人身保险(精品课程)第三章 人身保险中的数理基础

1、                第三章   人身保险中的数理基础本章预习    每年新生入学时，都有大量的保险公司来学校向新生推销保单，很多没有学过保险的同学不明白为什么两个年龄相差不多的人保费会相差那么多，这一章我们就来讲解人身保险的费率厘定及其相关内容。同时，由于我国已经加入WTO，根据我国的承诺，保险业将是一个率先开放的行业之一，且开放的步伐比较快、力度比较大。这是对我国

2、保险业极大的挑战,不过也是推动我国保险业改革的极好的机遇。我们要想迎接这个挑战、把我国的保险业推上一个新台阶，一个关键的地方在于，改善经营管理理念，降低成本，提高利润率，而这一切都以一点为基础，就是保费的科学厘定及其后续工作的良好管理。    本章第1节主要介绍了人身保险精算的概念、内容、起源、意义、原理等基础知识。第2、3、4节介绍了寿险精算的内容，其中第2节介绍利息理论，第3节介绍生命表和生命函数，第4节介绍人寿保险保费的确定。第5节介绍健康和人身意外伤害保险保费的确定。    人身保险精算概论 &#

3、160;  利息理论    生命表和生命函数    人寿保险保费的确定    健康和人身意外伤害保险保费的确定3.1   人身保险精算概论 3.1.1   人身保险精算的概念    保险公司在经营保险业务时，需要预先估计它们承担风险的大小，估计发生危险事故造成损失的分布，并在此基础上，计算投保人应交纳的保险费、保险公司在不同时期需为未来赔偿损失建立的责任准备金等。这些

4、计算就是保险精算。确切地讲，所谓保险精算，就是运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，对保险业经营管理中的各个环节进行数量分析，为保险业提高管理水平、制定策略和作出决策提供科学依据和工具的一门学科。    人身保险精算是保险精算的主要内容，它是在对人身保险事故出险率及出险率的变动规律加以研究的基础上，考虑资金投资回报率及其变动，根据保险种类、保险金额、保险期限、保险金给付方式、保险费缴纳方式及保险人对经营费用的估计等，对投保人需缴纳的保险费水平、保险人在不同时期必须准备的责任准备金人身保险其他方面等进行的科学精确的计算。 &

5、#160;  进行人身保险精算首先需研究被保险人遭受危险事故的出险率及出险率的变动规律。出险率即保险事故发生的概率。人身保险精算主要是寿险精算，人寿保险的出险率是死亡概率和存活概率，而死亡概率和存活概率又是互补的，因此通常只研究其中一个的变动规律即可，人身保险是以生命表方法来研究和表述被保险人的死亡规律的。在医疗保险中，出险率就是被保险人的发病概率。在伤残保险中，出险率就是被保险人的伤残概率。在确定了保险事故发生的概率的基础上，保险人方可确定应收的保费。    由于人生保险的标的是人的生命和身体，因此保险事故发生带来的损失很难用价值标

6、准来衡量。它不同于以物为保险标的的财产保险，物的损失价值是可以估算的。因此，人生保险事故发生时保险人的赔偿金额即保险金额一般只能根据投保人的经济收入、家庭状况、生活水平和缴费能力等，由保险人和投保人相互协商来确定。    人身保险一般是长期契约，因此应该考虑资金的时间价值及由此而产生的利率对保费的影响。这样，利息理论和前述的生命表理论就构成了寿险精算的两大理论基础。3.1.2   寿险精算的起源    保险精算学起源于寿险中的保费计算，其发展与寿险有着深厚的渊源关系，而寿险精算则是从寿险经营的困

7、境中产生的一门新兴学科。    早期的寿险组织其经营的寿险业务有很大的局限，概括起来有以下几个特点：首先，寿险业务所承保的对象单一，限制较多；其次，业务量小，尚未大规模经营寿险业务；最重要的是，寿险经营缺乏严密的科学基础，表现在考虑的因素较少，有关计算粗糙不精确。在这样的背景下，造成的是寿险业的不景气，保险技术的停滞不前。    寿险精算学的产生并不是偶然的，它具有自身的理论渊源。1693年，英国天文学家、数学家埃德蒙哈雷根据德国Breslan市居民的死亡资料，编制了世界上第一个完整的死亡表，用科学的方法精确地计算

8、出各年龄段人口的死亡率。哈雷在其中对死亡率、生存率以及死亡率随年龄不同而异等概念的研究，不仅使产生于12世纪的年金价格计算更为精确，也为后来精算的产生奠定了科学的基础。18世纪中期，托马斯辛普森根据哈雷的死亡表构造了依据死亡率变化而变化的保险费率表。后来，詹姆斯多德森又根据年龄的差异确定了更为精确的保险费率表，进一步为精算奠定了基础。1724年，法国数学家Abraham de Moivre通过对死亡率及其模型作过的大量研究，提出了一个死亡法则，即将一定年龄对应的生存人数看作这一年龄的函数。Moivre的这一死亡法则成功地计算和简化了当时棘手的年金问题。这些科学家的工作为寿险精算学的建立作出了重

