二维S型剖面设计问题的解析解.docx

1、石油地质与工程PETROLEUMGEOIQGYANDENGINEERING文章编号：1673-8217(2010)06-0088-04二维s型剖面设计问题的解析解鲁港'余雷2,李新强3(1.中国石油辽河油田公司勘探开发研究院,辽宁盘锦124010；2.中国石油K城钻探工程公司工程技术研究院；3.中国石油新辍油田公司风城油田作业区)摘要：二堆S型剖面设计问题可以归馅为求解一个二元方程组.根据已知设计参数的情况，可以分成21种不同的未知数组合情况进行求解使用无量纲化思想改写原设计方程纽.并根据角度未知数在方程姐中出现的位置，将方程组束解问题脂井成四类问题.每类问题求解方法具有相似性。推导出

2、了21种不同情况下的解析解计算公式，所得到的计算公式具有比较简洁的数学形式.求解析解过程中所使用的无量钢化结合三角函数化简的方法为二维制面设计问题求解提供了一种新的款学模式.适用于其他类型的二维回荻型割面设计问题解析求解.绘制设计参数取使范国图形是解析解的一个*要应用，可以使设计人员合理设定已知设计参数，戒少试算次数,提高设计效率.所给出的解析解计算公式对于开发站并设计软件也具有一定的指导意义。关键词：二维割面；钻井；井眼轨道；解析解；无量纲化中图分类号：TE21文献标识码：A在钻井设计工作中.井眼轨道设计是基础的工作之一。在地质条件、工艺条件允许的情况下，应尽可能地将井眼轨道设计成二维的，以

3、减少施难度，提高钻井速度，降低钻井风险。二维井眼轨道位于一个铅垂平面中，对于定向井来说，S型剖面是最常用的轨道类型。水平井的双增剖而从数学上可以归类为S型剖面。在数学上，S型剖而设计问题可以归结为二元方程组的求解问题。由于待定设计参数有.7个.而方程个数只有2个，因此.这个二元方程组共有21种不同的未知数组合情况。对于其中的在实际钻井设计工作中最常用的一些未知数组合情况，已经得到了解析解计算公式2、但是在钻井设计计算机软件开发工作中，为了使软件具有最广泛的适用性.需要在理论上求出全部21种未知数组合情况下的设计方程组的解；另外，从理论的完整性上来看，也需要对全部未知数组合情况的方程组求解方法加

4、以研究。已有的研究成果表明，二维剖面设计方程蛆是可以求出解析解的*-6研究发现，通过使用无址纲化思想对设计方程组进行数学处理，仰以充分利用各种三角函数公式对求解过程进行简化，得到形式简洁、数学形式统一的解析解。1数学模型二维S型剖面由五个井段构成(参见文献1|图2-2-1)。在以下的公式推导过程中，约定：具有长度量纲的参数的单位为m；角度单位为rad(弧度)；井眼曲率单位为m-、二维S型剖面满足F面的方程组:Lisin%+(cosa0cosa2)+L3sina?+Ri(cosa2cosa«)+sin%=A(1)Lcosa。+(sina0sina2)+cosa2+R,(sina2sin

5、a()+cosa4=AZ(2)式中：妇、乂3和AL5分别为第1、第3和第5井段的段长；死和R分别为第2井段和第4井段的半径;代、。2和久分别为第1、第3和第5井段的初始井斜角；和AZ分别为靶点的位移和垂深。如果第4井段是增(降)斜井段,取死为正(负)数。韩志勇教授使用无域纲化方法求耕悬链线剖面设计问题，使得计算方法得到极大简化。受此启发.本文使用采用类似的无最纲化思想对二维S型剖面设计问题进行求解方法的研究。收稿日期,2010-05-04作者简介：瞥港.高级工程师.1963年生.1985年毕业于址日一大学数学系.1：要从事石油钻探领域数学模型及算法的理论研究和计算机软件开发.基金项目：本项研究

