11超全因式分解小结第36页练习题第23页反例

1、因式分解小结【知识精读】 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能

2、否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；-方法：1. 提公因式法形如 2. 运用公式法平方差公式：，完全平方公式：3. 十字相乘法 4. 分组分解法 （适用于四次或四项以上，分组后能直接提公因式 分组后能直接运用公式）。总结：因式分解的一般步骤第一步提取公因式法第二步看项数1两项式：平方差公式2三项式：完全平方公式、十字相乘法3四项或四项以上式： 分组分解法(一) 因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，

3、也叫分解因式。 并强调三点：1.多项式,2.整式,3.积.因式分解与整式运算有何关系？因式分解整式乘法因式分解与整式运算之间是互逆关系！因式分解整式乘法多项式整式的积(二)、巩固概念1、 下列代数式从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1). x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2). 2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3). (5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4). x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5). (a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6). m2-4=(m+2)(m-2) 因式分解 (7). 2

4、R+ 2 r= 2 (R+r) 因式分解 注意：因式分解与整式运算之间是互逆关系！2、判断下列各式是否是因式分解。都不是因式分解！注意：分解的对象必须是多项式！都不是因式分解！前两个变形为部分化积，不是整体化积！注意：分解的结果必须是整式乘积的形式。都是不彻底的因式分解！注意：因式分解要分解到不能分解为止，即：分解彻底！-1、 提公因式法. ma+mb = m(a+b) ma+mb+mc = m(a+b+c) 练习：分解因式 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a

5、+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a±b)2； 练习：分解因式 三、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 思考：十字相乘有什么基本规律？ 例5、分解因式： 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即 2+3=5。

6、 1 2解：= 1 3 = 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要 等于一次项的系数。 例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习5、分解因式(1) (2) (3) 练习6、分解因式(1) (2) (3) （二）二次项系数不为1的二次三项式 条件：（1） （2） （3） 分解结果：= 例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：= 练习7、分解因式：（1） （2） （3） （4） （三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式： 分析：将看成常

7、数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= = 练习8、分解因式(1) (2) (3) （四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式= 练习9、分解因式：（1） （2） 综合练习10、（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）四、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公

8、因式可提，也不能运用公式分解，但 从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式= 原式= = = = = 练习：分解因式1、 2、（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式： 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = = 例4、分解因式： 解：原式= = = 练习：

9、分解因式3、 4、 综合练习：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 五、换元法。 例13、分解因式（1） （2） 解：（1）设2005=，则原式= = = （2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式= 设，则 原式= = 练习13、分解因式（1）（2） （3） 六、添项、拆项、配方法。 例15、分解因式（1） 解法1拆项。 解法2添项。 原式= 原式= = = = = = = （2）解：原式= 练习15、分解因式 （1） （2） （3） （4） 七、待定系数法。 例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为

10、解：设= = = 对比左右两边相同项的系数可得，解得 原式= 例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。 （2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为 解：设= 则= 比较对应的系数可得：，解得：或 当时，原多项式可以分解； 当时，原式=； 当时，原式= （2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设= 则= 解得，=21 练习17、（1）分解因式 （2）分解因式 （3） 已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。因式分解提高练习题一、填空：（30分）1、若是完全平方式，则的值等于_。2、则=_=_3、与的公因式是4、若=，则m=_，n=_。5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其结果是 _。6、若是完全平方式，则m=_。7、8、已知则9、若是完全平方式M=_。10、， 11、若是完全平方式，则k=_。12、若的值为0，则的值是_。13、若则=_。14、若则_。15、方程，的解是_。二、选择题：（10分）1、多项式的公因式是（ ）A、a、 B、 C、 D、2、若，则m，k的值分别是（ ）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式：中能用