5x+2y=9007max=3000 X 100 X +2000 X 200=700 000(元).因此该公司在甲电视台做

7、100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大值为70万元.说明解答线性规划应用题应注意以下几点：(1) 在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；(2) 线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；(3) 结合实际问题，分析未知数x、y等是否有限制，如心y为正整数、非负数等；(4) 分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式;（5）图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应 尽可能地准确，图上操作尽可能规范 .但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易 看岀 时，需将几个有可能

8、是最优点的坐标都求岀来，然后逐一检查，以确定最优解变式应用1某公司计划在今年内同时岀售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品 的市 场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力） 确定 产品的月供应量，以使得总利润达到最大 .已知对这两种产品有直接限制的因素是资金 和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量空调机洗衣机（百元）成本3020300劳动力（工510110资）68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？解析设生产空调机x台，洗衣机y台，则30.r+20y<300

9、00, 5x+10yW11000x, .yAN,3x+2yW3000即x+2.yW2200,利润 z=6x+8y.LxyEN 3x+2A=3000 x=400x+2y=2200y=900画图可知当直线 6.r+8y=z经过可行域内点 A （400, 900 ）时，z取最大值，Zmax=6X400+8 X900=9600 （百元）.O%气3x+2v=30x+2y=22答：当生产空调机 400台，洗衣机900台时，可获最大利润96万元.命题方向求实际应用问题中的最小值例2某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的 碳水化合物6个单位的蛋白质和 6个单位的维生素 C.一个单

10、位的晚餐含 8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和 10个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和 54个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？分析可以先设岀未知数，列岀约束条件和目标函数，再在可行域内找岀最优解解析设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元,则依题意得：z=2.5x+4y,且x,.y满足xNO, yNO, xNO,yAO12x+8yN64 ?即3x+2yN166x+6yN4

11、2 6x+10AA54让目标函数表示的直线3x+5泽272.5x+4y=z在可行域上平移.由此可知z=2.5x+4y在8 （4,3）处取得 最小值.（如图） 因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和 3个单位的晚餐，就可满足要求."jyTT；56 7? 9 x、冋厂3总=侦+5尸27变式应用2某公司租赁甲、乙两种设备生产 A、B两类产品，甲种设备每天能生产 A类产品 5件和3类产品10件，乙种设备每天能生产 A类产品6件和B类产品20件.已知设 备甲每天的 租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为 300元.现该公司至少要生产 A类产品50件，3类产品 140件，所需租赁费最少为 元.答

12、案2300分析 甲、乙两种设备每天生产A类、B类产品件数已知； 甲、乙两种设备的租赁已知；5x+6y=50 10x+20y=140 彩 生产A类、B类产品数量已知.解答本题可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解解析设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，租赁费z元，l 5x+6yN50由题意得y IQx+20yN140z=20Qx+300y./0过点A时，z 有作岀如图所示的可行域.令z=0,得/o : 2x+3y=O,平移/o可知，当/o过点A时，z有最小值.5x+6y=50点坐标为（4,得A点坐标为（4, 5）J10x+20y=140所以 7max=4 X 200+5

13、X 300=2300.探索延拓创新命题方向线性规划中的整点问题例3要将两种大小不同的钢板截成A、B、C二种规格，每张钢板可同时截得二种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型A规格C规格钢板类型第一种钢板第二种钢板今需要A、3、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少解析设需截第一种钢板 x张，第二种钢板 y张.2x+yN15可得x+2y五18 ,且都是整数，| 2x+3yN27求目标函数Z=x+y取最小值时的 x,y. 作岀可行域如图所不：上都不是整数，所以可行域内点(*,二)不是最优解.如何求整点最优解呢？法一：平移求解法：

14、1 Q QQ首先在可行域内打网格，其次找岀A(y,y )附近的所有整点，接着平移直线/:.r+y=O,会发现当移至B (3, 9), C (4, 8)时，直线与原点的距离最近，即z的最小值为12.法二：特值验证法：由法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点 Ao (0, 15), & (1, 13), A 2 (2, 11), A 3 (3, 9), A (4,8), & (5, 8), A 6 (6, 7), A (7, 7), A8 (8,7), A (9, 6), Aio( 10, 6), ?A7 (27, 0).将这些点

15、的坐标分别代入z=x+y,求岀各个对应值，经验证可知，在整点A3 (3, 9)和A4 (4, 8)处z取得最小值.法三：调整优值法：1Q QQ57山非整点最优解(挡，蒙)矢口，s=.5 559."N12,令x+.y=12,则y=12-x代入约束条件整理，得3<A<-,.?.x=3,x=4,这时最优整点为(3, 9)和(4, 8).变式应用3某人有楼房一幢，室内面积共计180 mi,拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 n?,可住游客5名，每名旅客每天住宿费 40元；小房间每间面积为 15 m2,可以住游 客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要

