2011年高二数学教案：《平面向量概念及运算》(沪教版)

1、授课内容：向量的坐标表示及其运算一.情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演.（1）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形.队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？说明 此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形.队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队

2、员D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？说明 不要求学生写出结果，只引导学生思考.这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起学生学习的兴趣与探究的欲望.二学习新课1. 向量的正交分解 我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，即为一个位置向量.思考1：对于任一位置向量，我们能用基本单位向量来表示它吗？

3、如上图右，设如果点A的坐标为，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量能用向量与来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得），与能用基本单位向量来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得），于是可得：由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量都能表示成两个相互垂直的基本单位向量的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2.向量的坐标表示 思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量，我们都能将它正交分解为基本单位向量的线性组合吗？如下图左. 显然，如上图右，我们一定能够以原点O为起点作一位置向量，使.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在一个与它相

4、等的位置向量.由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合，所以平面内任意的一个向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合.即：= 上式中基本单位向量前面的系数x,y是与向量相等的位置向量的终点A的坐标.由于基本单位向量是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y抽取出来，得到有序实数对（x,y）.可知有序实数对（x,y）与向量的位置向量是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y）表示向量，并称（x,y）为向量的坐标，记作：=（x,y）说明（x,y）不仅是向量的坐标，而且也是与相等的位置向量的终点A的坐标！当将向

5、量的起点置于坐标原点时，其终点A的坐标是唯一的，所以向量的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：.例1.（课本例题）如图，写出向量的坐标.解：由图知与向量相等的位置向量为，可知与向量相等的位置向量为，可知说明 对于位置向量，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：3.向量的坐标表示的运算

6、我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设是一个实数，由于 所以 于是有： 说明上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.4.应用与深化下面我们来

7、研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题：例2.如下图左，设、是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量？解：如上图右，向量 从而有 说明上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.例3.（课本例题）如图，平面上A、B、C三点的坐标分别为、.（1）写出向量的坐标；（2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.解：（1） （2）在上图中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以 设点D的坐标为，于是有 又 故 由此

8、可得 解得 因此点D的坐标为.练习：（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻，健美操队员C的位置问题.即：在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？ 解：以点F为坐标原点，以边FG为x轴，以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标系.则依题意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),设C(x,y),则由ABCD是平行四边形可得：又故于是 x=8, y=7,即C（8，7）.答：队员C位于距EF边8米、距FG

9、边7米处.（2）在某时刻，四名队员A、B、C、D保持平行四边形队形.已知队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员C位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D可能的位置区域吗？ 解：以点F为坐标原点，以边FG为x轴，以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标系.依题意有A(2,1),B(6,3),设D(x,y),则由ABCD是平行四边形可得： 又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2) 由题意于是可得队员D可能的位置区域如图所示阴影部分（除去点B）：例4.已知向量与，求的坐标. 解：因为， 所以 三巩固练习1. 如图，写出向量的坐标.2.已知，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 .3.已知向量与，求及的坐标.解：1