9、大的贡献，奠定了其数理基础。    1756年英国人詹姆斯道森被以年龄偏大为由拒保，他鉴于此事，提出了保险费应与死亡率相挂钩，随投保人的年龄和预期寿命不同而有所差异等新的保险经营理念。这一理念就是现代寿险精算学的雏形。1762年，英国成立了世界上第一家真正的寿险公司伦敦公平保险公司。该公司采纳了道森的方案，以死亡表为依据，采用均衡保费的理论来计算保费，并且对不符合标准的投保人另行收费。寿险经营据此打开了新的局面，同时寿险业务开始步入科学的经营之路。该公司的成立，标志着现代寿险制度的建立。3.1.3   人身保险精算的内容 &

10、#160;  人身保险按照投保人数的不同，可分为一元生命人身保险和复合生命人身保险。一元生命人身保险的承保对象只有一个人，即以单个被保险人发生保险事故为保险金的给付条件。复合生命人身保险的承保对象为两个以及两个以上，并以被保险人组成的联合被保险集团中的某一人或全部的生存或死亡为保险金的给付条件。复合生命人身保险不同于团体保险，团体保险是以团体为保险对象，以集体名义投保并由保险人签发一份总的保险合同，保险人按合同规定向其团体中的成员提供保障的保险。不是一个具体的险种，而是一种承保方式，它以团体中每个成员发生保险事故为给付条件，因此它实际上是一元生命人身保险的一种特殊方式。&#

11、160;   相应地，人身保险精算分一元生命人生保险和复合生命人身保险两种进行研究。但由于本书不是专门讲精算的书，我们将只介绍一元生命人身保险精算的内容，有兴趣的读者可以阅读有关专门讲精算的书来获取更多更深的知识。3.1.4   人身保险精算的意义    精算起源于寿险业，随着现代寿险业规模的不断扩大、经营的不断发展，人身保险精算显得更加重要。这是由于现代寿险业经营的复杂性，决定了寿险中要运用精算技术的地方很多。    首先，由保险的定义可知，保险是针对风险而建立的

12、一种经济保障机制，其经营的对象就是风险，具体到人身保险来讲，主要是被保险人活得太久与死得过早这样两类风险。而风险具有如下的特征：第一，风险是客观存在的。一方面，各种自然灾害是按自然规律运行的客观现象，使人力不可抗拒的；另一方面，各种人为事故虽然可以通过加强管理得以减轻，但无论怎样努力，都只能避免个别事故而不可能从整体上消除事故发生的风险。因而，尽管人们在一定的时间和空间可以发挥主观能动性改变风险存在和发生的条件，进而降低风险发生的频率和损失程度，但绝对不可能消灭风险。第二，风险具有不确定性。风险的不确定性表现在，损失的是否发生、发生的时间、发生的地点、造成损失的大小都是不确定的。第三，风险是普

13、遍存在的。在现实社会中，无论人们的年龄、性别、职业怎样，无论何时，也无论身处何处，人们总会面临各种各样的风险。第四，风险是可以预测。从现代的概率论和数理统计可知，由于风险是一种损失的随机不确定性，对于群体来说，各种风险发生的概率、损失的大小及其波动性是可以大致计算出来的。风险的这些特征表明，在实际的保险经营中，不可避免地存在着一定的风险，同时这些风险又是可以通过科学的方法来预测和减少的。这就要求，在人身保险的经营中必须考虑到这些风险的存在，运用定量的方法进行精确的风险分析。    其次，人身保险经营的特性也决定了其必须要进行大量的定量分析。人身保险的保单

14、一般是长期契约，这就决定了其收入和支出在时间上是不配比的，且为了支付未来赔偿而筹集的保费与未来实际发生的赔偿金额也存在差别。为了降低经营的风险，就必须把这些差别控制在一定的范围内并尽量降低，而这就需要科学精确地厘定保险费率，其考虑的主要因素为预估的死亡率、利息率、费用率，它们都是时间随机变量函数。此外，人身保险经营中收入与支出时间上的不配比也使得经营过程中存在大量的闲置资金，所以人身保险中闲置资金的投资就是一项重要的工作。但投资项目的选择、投资风险的分析、投资金额的确定、投资回报率的估计、投资绩效的评价等都是需要精确确定的，也即与精算有关。    除以上

