多自由度体系的微振动

1、第六章 多自由度体系的微振动教学目的和基本要求：正确理解线性振动的概念和力学体系平衡的分类；能运用拉格朗日方程初步分析两个自由度保守体系的自由振动问题；理解简正坐标的概念并了解利用简正坐标将复杂振动转化为简正振动的方法和意义。教学重点：掌握运用拉格朗日方程分析两个自由度保守体系的自由振动问题的方法和简正坐标的物理意义。教学难点：简正坐标的物理意义。§6.1 振动的分类和线形振动的概念 振动不仅在宏观领域大量存在（如单摆、弹性振子和地震等），在微观领域也是一种普遍现象（如晶体中晶格的振动、光学中分子的振动等）。振动的种类根据所依据的标准不同可有几种分类方法，下面将简单介绍。一：振动的分

2、类1.按能量的转换来划分. 自由振动系统的能量E为常数，即能量守恒。 阻尼振动系统的能量E逐渐转化为热能Q。 强迫振动系统不断从外界吸收能量并将其转化为热能Q。2.按体系的自由度划分. 单自由度振动体系的自由度S=1。 有限多自由度振动和无限多自由度振动体系的自由度为大于1的有限值或无限大值。3.按体系的动力学微分方程的种类划分. 线性振动体系的运动微分方程为线性方程。非线性振动体系的运动微分方程为非线性方程。4.本章研究的主要问题. 以上我们按不同的标准将振动进行了归类，实际上这几种标准是相互交叉的，也就是说振动还可以按照以上两个或三个标准进行进一步的归类。如线性振动还可以进一步分为单自由度

3、线性振动、 有限多自由度线性振动和无限多自由度线性振动。 表6.1给出了同时按自由度和微分方程的种类对振动进行的分类。我们在本章研究的主要问题是有限多自由度的线性振动，所以有必要对线性和非线性振动做进一步讨论。表6.1线性振动非线性振动单自由度有限多自由度无限自由度二：有限多自由度线性振动1.定义：体系的自由度为有限多个且体系的运动微分方程为线性方程。例如：单摆的运动微分方程为，方程为非线性的。但当很小时有，方程变为线性方程。如果同时还存在有阻尼及强迫力，则方程可写成，仍为线性方程。2.应用：一般情况下当力学体系在其平衡位置做微振动时，只要考虑它的最低级近似即可。这样的振动无论是自由振动、阻尼

4、振动还是强迫振动，也无论自由度的个数是多少，其振动的运动微分方程均可看成是线性的，也就是属于线性振动。三：平衡位置及其分类.1.平衡位置的定义及判定方法。（1）定义：如果力学体系在t=0时静止地处于某一确定位置，当时该体系仍能保持在此位置，那么该位置即为体系的平衡位置，我们说体系处于平衡态。（2）判定方法：在§2.4节中我们已指出保守力学体系处于平衡位置时，其势能应取极值（见第二章4.2式），即，这可以做为保守体系平衡位置的判据。2.平衡位置的分类及其判定方法.（1）平衡位置的分类：平衡位置按其性质不同可分为三类：稳定平衡：力学体系受到扰动偏离平衡位置后将回到平衡位置或者在平衡位置的

5、附近做微振动。不稳定平衡：力学体系受到扰动后将逐渐远离平衡位置。随遇平衡：力学体系受到扰动后将在新的平衡位置下保持平衡。 这三种平衡位置可用图6.1形象地表示出来，只不过图6.1是针对单自由度而言，针对多自由度也有类似的例子。（2）平衡位置种类的判据. 上述三种平衡位置均能满足，但只有稳定平衡才能引起体系的振动，因而我们有必要找到各种平衡位置的区别或判据。参考图6.1可知，势能取极小值时才是稳定平衡。拉格朗日将托里拆利的这一思想推广到任意保守体系，得到了关于体系平衡位置稳定性的拉格朗日定理如下： 如果在某一位置保守体系的势能有严格的极小值，那么该位置为体系的稳定平衡位置。当S=1时，判据为：且

