选修21第三章平面的法向量与平面的向量表示讲义

1、.案例二-精析精练课堂 合作 探究重点难点打破知识点一 平面的法向量 1.平面法向量的定义 1定义:平面a假如向量n的基线与平面a垂直,那么向量n叫做平面a的法向量或说向量n与平面a正交. 2平面法向量的性质:平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量;一个平面的法向量有无数个,一个平面的所有法向量互相平行. 2.平面的法向量的求法 方法一:找到一条与平面垂直的直线,那么该直线的任意方向向量都是该平面的法向量 方法二:待定系数法,即假设要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:设出平面的法向量为n=x,y,x；找出求出平面内的两个不共线的向

2、量的坐标a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2；根据法向量的定义,建立关于x,y,z的方程组解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 这里需要说明的是:方法二必须建立空间直角坐标系,而方法一却不一定要建立空间直角坐标系,视详细情况而定;在求平面的法向量时,要先找有没有和平面垂直的直线,假设没有那么用待定系数法;在利用方法二求解平面的法向量时,方程组有无数多个解,只需给x,y,之中的一个变量赋予一个特值,即可确定平面的一个法向量.赋予的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量. 3.平面法向量的作用 详解:设n1,m2分别是平面a,的法向量,m是直线l的方向向量,那么有:a或amn1m

3、·n1=0；amn1；a或a与重合n1n2；a=n1n2n1·n2=0. 知识点二 三垂线定理及其逆定理. 三垂线定理及逆定理实际上反映的是斜线和射影的关系. 三垂线定理的符号描绘 如右图,PO、PA分别是平面a的垂线、斜线,OA是PA在a内的射影,aa,且aOA,那么aPA.三垂线定理的逆定理的符号描绘如上图,PO、PA分别是平面a的垂线、斜线,OA是PA在a内的射影,aa,且aPA,那么aOA.关于定理的应用,首先是找出平面的垂线,至于射影那么是由垂足,斜足来确定的,因此是第二位的,由此,我们可以得出三垂线定理证明ab的一个程序:一垂、二射、三证,即:第一:找平面及平面

4、的垂线;第二:找射影线或斜线,这时a,b便成为平面内的一条直线及一条斜线或射影;第三:证明射影或斜线与直线a垂直,从而得出a,b垂直. 典型例题分析 题型1 求平面的法向量 【例1】平面a经过三点A1,2,3,B2,0,-1,C3,-2,0,试求平面a的一个法向量.解析 用待定系数法求解平面a的法向量.答案 因为A1,2,3,B2,0,-1,C3,-2,0,所以=1,-2,-4,=2,-4,-3.设平面a的法向量为n=x,y,z,依题意,应有n·=0,n·=0,即有解得令y=1,那么x=2,所以平面a的一个法向量为n=2,1,0方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,关键是

5、在平面内找两个不共线的向量,然后列出方程组,方程组有无数解取其中的一个解即可,但要注意在取方程组的一组解时,不能都取零,否那么得到零向量,而零向量的方向不能确定,不能作为法向量.【变式训练1】 点A3,0,0,B0,4,0,C0,0,5,求平面ABC的一个单位法向量答案 因为A3,0,0,B0,4,0,C0,0,5,所以=-3,4,0,=-3,0,5.设平面ABC的法向量为n=x,y,z依题意，应有n·=0,n·=0,即有解得,即平面A的法向量为nx，x,x,所以平面ABC的单位向量为n0=,或n0=-=-,-,-. 【例2】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中

6、,求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0.解析 首先建立空间直角坐标系,再用待定系数法求解平面的法向量.答案 建立空间直角坐标系,如图,那么A1,0,0,C0,1,0.设平面ACD1的法向量n=x,y,1.得=-1,1,0,=-1,0,1.又n面ACD,得n,n,所以有得n=1,1,1,n0=.方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,应该说是个根本方法,它具有操作简单的特点,应实在掌握其实,对于此题来说,却未必是一个好的方法,这是因为我们可以利用三垂线定理得出直线DB1AD1,DB1CD1,从而DB1平面ACD1,所以就是平面ACD1的一个法向量. 【变式训练2】 正方体ABCD-A1B1C