15、所分析的项目以外，人身保险中需要精算的地方还很多，如随着时间的变化，生命表应作一定的修正，相应地，原来一定时期内相对稳定的费率也将变化；经济周期对人身保险的影响及由此引起的经营调整等。总之，人身保险的科学运营客观上离不开精算，人身保险精算使人身保险的经营科学化，确保了经营的稳定性和盈利水平。3.1.5   人身保险精算的基础    现代保险学是建立在概率论和大数定律基础之上的。    1. 随机事件与概率    自然界和人类社会发生的现象是各种各样的。有一

16、类现象，在一定条件下必然发生，可以事先准确的预言其结果。我们把这类现象称为确定性现象。在我周围还存在着另一类现象，例如，在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么。这类现象，在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的结果。但人们经过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它们的结果都呈现出某种规律性。例如，多次重复抛掷一枚硬币，得到正面朝上的次数大致有一半。这种在大量重复试验或观察中所呈现出的固有的规律性，就是统计规律性。这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在

17、大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。    在概率论中，是通过随机试验来研究随机现象的。所谓随机试验就是符合以下特征的事件：（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定那一个结果会出现。对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的。我们将随机试验的所有可能结果组成的集合称为随机试验的样本空间。样本空间的元素，即随机试验的每个结果，称为样本点。样本空间的子集称为随机试验的随机事件。 &

18、#160;  在保险的经营中，风险的普遍性、复杂性决定了如果保险人不加选择地对各种要求风险转嫁的客户都承保，就可能使自己陷入经营困境中。因此，保险人通常将风险划分为可保风险和不可保风险，其中可保风险才是保险人可以承保的风险。而作为可保风险，其发生必须是偶然的，即所承保的保险事故必须是随机事件。风险发生的偶然性是针对单个风险主体来讲，风险的发生与损失程度是不可知的、偶然的。对于必然会发生的事件，如机器设备的折旧和自然损耗，保险人是不予承保的。从前述的知识我们可知，对于单个主体无法预知的风险的发生及损失的大小，保险人可通过大量的统计资料的分析，找出其发生的规律性，从而将偶然的、

19、不可知的风险损失转化为可预知的费用支出，顺利实现保险经营的全过程。    如果A是一随机事件，那面它在一次试验中可能发生，也可能不发生。但仅仅知道这一点对我们的实际工作是没有多大的帮助的。实际中，人们不仅想知道某一事件的发生是否确定，而更为关心的是，如其可能发生，发生的可能性究竟有多大。例如，把一枚硬币抛掷1万次，仅仅知道正面朝上可能发生也可能不发生是远远不够的，更为重要的是应知道这1万次中正面朝上的次数可能是多少。为此，需要引进概率的概念。    概率表示随机事件发生的可能性的大小，概率大就表示某种随机事件出现的

20、可能性就大，反之，概率小则表示某种随机事件出现的可能性就小。概率是不确定性事件的确定性程度，即衡量随机事件出现的可能性大小的尺度。假定以P(A)表示随机事件A发生的概率，由于必然事件E是肯定会发生的，可以约定P(E)=1,同时，由于不可能事件肯定不会发生，可以约定P()=0,这样，对于一般的事件A,应有0P(A)1。    在实际应用中，要准确的确定随机事件发生的概率并不是一件容易的事情。于是，在实际中，一种有效的确定随机事件概率的方法是概率的频率解释。    在相同的条件下，重复进行n次某一随机试验，在这n次试验

21、中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数，以k表示。比值k/n称为事件A发生的频率。由于事件A发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，其大小表示A发生的频繁程度。频率愈大，事件A发生的愈频繁，这意味着A在一次试验中发生的可能性愈大。且当试验次数n逐渐增大时，频率k/n逐渐稳定于某个常数P。对于每一个随机事件都有这样一个客观存在的常数与之对应。这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性，并不断得为人们的实践所证实。这样，就可以用这个常数P直观的表示一次试验中事件A 发生的概率。    在保险实务中，我们就常常用频率来解释计算风险事件的损失概率。例如，可以用一

22、定时期内汽车发生交通事故的频率来估计交通事故的发生概率；再比如某地区根据历年资料观察得知，该地区4050岁年龄组的男性每10万人中1年内死于结核病的有60人，则该地区这个年龄组死于结核病的概率就可估计为0.6。也只有比较精确的确定了保险事故发生与所造成的损失大小的概率，才能确定经营成本并合理制定费率，实现正常的业务运行，并在此基础上获取满意的利润水平。    2. 大数定律及其在保险中的应用    我们在讨论概率的频率解释时，讲到过随机事件发生的频率具有稳定性，即随着实验次数的增加，随机事件发生的频率逐渐趋于某个常