6、；当S=2时，判据为：且，。另外已证明的定理还有：如果力学体系的V取极大值，则体系处于不稳定平衡（逆定理还未证实）；如果V=C，则体系处于随遇平衡。四 本节重点：掌握振动的分类特别是线性振动的概念，熟练掌握平衡位置的分类和平衡位置种类的判据。§6.2 两个自由度保守体系的自由振动 对于微振动的力学问题，用分析力学来讨论比较方便。设体系的自由度S=2，体系做自由微振动，广义坐标为。由拉格朗日方程可得：，接下来关键就是设法将动能T、势能V表示成关于的函数，再将其代入上述方程中即可得到体系的线形运动微分方程。一：动能T、势能V的表达式.1. 动能T、势能V的一般表达式.由§2.7

7、的结论可知当体系受稳定约束时，其中。由于体系在平衡位置附近的微振动均可看成是受稳定约束，所以有： （2.2）因势能V仅与有关，与无关，因而可得。下面就是设法将动能T、势能V的一般表达式化简为所需的形式即可。2. 动能T、势能V表达式的化简. 取平衡位置为广义坐标的零点，将V、T在平衡位置展开成泰勒级数可得： （2.3） （2.4）（1）势能V ：对于（2.3）式，令且因体系在平衡位置时有，略去等的高次项后可得： （2.5）其中，（2.5）式即为所求的势能V化简后的表达式。（2）动能T ：对于（2.4）式，考虑到应为同阶小量，而（2.2）式中T已为二次式，所以只要取零次式即可，即有，这样动能可表

8、示为： （2.6） 其中均为常数，（2.6）式即为所求的动能T化简后的表达式。二：体系的运动微分方程及其解1.运动微分方程：将（2.5）、（2.6）式代入（2.1）式化简后可得 （2.7）或者化简为 （2.8）该方程为二阶常系数常微分方程组，可用高等数学中关于微分方程组的相应理论求解。2.方程的解.（1）试探解及久期方程：对于（2.7）式在物理学中常用取试探解的方式求解，即令方程的试探解为 （2.9），两端对时间求导后可得，将以上两式代回（2.7）式得： （2.10）或写成 （2.11） 要使（2.10）有解，首先应使A1、A2有实数解，这要求的系数所构成的行列式必须为零，即 （2.12） （

9、2.12）式被称为久期方程或频率方程，它是关于的一元二次方程。（2）久期方程的两个正根：可以证明久期方程必有两个正根，只有这样求出的为实数才有实际的物理意义。 证明：因，当不同时为零时，应有。由，令，同理可得，另外可将表达式改写为，要使上式恒大于零，必须有 （2.13）同理因可以证明 （2.14） 接着可做出的函数图象，其中，当时，；时，；当时，；当时，。由以上讨论可知，函数在及之间有两次穿过横轴，也就是方程（2.12）必然有两个正根。其实，从（2.13）、（2.14）出发，利用就可直接判定该方程有两个正根。（3）运动微分方程的特解和通解 设方程的两个根分别为，分别将代入（2.10）式中的任一

10、个可得：， （2.15）即有，。令为分别为试探解（2.9）式中的振幅，则运动微分方程的特解为：及。根据线性微分方程的理论，方程的通解应是两组特解的线性组合，即有 同理可得式中为常数，由初始条件及决定。（4）久期方程有两个相等正根时运动方程的解. 久期方程（2.12）还可能有两相等的正根，例如当时，函数， 的函数曲线与横轴只有一个交点。方程的解为，也就是方程（2.10）中的系数均为零，取任何值都可以。此时久期方程的两组特解为，；，。方程的通解仍是两组特解的线性组合，即有 （2.18）四个常数由初始条件决定。三.例题（从略）四.本节重点：2个自由度力学体系做微振动时的通解和特解。§6.4