7、1D1的棱长为1,在BC,DD1上是否存在点E,F,使是平面ABF的法向量?假设存在,请证明你的结论,并求出点E,F满足的条件;假设不存在,请说明理由.答案 建立如下图的空间直角坐标系,那么A1,0,1,B1,1,1,B11,1,0.设F0,0,h,Em,1,1,那么=0,1,0,=m-1,0,1,=1,0,1-h.·=0,ABB1E.假设是平面ABF的法向量,那么·=m-1+1-h=m-h=0,h=m即E,F满足D1F=CE时,是平面ABF的法向量.所以存在,且E,F满足D1F=CE. 题型2 三垂线定理及其逆定理的应用 【例3】 如以下图,以下5个正方体图形中,线段是正

8、方体的条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出面MNP的图形的序号是 .写出所有符合要求的图形序号解析 此题以正方体为依托,主要考察直线与平面垂直的断定,比较深化地考察了空间想象才能.为了得到此题答案,必须对5个图形逐一进展判别.对于给定的正方体,位置固定,截面MNP变动,与面MNP是否垂直,可以从正、反两方面进展判断,MN、NP、MP三条线中,假设有一条不垂直,那么可断定与面MNP不垂直；假设有两条相交直线与都垂直,那么可断定面MNP. 答案 解法一:假如记正方体对角线所在的对角线截面为a,各图可讨论如下: 在图中,MN、NP在平面a上的射影为同一直线,且与垂直故面MNP.事实上,

9、还可这样考虑:在上底面的射影是MP的垂线,故MP；在左侧的射影是MN的垂线,故MN,从而面MNP. 在图中,由MP面a,可证明MN在平面a上的射影不是的垂线,故不垂直于MN.从而不垂直于面MNP. 在图中,点M在a上的射影是的中点,点P在a上的射影是上底面的中点,知MP在a上的射影不是的垂线,得不垂直于面MNP. 在图中,平面a平分线段MN,故MN,又在左侧面的射影即侧面正方形的一条对角线与MP垂直,从而MP,故平面MNP. 在图中,点N在平面a上的射影是对角线的中点,故M、P在平面a上的射影分别是下、下底面对角线的4等分点,三个射影在同一条直线上,且与这一直线垂直从而面MNP. 至此,得为此

10、题答案.解法二：建立空间直角坐标系O-xyz,设正方体的棱长为2,那么对角线的方向向量可取为=2,2,-2. 对图,有=0,1,0-1,0,0=-1,1,0, =0,0,-1-1,0,0=-1,0,-1, 由·=0,·=0,得面MNP. 对图,有=2,2,-1-1,0,-2=1,2,1, 由·0知与面MNP不垂直. 对图,有=0,1,0-2,0,-1=-2,1,1, 由·0知与面MNP不垂直. 对图,有=1,0,-2-2,0,-1=-1,0,-1, =0,2,-1-2,0,-1=-2,2,0, 由·=0,·=0,得面MNP. 对图,有

11、=2,1,0-1,0,-2=1,1,2, =0,2,-1-1,0,-2=-1,2,1, 由·=0,·=0,得面MNP 综合得此题答案为. 方法指导 从解法二可以看到:应用向量法讨论两直线是否垂直非常方便,操作也比较简单,无须多动脑筋,只需要计算正确即可. 【变式训练3】正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是棱AB、BC、BB1上的点,且BE=BF=BG,求证:BD1平面EFG. 答案 如以下图所示,因为四边形ABCD是正方形,BE=BF,所以EFAC,又因为ACBD,所以EFBD.因为BD为BD1在平面AB上的射影,所以BD1EF三垂线定理. 同理BD1EG,