23、数，这种稳定性就是这里我们要讨论的大数定律的客观背景。    前面讲到危险事故的发生对于单个主体是随机的、不可测的，而对社会群体来说则是必然的、可估测的，这即是由大数定律决定的。大数定律是指随机事件在一次独立试验中发生的这种偶然性在大量的重复试验中将呈现为事件发生发展的某种必然的规律性。它说明了大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律，是保险经营的重要数理基础。    大数定律应用于保险时得出的最有意义的结论是：当保险标的的数量足够大时，通过以往统计数据计算出的估计损失概率与实际概率的误差将很小。保险经

24、营利用大数定律把不确定的数量关系转化为确定的数量关系，即某一危险是否发生对某一个保险标的来说是不确定的，可能发生也可能不发生，但当保险标的数量很大时，我们可以很有把握地计算出其中遭受危险事故的保险标的会是多少。这样，根据大数定律，我们就把对单个保险标的来说不确定的数量关系转化为了对保险标的的集合来说确定的数量关系。    人身保险中，每个被保险人在一定时期是否发生危险事故是随机的、不确定的，并且各被保险人之间发生危险事故是相互独立。当面临同类危险的被保险人组成被保险集团时，相当于对随机事件进行多次重复观察。此时，被保险集团中发生危险事故的频率将随着被保险

25、人数的增多而趋于稳定值，这个稳定值就是危险事故发生的概率。因而可以说单个被保险人遭受危险事故的不确定性将在被保险集团中消失，从而表现为，对于社会总体来说，危险事故的发生为确定的概率值，这一概率值也正是被保险人发生危险事故的可能性。因此可以说，虽然单个主体遭受危险事故是随机的、不可测的，但他遭受危险事故的可能性是可测的、确定的。保险人把单个被保险人面临的不确定性的损失转移到自己身上，也就把不确定的损失转移为保险人对全体被保险人确定的损失补偿金额，也就是说，在一定风险下，保险人承担的损失补偿金额是确定的。另外，保险人为组织和经营保险业务需要有一定的营业费支出，这部分费用是由保险人充分考虑保险经营的

26、市场竞争及实际开支需要的情况下确定的。这样，保险人为承担风险的开支总额是可以预先计算的。根据保险人和被保险人权利和义务的对等关系，被保险人想转嫁风险而需缴纳的保险费就可以确定了。通过保险这一方式，投保人实现了分散风险、分摊损失。保险就像是一个蓄水池，每个投保人缴纳少量的保费，保险公司把这些资金集中起来以弥补少数被保险人所遭受的损失。由上述内容可知，只有当参与这种蓄水机制的个体数越多时，保险人才可能较为精确的确定为承担风险所需的费用及相应的每个投保人需缴纳的保费，只有在此基础上，保险人才能进行正常的经营，蓄水池的功能才能稳定地发挥。这里，保险人是以危险事故的出险概率为基础来计算保险费的，由大数定

27、律可知，只有当投保人数足够多时，出险概率才趋于稳定的概率值，否则实际发生保险事故的频率可能偏离实际的概率值，从而可能使保险人因对所承保的风险估计错误而蒙受损失。因此，在实际的保险实务中要争取尽可能多的保户参加保险，这样才能进行合理的费率厘定，实现稳健经营。    在实际的经营中，我们还必须注意大数定律在保险业务中应用的两个条件。根据大数定律，以往的经验数据越多，对危险事件的出险概率的估计就越准确，而这种估计的准确性是能否准确预测未来危险的前提条件。但是另一方面，即使我们能准确估计出危险事件发生的概率，如果未来可承保的危险单位数较少时，也很难准确估计未来会

28、面对的风险。为使预期结果能很好地接近真实结果，必须将概率的估计值运用到大量危险单位中。因此，大数定律的应用具有双重性。    第一，准确估计危险事件发生的概率，保险公司必须掌握大量的经验数据。经验数据越多，对危险事件发生的概率的估计就越准确。    第二，一旦估计出了危险事故发生的概率，还必须将此概率估计值运用到大量的危险单位中才能对未来损失有比较准确的估计。    在用经验数据进行对未来风险预测时，保险公司往往假设：过去事件发生的概率与未来事件发生的概率相同，并且对过去事件

29、发生的概率的估计是准确的。但是过去事件发生的概率与未来事件发生的概率往往不一样，事实上，由于各种条件的变化，事件发生的概率是不断变化的，另外，也不能从过去经验数据得出完全准确的概率。所有这些都导致实际结果与预期之间必然存在偏差，保险公司的经营风险也就是这种偏差造成的，保险公司可以通过承保大量保险单位来提高得风险预测的准确性。3.2   利息理论3.2.1   利息概述及度量    1. 终值函数和现值函数    (1)终值函数    我