11、 简正坐标和简正振动 我们知道一个力学体系的广义坐标的选取是任意的，如果广义坐标选取的合适，可以使微分方程的求解非常容易，具体可见下例。一：双单摆的振动研究. 在双单摆中如果取，为广义坐标，可得，。将其代入T、V的表达式（见178页）化简后可得： ，将两式代入拉格朗日方程可得： ，求解两方程可得： （4.5）其中 ，将（4.6）代回（4.2）式可得 （4.7）这与上节直接选为广义坐标的所求结果完全一致，但求解的过程要简便的多。二：简正坐标1.定义：在处理线性振动时如果选取的广义坐标能使动能T、势能V同时表示成广义速度和广义坐标的平方和形式，即，则该坐标为广义坐标。 将T、V的以上表达式代入拉格

12、朗日方程可以很方便的得到： 其解为 2.物理意义. 在上例双单摆中如果令及，代回（4.7）式可得，任意，方程的通解为，其中，等效于、的单摆的运动。同理，如果令初始条件为及，代回（4.7）式可得，任意，方程的通解为，其等效于、的单摆的运动。从上例可以看出，简正坐标的物理意义可总结如下：（1）当选择某个坐标为广义坐标使力学体系在振动过程中该坐标只以一个频率振动，其余频率为零或者说没有被激发出来，那么用来反映这种振动模式的坐标即为简正坐标，相应的振动模式为简正振动或本征振动。或者说如果选取的广义坐标可以使体系的振动只以某种与此坐标对应的频率振动，该坐标为简正坐标。（2）对于体系的任意振动状态，都可以

13、看成是各种简正振动的线性叠加。（3）简正坐标的合适选取不仅有利于方程的求解，而且还可以反映体系振动的物理本性，因此在处理微振动时应尽量选取简正坐标。三 简正坐标的简单求法. 理论上可通过坐标的变换消去T、V的二次项，从而得到简正坐标；还有一种方法就是通过物理直觉直接判定出简正坐标，但是这两种方法都不好掌握。下面我们来介绍当体系的自由度S=2、3时，可以采用的一种简单容易掌握的方法。1. 自由度S=2.设为任意两个广义坐标，为所求的简正坐标。令，。将其代入T、V的表达式得令的系数为零可得：对势能V应用同样的方法可得：，联立以上两个方程可直接解出，代回，就可求出。 例如对于双单摆采用上述方法可直接

14、求出，将其代入，就可求出。2. 自由度S=3. 设为任意三个广义坐标，为所求的简正坐标。令，然后将用表示后代入T、V的表达式中可得到关于及 的二次式。分别令、的系数为零可得到一组方程组，解出该方程组即可求出，进而得到。四 本节重点：简正坐标的定义、物理意义及自由度S=2时简正坐标的求法。本章习题：6.1、6.3、6.4。As of Microsoft® Internet Explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your Web pages using visual filters and transitions. Y

15、ou can apply visual filters and transitions to standard HTML controls, such as text containers, images, and other windowless objects. Transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. By combining filters and transitions with basic scripting, you can cre

16、ate visually engaging and interactive documents.Internet Explorer 5.5 and later supports a rich variety of optimized filters. Click the following button to see a demonstration of many of these filters and how to usetheProcedural surfaces are colored surfaces that display between the content of an ob

17、ject and the object's background. Procedural surfaces define each pixel's RGB color and alpha values dynamically. Only the procedure used to compute the surface is stored in memory. The content of an object with a procedural surface applied is not affected by the procedural surface.警告：此类已序列化的对象将不再与以后的 Swing 版本兼容。当前的序列化支持适合在运行相同 Swing 版本的应用程序之间短期存储或 RMI。从 1.4 版开始，已在 java.beans 包中加入对所有 JavaBeansTM 的长期存储支持。请参见 XMLEncoder。引用类型和原始类型的行为完全不同，并且它们具有不同的语义。引用类型和原始类型具有不同的特征和用法，它们包括：大小和速度问题，这种类型以哪种类型的数据结构存储，当引用类型和原始类型用作