12、故BD1平面EFG.【例4】 如右图,P是ABC所在平M面外一点,且PA平面ABC,假设O,Q分别是ABC和PBC的垂心,求证:OQ平面PBC. 解析 欲证线面垂直,只须证明OQ垂直于面PBC中的两条相交线,据重心,结合PA面ABC,利用三垂线定理其逆定理及求解 答案. 因为OQ平面PAE,所以OQBC,因为PA平面ABC,BFC平面ABC所以BFPA,又因为O是ABC的垂心,所以BFAC,所以BF平面PAC,那么FM是BM在平面PAC上的射影. 因为BMPC,根据三垂线定理的逆定理,可得FMPC,从而PC平面BFM,又OQ平面BFM,所以OQPC,又PCBC=C,所以OQ平面PBC.方法指导

13、 三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直,特别是异面直线垂直的常用工具.利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的问题时,解决问题的关键是找准“一面三线.【变式训练4】如下左图,在正三棱柱ABC=A1B1C1中,AB1BC1,求证:A1CBC1.答案 如上右图,取BC、B1C1的中点分别为D、D1,由正三棱柱的性质知AD面BCC1B1,A1D1面BCC1B1,所以B1D、CD1分别为AB1、A1C在面BCC1B1上的射影.因为AB1BC1,所以B1DBC1三垂线定理的逆定理又D、D1分别为BC、B1C1的中点,所以B1DCD1,所以CD1BC1,所以BC1A1C三垂线定理. 题型3 利用法向量证明平行

14、与垂直 【例5】正方体OABC-O1A1B1C1的棱长为1,E是C1O1上的点,且C1E=EO1,F是CC1上的点,且C1F=FC. 1求平面A1BC1的一个法向量； 2证明EF平面A1BC1. 解析 一建立恰当的空间直角坐标系,用待定系教法求出平面A1BC1的一个法向量n,然后证明n. 答案 建立如右图所示的空间直角坐标系,那么B1,1,0,A11,0,1,C10,1,1. 1设n=x,y,z是平面A1BC1的一个法向量,那么n,n,从而n·=0,n·=0=0,-1,1,=-1,0,1,x=z=y.取x=y=z=1,那么n=1,1,1为平面A1BC1的一个法向量.(2)

15、要证明EF平面A1BC1只要证明n.E0,1F0,1,=0,-.n·=-=0,n,E平面A1BC1.又EF不在平面A1BC1内,EF平面A1BC1.方法指导 由于有了第1小题,所以产生了上面第2小题的证明方法对于第2小题的证明也可以由=-=-=-=,得,平面A1BC1,又EF平面A1BC1,故EF平面A1BC1.或由=0,-,=0,1,-1=3来证明. 【变式训练5】 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是BB1、DD1的中点,求证: 1FC1平面ADE； 2平面ADE平面B1C1F.答案 如以下图,建立空间直角坐标系D-xyz,那么有D0,0，0、A2,0,0、C

16、0,2,0、C10,2,2、E2,2,1、F0,0,1,所以=0,2,1、=2,0,0、=0,2,1. 设n1=x1,y1,z1,n2=x2,y2,z2分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量,那么n1,n1, 取y=1.那么n1=0,1,-2.同理可求n2=0,1,-2.(1) n1·=0,1,-2·0,2,1=0,n1,又FC1?平面ADE,FC1平面ADE.(2) n1n2,平面ADE平面B1C1F. 【例6】 在正方体ABCD一A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P平面C1DE.解析 假设要在棱CC1上求一点P,使得平面A1

17、B1P平面C1DE,需建立恰当的空间直角坐标系,并设出点P的坐标,求出平面A1B1P与平面C1DE的法向量,建立方程求出点P的坐标,确定点P的位置. 答案 如右图,以D为原点,建立如下图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,那么P0,1,a,A11,0,1,B11,1,1E,1,0,C10,1,1=0,1,0,=-1,1,a-1,=,1,0=0,1,1. 设平面A1B1P的一个法向量为n1=x,y,z,那么令z=1,那么得x=a-1,所以平面A1BD的一个法向量为n1=a-1,0,1.设平面C1DE的一个法向量为n2=x,y,z,那么令y=1,那么得x=-2,z=-1,所以平面CB1D1的一个