30、们把最初投资的、孳生利息的资金称为本金。把本金经过一定时期后形成的金额称为终值，它是本金和利息之和，又可称为本利和。设t是本金投资使用的时间长度，以A(t)表示t时刻的终值，它是t的函数，称为终值函数。当t=0时，A(0)就是本金。利息是终值与本金的差，以I(t)表示t时的利息额，则    A(t)=A(0)+I(t)                    

31、(3.2.1)    为了数学处理的方便，进一步地，我们用函数a(t)表示一单位货币经过t时期后的价值，定义为                                      &#

32、160;                                         (3.2.2)    显然a(0)=1,A(t)=A(0)·

33、a(t), 由于A(0)即本金是常数，我们以K表示它，则可记A(t)=K·a(t)。那么，a(t)和A(t)具有类似的性质，我们以后就可以只研究与a(t)有关的问题。    (2)现值函数    现值函数是指一个货币单位的终值在时期之初的价值。设时期长度为t，记现值函数为。同样可记K个货币单位的资本的现值函数为，且它和具有类似的性质。    2. 利息的定义    利息可以定义为资本借入者因使用资本而支付给资本所有者的一种报酬

34、，即使用资本的代价。也可以说，利息是资本所有者对因让渡资本的使用权而遭受的损失向资本借入者所收取的一种租金。对于现代社会来说，经济活动中广泛存在着资金的盈余单位和赤字单位，从而也就存在着频繁的资本流动。资本的使用者不一定就是资本的所有者，他可借入资本来是用，这样，对于资本借入者来说，利息就是因他使用资本借出者的资金而支付给后者的代价，对资本借出者来说，利息是他暂时让渡资本的使用权而从资本借入者那里得到的报酬。    3. 利息计算的方法    利息计算中有两种基本方法：单利与复利   

35、 (1)单利法    单利法计算利息的特点是，仅对本金计息，对利息不再付息。以i表示实际利率，则其终值函数的形式为   a(t)=1+i·t                               

36、;                                             (3.2.3)    (2)复利法&#

37、160;   复利法的特点是，不仅对本金计息，还对产生的利息计息。则其终值函数的形式为                                        &#

38、160;                                         (3.2.4)    4. 利息的度量   

39、60;利息可以是按年计息，也可以是按半年、季、月等计息。在单利法下，由于它只在本金上计息，计息单位不会影响利息额。但在复利法下，由于利上有利，在年利率不变时，如按半年、季、月等计息，即当计算利息的期间与基本的时间单位（一般为一年）不一致时，实际的利息值就产生了差异。例如，本金一元，年利率为10，若半年结息一次，到年末的本利和为则一年总的利息额为0.1025元，一年结算的实际利率为10.25。若改为每季结息一次，到年末的本利和为,则一年总的利息额为0.1038，一年结算的实际利率为10.38。这样，由于一年内结息次数不同，产生了利息率的名实不符。于是我们就把原来规定的一年结息多次的利率称为名义利

40、率，如上面的例子中，原来规定的年利率10就是名义利率。    下面给出名义利率和实际利率的准确定义：    (1)实际利率    若计算利息的期间长度与基本的时间单位一致，则资本在该段时间内获取利息的能力就是实际利率，又称为有效利率,以i表示。    也就是说，某时期内的实际利率是该时期内得到的总的利息金额与此时期开始投资的本金金额之比，它度量了本金在所度量时期内的获取利息的能力。若一年内只计算一次利息，则该年内获得利息的能力就是年实际

41、利率；若半年计算一次利息，则半年内获得利息的能力就是半年实际利率。    以后若无特别说明，基本的时间单位即为一年。    (2)名义利率    当计算利息的期间长度与基本的时间单位不一致时，则原来规定的以基本时间单位为基础的利率就是名义利率，以表示，其中m表示在基本的时间单位内计息的次数。    (3)名义利率和实际利率的相互转化    名义利率以用表示，m是一年计息的次数,这样每次计息期间的实

42、际利率为，设在期初投入一个货币单位的本金，一年末的终值函数为，而以实际利率i计算的一年末的终值函数为1+i,而这两者应该是相等的，于是有                                       

43、60;                              故                     

44、                                                 (3.2.5

45、)    根据上述公式，只要知道名义利率和实际利率中的任何一个，就可以求出另外一个，进行有关利息的计算了。    (4)名义贴现率和实际贴现率    与名义利率和实际利率的意义相似，也有名义贴现率和实际贴现率。所谓实际贴现率，就是到期末的总贴现额与到期日应付额之比，以d表示。而名义贴现率则表示原来规定的以基本时间单位为基础的贴现率，以d表示，其中m表示在基本的时间单位内贴现的次数。同样的，这两者具有以下的转换关系      &

