20 两边夹问题的研究

1、 专题：两边夹问题的研究一、问题提出问题1：数列中，对，则= .3 问题2：已知函数的导函数，且的值为整数，当时，的值为整数的个数有且只有1个，则= .4二、思考探究探究1：已知数列中，求数列的通项公式探究2：设数列满足，且对任意的，满足,则 解析：由，得()，令2，4，6，2014，()()()()() 探究3：（1）若实数满足,则的值为_.（2）实数满足，则的最小值为_. 探究4：设无穷数列满足：，.记.（1）若，求证：=2，并求的值；（2）若是公差为1的等差数列，问是否为等差数列，证明你的结论解：（1）因为，所以若，则矛盾，若，可得矛盾，所以于是，从而（2）是公差为1的等差数列，证明如下

2、： 时，所以， ，即，由题设，又，所以，即是等差数列另证：由，可得，下面我们来证明恒成立，采用反证法思想.假设，则，由数列的单调性可得与题设矛盾，所以假设不成立，故，则，即是等差数列最简单的方法：（2）一方面：由，且，可得恒成立；另一方面：是公差为1的等差数列，则,从而,变形可得,综上：，是等差数列三、真题链接四、反思提升五、反馈检测1. 设函数（，）。（1）若，求在上的最大值和最小值；（2）若对任意，都有，求的取值范围；（3）若在上的最大值为，求的值. 解：（1）在内, ，在在内, 为增函数，在内为减函数函数的最大值为，最小值为（2）对任意有，从而有又在内为减函数，在内为增函数,只需，则的取

3、值范围是（3）由知，加得又将代入得2. 已知实数同时满足，则的值为_.解：令，由，可推得，则将，分别代入，可得式子，即为，化简得，即为，解之得，将的范围代入，可得，而，则，则此时，.在中，移项得（*）.要使得（*）式有解，则，则，所以，而，则，则可推得.所以的取值范围是.2. 设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，则=_ _ _ 40203已知数列的各项均为正数，数列，满足， （1）若数列为等比数列，求证：数列为等比数列；（2）若数列为等比数列，且，求证：数列为等比数列解：（1）因为数列为等比数列，所以（为常数）， 所以为常数，所以数列为等比数列；（2）因为数列是等比数列，所以（为常

4、数）， 所以则 所以，即 因为，所以，则 所以； 所以，即因为数列是等比数列，所以，即，把代入化简得，所以数列为等比数列4. 已知数列an的各项均为正数，其前n项的和为Sn，且rSn1(r1)Snra1对任意正整数n都成立，其中r为常数，且rN* （1）求证：数列an为等比数列； （2）若r2，且a1，at(t3)均为正整数，如果存在正整数q，使得a1qt1，at(q1)t1，求证：St(q1)tqt解：（1）由rSn1(r1)Snra1得rSn2(r1)Sn1ra1，两式相减得ran2(r1)an1，即又rS2(r1)S1ra1，得综上可知an为等比数列，且公比为（2）由于ata1()t1及a1均为正整数，所以存在正整数k，使得a1krt1， 所以atk(r1)t1 由at(q1)t1得(q1)t1k(r1)t1(r1)t1，于是qr 又由a1qt1，at(q1)t1得，于是()t1，从而，即qr 由上可知:qr 所以ata1()t1a1()t1(q1)t1，于是a1qt1，又a1qt1所以a1qt1 于是Sta1 a1 r()t1)qt1q( ()