一个双列滚动轴承的非线性平衡问题的

1、一个双列滚动轴承的非线性平衡问题的统一和简化处理。第1部分：滚动轴承模型摘要：为了增加轴承-轴系统的刚度，轴通常被一系列的双排滚动轴承来支撑。随着小工作量的多排滚动轴承的出现，提出了一种综合型的模型，这种模型能够测定内部的相互作用力。轴承套圈之间弹性形变量是用矩阵向量的形式来表示的。各种双排滚子轴承类型进行了分析，如圆锥滚子轴承，圆柱滚子轴承，球面滚子轴承，调心球轴承，角接触球轴承。应考虑基本的内部几何形状（包括内部间隙）和载荷的影响（就初始轴向压缩而言）。关键词：双列滚动轴承，五个自由度，负荷分布，矩阵向量法符号：A 内圈和外圈滚道的曲率中心之间的距离（m）ACBB 角接触球轴承CRB 短圆

2、柱滚子轴承dm 节距圆直径（m）D 滚动体直径（m）DB 背对背配置DF 面对面配置e 轴承列中滚子的惯性坐标系原点之间的轴向距离E0 有效弹性模量（N/m2）Fx,Fy,Fz 轴承受到载荷的力分别沿X,Y,Z方向的分力(N)K 对于线接触（定义单位长度上）（N/m19/9）和点接触(N/m3/2)在固定载荷下的位移L 滚动体有效长度（m）M 轴承倾覆矢量力矩n 幂指数依据接触形势而定，点接触用3/2,线接触用10/9n 单位向量q 接触载荷强度（N/m）q 接触载荷强度矢量Q 接触载荷（N）Q 接触载荷矢量ri 内滚道曲率半径（m）r 惯性坐标系中的标称位置矢量r 惯性坐标系中的可替代位置矢

3、量R 从滚动体保持架中心到轴承轴线的距离（m）SABB 调心球轴承SRB 球面滚柱轴承T 从滚动体到惯性系的矩阵变换TRB 圆锥滚子轴承u 游隙(m)x 滚动体轴向坐标（m）（x,y,z） 滚动体坐标系（X,Y,Z） 轴承惯性坐标系 接触角（rad）p 轴向游隙/轴承一端压紧（m）x,y,z 分别沿x,y,z方向的轴承相对线性位移(m) 轴承的位移向量 轴承套圈之间总的距离（m） 半圆锥滚子角度（rad） 轴承分别围绕Y,Z方向的相对倾斜角度(rad) 外部替换到外部固定的变换矩阵 外圈滚道在滚子保持架中的位置矢量 曲率总和（m-1） 滚动体的角位置(rad)脚注：a 轴向i 内圈m 轴承列o

4、 外圈r 径向s 轴承载荷矢量的组成部分1. 引言在一些机械应用领域双列滚子轴承被使用，例如齿轮箱，机床主轴或者一些旋转系统中，了解滚动体之间的载荷分布，以及载荷是随着单个滚动体长度的变化而变化的这种理论是十分重要的。这就要考虑滚动体滚道的接触负荷变形和轴承平衡方程的非线性问题了。滚动体的平衡问题已经成为许多研究人员和设计师研究的主题，有关滚动体的文献中提供了三种确定轴承内部载荷分布的方式：方式1：当轴承套圈之间的载荷分布能够分析时，就总的方法来说第一种方法应是一个整体的处理方式。基于这种方式，基于这一方法，Stribeck把对滚动轴承的机械相互作用（只有径向加载）理论研究追溯至1907年。之

5、后，Harris1用Sjovall的积分思想分析了滚动轴承在两个自由度上承载的问题。最近，Houpert3已经丰富了Harris的研究成果，这种成果是单列球和滚子在五个自由度上的承载问题，把数据输入电脑这种方式能够完全替代真正的实验。方式2：在第二种方式中，独特的相互配合和每一个滚动体滚道赫兹接触刚度都要考虑到。每一个轴承中滚动体的位置与滚柱轴承上三个任意的滚子和球轴承上任意两个球相联系的。换句话说，这种方式要求我们采用3Z来补充滚柱轴承的未知滚动体，对于球轴承要采用2Z来补充，其中Z是滚动体的个数。许多已经致力于分析程序发展的研究是以这种方式为基础的。考虑到内圈五个相对位移Liu4提出了很好