18、法向量为n2=-2,1,-1.因为平面A1B1P平面C1DE,所以n1·n2=0,-2a-1-1=0,解得a=,所以当P为CC1的中点时,平面A1B1P平面C1DE. 规律总结 此题是确定点P的位置,但考察的是两个平面垂直的充要条件,解决此题的关键是建立恰当的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量.这里法向量的坐标一个都不能求错,否那么将得到错误答案. 【变式训练6】 如以下图,ABC是一个正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点. 求证:平面DEA平面ECA. 答案 不妨设CA=2,那么CE=2,BD=1,C0,0,0,A,1,0,B0,2,0,E0,

19、0,2,D0,2,1,=,1,-2,=0,0,2,=0,2,-1,设面CEA与面DEA的法向量是n1=x1,y1,z1、n2=x2,y2,z3,所以得不妨取n1=1,-3,0,n2=3,1,2从而计算得n1·n2=0,所以两个法向量互相垂直,两个平面就互相垂直. 规律 方法 总结 1求平面法向量的方法: 求一个平面的法向量的坐标的方法步骤: 建立空间直角坐标系,设出平面的法向量为n=x,y,z 找出求出平面内的两个不共线的向量的坐标 a=a0,b1,c1,b=a2,b2,c2. 根据法向量的定义建立关于x、y、x的方程组 解方程组,取其中的一个解,即得法向量.由于一个平面的法向量有无

20、数个,故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 2用空间向量证明平行问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于平行的定理,再通过向量运算来解决. 3用空间向量证明垂直问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于垂直的定理,再通过向量运算来解决.定时 稳固 检测根底训练1. 以下说法中不正确的选项是 A.平面a的法向量垂直于与平面a共面的所有向量 B一个平面的所有法向量互相平行 C.假如两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直 D.假如a,b与平面a共面,且na,nb,那么n就是平面a的一个法向量【答案】 D点拨:a与b所在直

21、线必须为相交直线时,n才是平面a的一个法向量,否那么不是.2. 给定以下命题:假设n1,n2分别是平面a，的法向量,那么n1n2a；假设n1,n2分别是平面a,的法向量,那么an1·n2=0；假设n是平面a的法向量,且向量a与平面a共面,那么a·n=0；假设两个平面的法向量不垂直,那么这两个平面定不垂直其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 C点拔:正确,中ap=mnm,3. 给定以下命题:假设a是平面a的斜线,直线b垂直于a在平面a内的射影,那么ab;假设a是平面a的斜线,平面内的条直线b垂直于a在平面a内的射影,那么ab;假设a是平面a的斜线,直线

22、ba,且b垂直于a在平面内的射影,那么ab；假设a是平面a的斜线,直线ba,且b垂直于a在平面a内的射影,那么ab.其中,正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.3【答案】 B点拨:根据三垂线定理及其逆定理判断只有正确.4. RtABC的斜边BCC平面a,顶点Aa,那么ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边所成的图形只能是 A.一条线段或一个直角三角形 B一条线段或一个锐角三角形 C.一条线段或一个锐角三角形 D.一个锐角三角形或一个直角三角形 【答案】 C点拨:当平面ABC平面a时,RtABC在平面内的射影是一条线段.当平面ABC与平面a斜交时,如右图所示,过A作AOa,连接BO,CO,在BOC中,AB2一AO2=BO2,在RtAOC中,AC2-AO2=CO2,在RtABC中,AB2+AC2=BC2,在RtABC中,cosBOC=,将代入,得cosBOC=<0,所以BOC是钝角,所以BOC是钝角三角形.5. 设A是空间任意一点,n为空间任一非零向量,那么合适条件·n=0的点M的轨迹是 . 【答案】 过点A且与向量n垂直的平面点拨:·n=