2017年度年新人教A版本高中数学必修四 第2章（第4课时）平面向量的线性运算（3）教案

1、课 题： 向量数乘运算及其几何意义教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入：差向量的意义： = , = , 则= - 即 - 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量二、讲解新课：1示例：已知非零向量，作出+和(-)+(-)+(-) =+=3=(-)+(-)+(-)=-3（1）3与方向

2、相同且|3|=3|；（2）-3与方向相反且|-3|=3|2实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|（2）>0时与方向相同；<0时与方向相反；=0时=3运算定律 结合律：()=() 第一分配律：(+)=+ 第二分配律：(+)=+ 结合律证明：如果=0，=0，=至少有一个成立，则式成立如果¹0，¹0，¹有：|()|=|=|()|=| |=| |()|=|()| 如果、同号，则式两端向量的方向都与同向；如果、异号，则式两端向量的方向都与反向 从而()=()第一分配律证明：如果=0，=0，=至少有一个成立，则式显然成立如果¹0，&

3、#185;0，¹当、同号时，则和同向，|(+)|=|+|=(|+|)|+|=|+|=|+|=(|+|)|、同号 两边向量方向都与同向 即 |(+)|=|+| 当、异号，当>时 两边向量的方向都与同向；当<时 两边向量的方向都与同向，且|(+)|=|+| 式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或=0，=1则式显然成立.当¹，¹且¹0，¹1时（1）当>0且¹1时在平面内任取一点O，作 则+ +由作法知 ，有ÐOAB=ÐOA1B1 |=| OABOA1B1 ÐAOB=Ð

4、A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，|=| 与方向也相同(+)=+ 当<0时 可类似证明：(+)=+ 式成立4向量共线的充要条件若有向量(¹)、，实数，使=，则与为共线向量若与共线(¹)且|：|=，则当与同向时=； 当与反向时=-从而得向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数，使=三、讲解范例：例1若32，3，其中，是已知向量，求，.分析：此题可把已知条件看作向量、的方程，通过方程组的求解获得、.解：记32 3×得得11. 将代入有：例2凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证(+).解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C在平面内作，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点.EF是ADG的中位线，EF =, .而，（）.解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB，EC，则有，又E是AD之中点，有.即有；以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.（）（）例3 如图,已知任意两个非零向量a,b,试作你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?解：所以,A、B、C三点共线.四、课堂练习：五、小结:通过本节学习，要求大