46、#160;                                                 &

47、#160;               (3.2.6)3.2.2   利息力    实际利率和名义利率分别表示每年结算利息一次的年利率和每年结算利息数次的年利率。这就是说，若已知实际利率和名义利率，就可以分别计算一年和一年以内的分数年的利息，因而它们在实际中有着广泛的应用，大多数涉及利息的问题都可以由它们来度量。但是，在理论上或者实际中的某些问题中，需要度量在某一时刻或某个微小区间上的利息，此时，

48、实际利率和名义利率就不再适用了，为了解决这个问题，我们要引入利息力的概念。    利息力又简称息力，是衡量在某个确切时点上利率水平的指标。如果用t表示时刻t的息力，那么t的定义是：                                 &#

49、160;                                    (3.2.7)    从根本上讲，息力t表示在时刻t的瞬时利息率，是时刻 t时瞬时获取利息的能力，它是对利息的最基本的度量。而且t

50、还是以年率形式来度量时刻t的利息的。根据息力的定义，对公式（4.2.7）两边积分，有                                            

51、;                    从而                                

52、                                                (3.2.8) 

53、0;  这表明：投入一个货币单位的本金，在息力t已知的条件下，经过时期t后的终值a(t)可按公式(4.2.8)计算。    问题的另一方面为，经过时期t 后的一个货币单位的资本，在息力t已知的条件下，它在该时期之初的现值为：                           &

54、#160;                                                 

55、(3.2.9)3.2.3   利率、贴现率及息力之间的关系    现在我们已经了解了利率、贴现率及息力各自的含义，在实际中往往不能同时获知它们每个的值，因而就需要能从其中的某一个来推知另一个，这要求掌握它们之间的关系。综合前述有关分析及其原理，并结合它们各自的定义，不难得出实际利率、名义利率、实际贴现率、名义贴现率以及息力之间有如下的转换关系：        这些关系可用一个式子概括起来表示       &

56、#160;                                     (3.2.10)    其中，V为贴现因子，具体的定义在后面将会讲到。3.2.4   现金流的现

57、值与终值的计算    我们称在不同时点上发生的一系列的资本流出或流入为现金流。由于A(t)和a(t)的关系是A(t)=K· a(t),为了研究的方便，我们只需讨论a(t)的计算即可。而由前述内容可知，a(t)的表达式受利息的具体的度量方式的影响，所以下面我们将分别讨论在不同的利息度量方式下a(t)和(t)的计算。    (1)已知利息率，求a(t)    设本金为1，经过时期后t的终值为：    (a) 在单利的条件下：

58、60;   a(t)=1+i·t    (b) 在复利的条件下：        (c) 在实际利率的条件下：        (d) 在名义利率的条件下：        其中，t既可以是整数也可以是分数。    (2)已知利息率，求(t)   

59、0;设本金为1，经过时期后t的终值为：    (a) 在单利的条件下：         (b) 在复利的条件下：         (c) 在实际利率的条件下：         （d) 在名义利率的条件下：         特别地，一年末的1

60、元终值，在年初的现值为，一般我们用符号V表示，并称V为贴现或折现因子。相应地，(1+i)被称为累积或终值因子。    (3)已知贴现率，求a(t)    (a) 在单贴现率的条件下：         (b) 在复贴现率的条件下：         (c) 在实际贴现率的条件下：        

61、; （d) 在名义贴现率的条件下：         (4)已知贴现率，求(t)    (a) 在单贴现率的条件下：         (b) 在复贴现率的条件下：          (c) 在实际贴现率的条件下：        &#

62、160; （d) 在名义贴现率的条件下：         (5)已知息力，求a(t)或(t)    在讲利息力的一节里，我们已经涉及到了这问题，这里就不再重复了。3.2.5   确定年金    年金是指在一定时期内在相等的时间间隔上所做的一系列给付。年金并不局限于每年给付一次，只要是每隔相等的时间间隔提供一次给付就形成一个年金。而且，年金每次的给付额可以是固定量，也可以是非固定量。  &

63、#160; 确定年金是年金的一种形式，指只要事先约定，就会必定支付的年金，即确定年金仅与利率有关，而与人的生死无关。确定年金有多种分类，通常情况下的分类有：年金在每期开始时支付的期初付年金以及每期结束时支付的期末付年金；年金的给付在签约后即刻开始的即期年金以及经过一段时间后才开始的延期年金等。    1. 年金支付期等于利息结算期的确定年金    (1)期末付年金    设年金额为1，于每年年末支付，共付n年，年实际利率为i，下面求该年金的现值和终值。用分别表示上述

64、年金的现值和终值,简记为。则有                                                &#

65、160;              (3.2.11)                                   

66、0;        (3.2.12)    由(4.2.11)和(4.2.12)可得a和S具有如下的关系：                                 

67、;                                  (3.2.13)    需要知道的是，虽然我们在有关的推导过程中，考虑的情形仅限于每年支付一次的确定年金，但是公式的应用却并不仅限于以年为支付期。只要年金支付期