6、受国家科技束大专项“大型油丁田及媒层/开发”之课聘21-6“钻井工程设计和工艺软件”(编号；2008ZX05021-006)的资助.令：M=/(MX+()，B=arctan对设计参数做无量纲化处理，令：A.；L，人zr2ra=立,二=立.则式(1).(2)改写成下面的无量纲化的形式:"cos。一sin。'-sin。cos。.显然，矩阵A和B都是非异阵，其逆矩阵为:-COS。Lsin。1corpbLsin。sin。-cos。-sin。-cos。-<8)(9)(10)Msina。+r2(cosa0cosa2)+Msina+r4(cos%cosa4)+sin%=sin/?(3

7、)cos%4-r2(sina0sina2)4-Mcos%+r4(sina2sina4)+Leos%=cos/?(4)式(3)-(4)组成一个二元方程蛆，待定参数包括：M、M、M、r2、r、a2和6,其中2个是未知数，其余5个是已知设计参数。未知数的组合共有21种情况，分成下面的4大类：(1) 第I类问题：。2和都是未知数；(2) 第I类问题：y是已知数，是未知数，另一个未知数是中的任意1个(共5种情况)；(3) 第m类问题：是已知数，。4是未知数，另一个未知数是/-'，5、2技4中的任意1个(共5种情况)；(4) 第N类问题皿和都是已知数，未知数是中的任意2个(共10种情况)；本文的目

8、的就是求出这全部21种未知数组合式(3)-(4)可以改写成下面的矩阵形式:A&+B4=wrsina4°，&=LCOSQ2-cosa4-式中：角=,9从式(11)解得：务=ATwAT妨将式(8)、(9)代入式(11),得：.dsin("+8)0sin(a,+0欧)cosa2_dcos(+)lcos(%+仞式中：c/=,7=arctan(11)(12)(13)(14)从式(13)和(14),得：dsin(jy+0)Z>sin(y+00)j2+dcos(?+。)6cos(y+。一0了=(15)类似地可以得到下面的关系式：dsin(?+0)sin(a2+。一敢

9、)35+dcos(?+0)ocos(a2+。)了=胪(16)情况下的方程组(1)-(2)的解析解。对于第IV类问题，方程组(1)(2)是关于未知数的二元线性代数方程祖.使用克莱默法则®可以直接写出解析解，本文略。2关键方程为了分析和书写方便，记：5=singAZisina-or2cosa0(5)ccos/?Mcosa。-pr2sina(1(6)r24=r2r4a=/(&3)2+皿0arctanMbJ(M)2+0=arctanMcos0sin。"1A=a.介n(7)-sine/cos。-3第I类问题的解析解第I类问题的特点是：两个未知数都是角度，都包含在三角函数之中。

10、求解思路是先将-个未知数从方程组中消去，得到关于另一个未知数的三角函数方程。式(15)经化筒得到：lr2()dcos(a4W丁+d?=E(17)从式(17)解得：«L./»*y=2,次+。一"士arccos(18)11x1式中：是任意整数。式(16)经化简得到：a22adcos(a?.0rf)*方=殆(19)从式(19)解得：。2=2次+0+?土arccos"_(20)2aa式中：，是任意整数。4第II类问题的解析解第11类问题的特点是：只有一个未知数是角度，包含在三角函数之中。求解思路是先将未知数a?从方程蛆中消去，得到另一个未知数的一元方程。求出这个

11、未知数之后，再由式(20)计算a2c4.1求未知数AL从式(15)化简得：(4I)2+(尸？一S尸=a?(21)式中：S】=sin(Qa0)hsin(Qac=cos(F%)bcoslj欧)从式(21)解得：/】=Cj±J/(皿一，)求未知数A,从式(17)化简得：M=J出一2必cos(a,一欧一.)+/)+Z/r妾求未知数AL从式(17)化简得：公cos(a-47)2+r4Jsin(a4,)了=a2(22)从式(22)解得：4=t/cos(at)土y/a2(r4c/sin(a4)y)z4.4求未知数，2从式(21)化简得：(/|C)2(匕)2!S+七"=2(岛一丁)+4.5