16、1000元，装 修小房间每间需 600元.如果他只能筹款 8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔岀大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？解析 设隔岀大房间 X间，小房间y间，收益为Z元，则满足18x+15yW1806. r+5y<601 000x+600y<8 000,即5x+3yW40LXNO, yNO,yNOz=20Qx+150y.作岀可行域，如图所不.当直线z=200x+150y经过可行域上的点 M时，z最大.6x+5.y=60解方程组,得点肱的坐标为'7 75x+3.y=40由于点B的坐标不是整数，而最优解(x,y)是整点，所以可行域内点M)不7 7是最优解

17、.经验证：经过可行域内的整点，且使z=200x+150y取得最大值，整点是 (0, 12)和(3, 8),此时Smax=1800 元.答：应只隔岀小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大利润，最大禾U润为1800 元.名师辨误做答2例4已知一元二次方程 x+ax+b=Q£个根在-2与-1之间，另一个根在1与2之间，如图示以a,b为坐标的点(a,b)的存在范围.并求a+Z?的取值范围.误解 令f (x) =x+ax+b.山题设f (-2) >02Q-Z?-4V0J f (-1) <0 ,a-b-1 >0I f <0Q+/?+1 VOI f >0

18、2i+Z?+4>0作岀平面区域如图.令t=a+b,贝U f是直线b=-a+t的纵截距，显然当直线 b=-a+t与直线a+b+l= 0重合时，t最大，fmax=-l -当直线b=-a+t经过点(0,-4)时/最小，,? Fin =-49 .-4W/W-1.辨析误解中忽视了点（劣力）的存在范围不包含边界正解令f （x） =xz+ax+b.由题设f (-2)>02o-Z?-4V0f (-1)<0, a-b-l>01/(1) <0I M+1V0V0作岀平面区域如图2a+b+4>0 ,令t=a+b,则，是直线b=-a+t的纵截距，显然当直线b=-a+t与直线。+/?+

19、1=0重合时，t取大',max=-1 .当直线b=-a+t经过点（0, -4）时.小，? min=-4,又？ .?点（d,b）的范围是如图阴影部分且不含边界，?-4vrv-1.课堂巩固训练一、选择题1. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每 吨乙产品要用 A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品 可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元答案D解析设生产甲产品x吨，乙产品y吨时，则获得的利润为z=5x

20、+3y.xNO由题意，得 yNO ,3x+y<132x+3yW18可行域如图阴影所示由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时 x=3,y=4, 7=5X3+3X4=27（万元）.2. 有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，设需载重6吨的汽车有x辆，载重4吨的汽车y辆，则完成这项运输任务的线性目标函数为（）A.z=6x+4yB.z=5x+4yC.z=x+yD.z=4x+5y答案A3. 某加工厂用某原料由甲车间加工岀A产品，由乙车间加工岀B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工岀7千克A产品，每千克 A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时

21、可加工岀4千克B产品，每千克 B产品获利50元.甲、乙两车间每 天共能完 成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（）J 10x+6.yW480,:xNO.yNO*O4A 池亍i(u+fr>=4Mn工+尸和A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱乙车间加工原料30箱D.甲车间加工原料40箱，答案B解析设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知甲、乙两车间每天总获利为s=280. ¥200y.画岀可行域如

22、图所示.M ( 15, 55)处 z点M （15, 55）为直线x+y=70和直线10x+6.y=480的交点，由图像知在点 取得最大值.、填空题4. （ 2010 ?陕西）铁矿石 A和3的含铁率为a,冶炼每万吨铁矿石的 CO?的排放量b及每万吨铁矿石的价格c,如下表：a贝万吨）c （百万50% 1元）70% 0.53a某冶炼厂至少要生产 1.9 （万吨）铁，若要求 CO?的排放量不超过 2 （万吨），则购买铁矿 石 的最少费用为（百万元）.答案15解析设购买两种矿石分别为 x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为 z百万元，则z=3x+6y. 由题意可得约束条件为1 7 厂一 x - y N1.9

23、2 101 /y W22,xNObNO作岀可行域如图所不，由图可知，目标函数z=3x+6y在点A （1, 2 ）处取得最小值,Fin=3X 1+6X2=15.课后强化作业、选择题1. 在厶ABC中，三顶点分别为A ( 2, 4) , B (-1,2) , C ( 1, 0),点 P (x, .y)在左 ABC 内部及其边界上运动，则m=y-x的取值范围为（）A. : 1,3答案C解析.?直线经过。时 m最小为-1,经过B时m最大为3.D. -3, -12.z的最小值为（ x+y-3A0设z-x-y,式中变量x和y满足条件j ,则 ）A.IB.-I答案A解析 作岀可行域如图中阴影部分直线C.3D