68、等于利息结算期，的公式就可以应用。    (2)期初付年金    设年金额为1，于每年年初支付， 共支付n年，年实际利率为i, 下面求该年金的现值和终值。    用和分别表示上述年金的现值和终值，简记为和。则有        同样地，只要年金支付期等于利息结算期，和的公式就可以应用。    (3) 期末付年金和期初付年金的关系 

69、   所谓的期末付年金和期初付年金的关系，是指期末付年金与期初付年金的现值和终值之间的关系。其关系有如下两组：        2. 年金支付期大于利息结算期的确定年金    年金支付期大于利息结算期的确定年金即年金支付次数比利息结算次数少的确定年金。假定：年金总的期间为n,每一个年金支付期内包含整数个利息结算期，用k表示一个年金支付期内利息结算的次数,i表示一个利息结算期内的利率，年金额为1。    下面具体就在这种

70、条件下的期末付年金和期初付年金两种情形进行讨论。    (1)期末付年金    满足上述条件的期末付年金的现值和终值分别用(PV)I和(AV)I表示，则有        (2)期初付年金    满足上述条件的期初付年金的现值和终值分别用(PV)D和(AV)D表示，用类似的方法可以求出        3. 年金支付期小于利息结算期的确定年金

71、    年金支付期小于利息结算期的确定年金即年金支付次数比利息结算次数多的确定年金。假定：年金总的期间为n, 在每个利息结算期内总的支付额为，分次m支付，每次的支付额为, i表示一个利息结算期内的利率。    下面具体就在这种条件下的期末付年金和期初付年金两种情形进行讨论。    (1)期末付年金    满足上述条件的期末付年金的现值和终值分别用和，则有        

72、;(2)期初付年金    满足上述条件的期初付年金的现值和终值分别用和，用类似的方法可以求出         3.3   生命表和生命函数3.3.1   生命表    人身保险，特别是寿险，是以被保险人的生存和死亡为保险标的的保险，其保费和准备金的计算与被保险人的生死有着密切的关系，然而被保险人自保单生效后的未来的存活时间是不确定的，因此，我们就需要研究人的生、死的规律及其有关概率的计算。 

73、60;  1. 概述    生命表，又称为死亡表，是对一定时期某一国家或地区的特定人群自出生直至全部死亡这段时间内的生存和死亡情况的记录。它刻画了处于整数年龄的人在整数年内生存或死亡的情况。    生命表所考察的这一群人是一确定的生存集合，它一般具有以下几个特点：(1)人群基数为;(2)集合是封闭的，即一旦选定，就不再有人进入，集合人数减少的唯一原因是自然死亡；(3)集合中各成员在每一年龄段上的死亡率是确定的。    生命表是寿险精算的基础，在保险费厘定和

74、责任准备金计算时，都是以之为基础开始计算的。确切地讲，生命表中记载的生存数、死亡数、生存率、死亡率以及平均余寿等是寿险精算的基础。    2. 生存模型    在寿险中，我们视被保险人的生存和死亡为随即变量，并在此前提下进行相关的计算，同时，为了简化问题，我们一般假定利率为常数。    为了了解和分析生命函数，我们在此引入几个与生命密切相关的随机变量。    (1)T(x)：表示x岁人的余寿，也即年龄为x岁的人未来存活的时间，通常简写为

75、T，且T是一个连续的随机变量。特别地，T(0)表示新生儿未来存活的时间         (3.3.1)    上式又可以写成：        3. 生命表的结构    通常，生命表包括以下几个基本栏目：    (1)x：被观察的人口年龄。       

76、0;生命表各栏目间存在如下关系：        根据上述关系，只要知道人群基数和死亡率，我们就可以构造出生命表，其编制过程是：         (4)重复执行步骤2和3。     4. 生命表的选择    生命表是针对确定的人群构造的，依不同的划分标准生命表可划分为不同的类型：它可分为以一国国民为对象的国民生命表和以人寿保险公司被保险人集团为对象的经验生命表

77、；以性别为标准划分时可分为男子表和女子表及男女混合表；此外，按照所考察人群死亡率测定的观察期间取法的不同，生命表还可分为选择表、综合表和截断表；考虑到寿险业务和年金业务中被保险人生死状况的差异，生命表还可进一步划分为寿险生命表和年金生命表。    不同寿险业务的精算，应结合不同分类，选择恰当的生命表作为预定死亡率的基础，否则精算的结果将会出现误差。另外，选择生命表时，应注意到，由于生命表中的死亡率是建立在过去统计资料之上的，而过去一群人与未来一群人的死亡状况绝非一致的。因而在选择生命表作为精算基础时，应假定生命表人群的死亡状况与计算对象的死亡状况接近。&