12、求未知数七从式(22化简得：=，一dcos(a】一砂2(M)，2dsin(jr2dsin(Q(")+A25第皿类问题的解析解求解思路是先将未知数如从方程组中消去，彳导到另一个未知数的-元方程。求出这个未知数之后，再由式(18)计算a4o5.1求未知数A4从式(16)化简得：(M。1)2+(2"=护(23)式中：$2=sin(夕一%)asin(a2a0_.c?=cos(/9%)COS(0*2%0)从式(23)解得：M=C2土W(尸2S.)2求未知数A,从式(19)化简得：LAZ3t/cos(a2?)2+尸24c/sin(a2?)了=伊(24)从式(24)解得：3=dcos(Q

13、2_')±(8dsin(%仃求未知数AL从式(24)得到：Is=R由3cos(a2+24Qsin(0f2了一厂丁5.4求未知数，2从式(23)化简得：(2asinyJ尸+.苛=胪(25)式中：7=丝亏S3=sin(/?a。一y)+(MZ3)sin/r4cosYc3=cos(fl%，)一(/】+AZ3)cos/Isin从式(25)解得：他=空篥一2sin/5.5求未知数n从式(24)化简得：二=(Ldcosla?")了+/dsinQz")了皿？2r2c/sin(a2")6解的验证由于在公式推导过程中使用了平方运算，方程组的解将出现增解。乂由于三角函

14、数的周期性，角度为未知数时也会产生多个解。增解和多解需要根据设计问题的约束条件来剔除。段长参数应满足下面的不等式条件：OVM.MMVl+A/3+A/5<sinp+cosp圆弧半径满足下面的不等式条件：r2>0心>0(第四井段为增斜井段)r4<0(第四井段为降斜井段)角度参数满足下面的不等式条件：0<a,<a4<n/2(第四井段为增斜井段)0<a4<a2<7t/2(第四井段为降斜井段)对于满足以上约束条件的解，需要再代入方程组(34)进行验证以剔除增解。7算例某定向井设计垂深为3400m,位移为770.75m,造斜点为1500m,造斜率

15、为2°/30m,第二个圆弧井段也是增斜井段，井眼曲率为3730m。根据以上数据及解析解公式，绘制了第二稳斜井段井斜角(务)与第一稳斜段长(£)的参数取值范围图形，见图1。图中阴影部分为设计参数允许取值区域；如果设计参数在阴影区域之外取值，设计方程组必定无解。在已知设计参数个数较多时，设计参数取值范围图可以帮助设计人员合理设定设计参数，减少肓目试算次数，提高设计效率。从图1可以看出，第一稳斜段K为800m和第二稳斜井段井斜角为30°在允许范围之内。根据以上设计参数.求得：第-稳斜井段井斜角为17.42°,第三稳斜段长为882.71m,剖面设计结果见表1。衰

16、1剖面设计结果数据衰井深/m井斜/(I/O垂深/m平移'm1500.000.001500.000.001761.2917.421757.2939.412561.2917.422520.60278.912687.1030.002635.55329.393569.8130.003400.00770.758结论(1) 使用无信纲化方法对二维s型剖面设计方程组的解析求解进行了研究，通过引入四个特征角(昆仁们欧)，可以充分利用三角函数的各种公式进行化简，所得到的解析解具有简洁的形式。所使用的无量纲化结合三角函数化简的求解思路可以推广应用于其它类型的二维圆孤型轨道设计方程组解析求解的研究中。(2)

17、 根据角度未知数在方程中的特点，将21种不同的未知数组合情况归并成四大类问题,每类问题的求解方法相似。得到了这21种未知数组合情况下的解析解公式，不仅完善了解析求解的理论，对于钻井软件开发也具有很取要的指导意义。参考文献1 韩志勇.定向钻井设计与计算M.北京：中国石油大学出版社,2007:118-128刘修善.井眼轨道几何学M.北京：石油工业出版社，2006:163-1762 色港.常规二维定向井剖面计算的新方法J.河南石油,1995,9(4):8-134曾港.王立波，孙忠国，等.二维圆弧型井眼轨道设计问题的通解J.探矿工程，2009.36(1):9-135 崔红英.张建国，帏志勇.两维定向井轨迹设计的通用方程J.钻采1：艺,1999,22(4)：6-8唐雪平.苏义脑.二维井眼轨道设计模钗及其精确解J.数学的实践与认识.2007.37(20)：32-407帏志勇.定向井悬链线轨道的无因次设计方法J.石油