24、.-3-Mst , ? ? < 小.Zmin= 1 .z=x-y 即 y=x-z.经过点 A（2, 1 ）时，纵截距八lJrX. r-$1 -I 2我/JrX、/ft勺303.-安徽理，4）设变量段满足 E+lylWI，贝U x+2y的最大值和最小值分别为（A.1,-1B.2,-2C.1,-2答案B解析本题主要考查线性规划问题.不等式Ixl+IyKI表示的平面区域如图所示，当目标函数 z=x+2y过点 （0,-1） , （ 0,1 ）时，分别取最小和最大值，所以x+2.y的最大值 和最小值分别为2,-2，故选B.(2011)7J 3如-oD.2,-14.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，

25、集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数货物体积每箱（n?）重量每箱50 kg利润每箱（百元）甲5220乙4510托运限制2413据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为（A.4, 1B.3, 2C.1,4D.2, 4答案A5.某公司招收男职员r5x-IIyA-22x名，女职员y名，x和y需满足约束条件a 2x+3y五9，则z=10x+10>L 2.A<11的最大值是（）A.80B.85答案CC.90D.955x-IIyA-22解析画岀不等式组，2x+3yA9表示的平面L 2.A<11区域，如右图所示.11C x-211 0由，解得一）<

26、 5.脚=-22已知 y x-y+lNO, z=x +y -4x)z=10x+10y取得最大值 90,故选C. f+y-1 W06.4y+8,贝U z的最小值为（lyWl答案B解析画岀可行域如图所示A.2 件，答案解析x-y+l=O ZB.3 件, 3 件4件B设买A禾U,用品x件，3种用品C.4件，2件D.不确定z= （x-2 ） 2+ （y-2 ） 2为可行域内的点到定点y件，剩下的钱为' z元，则（2, 2 ）的距离的平方，12 + 2-11 2_9,Zmi n=(7FTF)=i'某学A种用品每件100元，B种用品每件160元，A、B两种用品应各买的件数为（7.校用800

27、元购买A、B两种教学用品, 两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，J100x+160.yW800求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解（x,y），用图解法求得整数解为（3, 3）.8. （ 2011 ?四川理，9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型 卡 车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往 A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用 的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z=（）A.4650 元B.4

28、700 元C.4900 元D.5000 元答案C解析 设当天派用甲型卡车 x辆，乙型卡车y辆，由题意得<2.r+yA 19A'+yA 12I 10x+6yN72I 0<A<8.0<y<7S'.yGN设每天的利润为 z元，贝U z=450x+350y.画岀可行域如图阴影部分所示.4jr=12X2x+/=1910x+6y =729x+7y=0由图可知z=450x+350y=50(9x+7y),经过点A时取得最大值，又由X+.y=122x+.y=ly=5.即 A(7, 5).?.当 x=7,y=5 时,z 取到最大值，Zmax=450X7+350X5=4

29、900(元). 故选 C.、填空题y满足约束9. 设 X、条件yWx ,则z=2x+y的最大值是 .NO答案2解析可行域如图，当直线z=2x+y即y=-2x+z经过点A (1,0)时，Zmax=2.10. (2011 -湖南文,14)设妇,在约束条件则m的值为_答案3.yNx,yWmx下，目标函数 z=x+5y的最大值为x+.yWl解析本题是线性规划问题.先画岀可行域，再利用最大值为求m.由m>l可画岀可行域如图所不，则当直线z=x+5y过点A时z有 最大值.由=mxf 1 m ”、小1 5m得 A （-,-），代入 侍-H =4m + 1 m +1m +1 m + 1Sr+y=l即解得

30、m=3.11. 某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车为320元，B型卡车为504元.每天调配A型卡车 辆，B型卡车 辆，可使公司所花的成本费用最低.答案5 2解析 设每天调岀A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，0WyW4 x+yW10 . 4x+5yN30I仁NyA4x+.yW 104x , 6+3y ? 10N180=> y目标函数 z=32 （h+504y （其中EN ）.作岀上述不等

31、式组所确定的平面区域如图所示，即可行域由图易知，直线 z=320x+504j在可行域内经过的整数点中，点（5, 2）使z=32Qx+504y取得最小值，ZMW = 320 ? 5+504 ? 2=2608 （元）.12. 购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张.如果小明带有10元钱，共有种买法.答案12解析设购买8角和2元邮票分别为x张、y 张，则2x+5yW25yN24 x.yGN , 即.?.2<x<12, 2<y<5,当 y=2 时,2xW15,.? .2WxW7,有 6 种；当 y=3 时,2xW10, . ? .2WxW5,有 4 种；当 y=4 时，2xW5, ?.2<x<2,.盘=2 有一种；当>=5时，由2xW0及xNO知x=0,故有一种.综上可知，不同买法有 ：6+4+1 + 1=12种.三、解答题13. 制造甲、乙两利|烟花，甲利|烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g,乙种烟花每 枚含A药品2 g、3药品11g、C药品6 g.已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g.甲种烟花每枚可获利2元，乙种烟花每枚可获利1元，问每天应 生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大解析设每天生产甲种烟花 x