78、#160;   本书附录中，我们给出了中国人寿保险业经验生命表（19901993）的节选。3.3.2  生命函数    1. 一般整数年龄生命函数                               &

79、#160;                            (3.3.9)        2. 余寿    (1)取整的余寿    令  

80、60;     K(x)=T(x)                                            

81、;        (3.3.10)    表示x岁的人未来存活的整年数，简称为取整余寿。显然，K(x)是一个离散型随机变量，我们可从T(x)的分布来研究的K(x)分布。        (2)平均余寿    从前面的内容可知，被保险人的余寿是一个随机变量，我们称余寿这一随机变量的均值为平均余寿。需要注意的是，平均余寿是针对某个人群或某年龄的人的集团而言的，指的是集团中每

82、个成员的余寿的平均值。    平均余寿有两种形式：    (a)完全平均余寿    某年龄对应的完全平均余寿，是指全部可能生存的期间，包括不满一年的零数均计算在内的余寿的平均值。我们用表示年龄为x岁的人的完全平均余寿。显然，为年龄为x岁的人的平均死亡年龄。    根据完全平均余寿的定义             

83、0;                         (3.3.11)    (b)取整平均余寿    某年龄对应的取整平均余寿，是指只考虑所生存的整年期，不包括不满一年的零数而计算的余寿的平均值。    我们用表示年龄为x岁的人

84、的取整平均余寿。    根据取整平均余寿的定义                                           

85、0;     (3.3.12)    3. 保险领域常用的死亡法则    死亡法则就是关于死亡秩序的理论上或经验上的统计规律。关于死亡法则的研究相当多，兹列举三种在保险中常用的死亡法则：    (1)Abraham de Moivre死亡法则    Abraham de Moivre定义死亡法则为1x=k·(x) (0x<，为终极年龄)。在当时Abraham de Moi

86、vre虽已意识到视为一条直线很粗糙，但是好在他之本意并非用其法则拟合真实的曲线，相反而只是用于简化棘手的年金计算问题。    (2)Gompertz死亡法则    Gompertz认为，一个人死亡的原因主要受两种作用的支配：一是与年龄无关的死亡机会；另一种是随着年龄而增加的死亡抵抗力的减退。进一步，Gompertz还假定了一个人抵御死亡的能力是以与自身成比例的速度递减的，并考虑到死力是一个人对死亡的敏感性度量，所以Gompertz便用的倒数去度量一个人对死亡的抵御程度。从而Gompertz死亡法则的分析形式为：&#

87、160;                                                (3.3.13) 

88、0;  (3) Makeham死亡法则    虽然Gompertz认识到了死亡的两个原因，但是他提出的死亡法则中却只考虑了其中的第二个原因，忽略了第一个原因。1860年，Makeham在参酌Gompertz的死亡法则基础上，并用常数代表第一个原因，加在Gompertz死亡法则所描述的死力之上，便产生了Makeham死亡法则：              (A为常数)    

89、60;                                                 

90、60; (3.3.14)3.4   人寿保险保费的确定3.4.1   人寿保险保费拟定原则和构成    保费的计算是保险公司经营的基础。本节主要讨论趸缴纯保费、分期缴纳均衡纯保费、均衡费用负荷毛保费、毛保费的计算问题。    1. 保费的概念    保费是保险人(或保险公司)为履行一定的保险责任向投保人收取的实际金额。这也是我们常说的“毛保费”。    保险是一种分散风险的手段，它把大量的风险单位

91、(个人或单位)集合起来，以收取保费的方式建立起风险准备基金，当个别风险单位发生保险合同约定的保险事故时，用此基金进行经济补偿。可见，保险人收取的保费是风险准备基金的基础，确定恰当的保费是保险公司正常运营的重要前提。    2. 保费的构成    一张保单反映了保险公司和投保人各自的权责：对投保人来说，其责任是缴纳保费，权益是在保险事故发生时获取保额；对保险公司来说，其权益是获取保费收入及保费投资收入，责任是在保险事故发生时向投保人支付保额。不管是哪一利益主体，都必须遵循权责相等的原则，也就是说，保险公司向投保人收取的保费应至少能满足其对保额的支付。一般，我们把恰能满足保额支付的保费称作“纯保费”或“净保费”。    但对保险公司来说，其支出责任并不仅限于支付保额。保险公司作为一个经济实体，其经营各项业务必然会发生各种各样的费用，如开业费用、代理手续费、行政管理费、死亡调查费及法律纠纷费等。并且，这些费用正是由于保险公司对投保人进行承保而产生的。我们把恰能满足保额支付和费用支付的保费称作“费用负荷毛保费”。