6、的分析方法用来推导圆出锥滚子轴承的平衡分析方法。DeMuletal5,6丰富和发展了Liu的球和滚子轴承的模型。这些工作者为滚动体和轴承确定了雅克比矩阵。最近以来，Bourdonetal7,8为轴承的静态非线性特性提出了一种普遍的理论方法。这种方式把轴承的每一个滚动体定义一个元件（有限元分析）作为主要组成部分。使用这种方法开发的模型是相当精密的，并且每个套圈和滚动体都需要三个平衡方程来确定。方式3：第三个方式是最高效的方式，这种方式以同时求解出每一个滚动体（包括保持架）的六个动态方程为主要部分，这种方式是由Gupta9实现的，但是几乎大多精密的方式都要求大量的计算机运作和复杂的数据来进行数据分

7、析。这种方法对单列滚动体的进一步研究是最适合的，这种方法独立于轴承的工作环境。在以前的研究的基础上，这篇论文提出了一种新的通用理论方法，这种方法适用于在所有形式的双列滚动轴承中模化的静态机械作用。这种模型综合了上面方式1和2所呈现的理论。因此，这种理论的构想可以分成两部分：首先，所有的（套圈之间的总的计算方法）几何相互作用能用矢量和矩阵的方式确切地阐述。其次，正常触点压力只能通过其中一个套圈的平衡方程来估算（换句话说就是内圈或外圈）。使用赫兹弹性接触理论这种传统的方法是为了表示接触载荷与位移的关系。对于一个滚子轴承而言，目前的分析对滚子和滚道的轮廓修正线（无修正）或更复杂的轮廓线（鼓形，对数型

8、等）是有效的，自从切片技术被用来测定接触压力分布和相关的弹性挠度。一个简单的直线轮廓对于预测轴的挠度是足够的，但是可能导致最大水平应力的低估，这种低估发生在受灾最剧烈的滚动体的力矩载荷端部，正如以前的研究所显示的那样，例如Ioannouetal10。在这种方式下，由于每一个滚动体精确的平衡被打破，使得计算时间变得有限。2. 几何参数双列滚动轴承的有以下几种形式：(a) 圆锥滚子轴承（TRBs），(b) 圆柱滚子轴承（CRBs），(c) 调心滚子轴承（SRBs），(d) 调心球轴承（SABBs），(e) 角接触球轴承（ACBBs）。用来分析轴承的主要参数包括滚动体的直径D和滚动轴承滚动体的有效长

9、度L，滚动体的数量，Z，节距圆直径dm，滚道沟曲率半径ri和ro，接触角和径向游隙u。3. 套圈之间的总的相对方式用矢量和矩阵来描述滚动体之间的位移分布。为了方便计算引入以下坐标系统：(1) 以内圈的轴线作为惯性坐标系(X,Y,Z)的一个轴线，并且坐标原点 与轴承中心重合；(2) 两个局部坐标系(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)各自附属于1列和2列滚动体的几何中心，除了每一个圆锥滚子因为坐标系的原点相当于滚动体中截面的中心。所有的坐标系都是右手系的。通常，人们认为滚动轴承的外载荷是由内圈承受的，从而可以把外圈固定在空间方便地对轴承进行平衡分析。通常情况下，轴承在五个自由度方向上受载：三

10、个沿坐标轴方向的力Fx,Fy和Fz，还有两个倾覆力矩My,和Mz。因此，内圈的运动通过线性位移x,y和z还有旋转角度和来表示。当内圈固定不动并且外圈有沿X,Y,Z方向的位移(-，-，-，-，-)时，滚动体之间的机械作用基本上是相同的。 承载能力和对齐方式 无 低 中 高 图.1 双列滚动轴承受力分析和相对应的坐标系统(a)圆锥滚子轴承（背对背）(b) 圆锥滚子轴承（面对面）(c)圆柱滚子轴承(d)调心滚子轴承(e)角接触球轴承(f)调心球轴承首先，正如图1所表示，与决定套圈之间研究方式相联系的矢量和矩阵将被引用于双列滚动轴承的大部分型号。外滚道接触点的位置用位置矢量符号ro来表示名义上的位置，

11、用ro表示位移矢量，在惯性系统中用(X,Y,Z)表示向量。轴承套圈之间总的(变形)分析方法现在能够表示为如下： （1）在上述公式中下标o和m分别表示外滚道和轴承列（m=1指左边的那一列，m=2指右边的那一列）而nom表示与套圈和滚子接触面垂直的单位矢量，如图2所示。图.2 外圈和滚动体的相互作用对于外滚道上的一个接触点，它的位置矢量ro是通过坐标(X,Y,Z)表示的，如下所示： (2)在上式中代表外圈的位移矢量，表示外圈的转动变换矩阵。对于相同的接触点标称位置矢量可以用惯性坐标系中的(X,Y,Z)表示为如下： (3)在上式中是惯性系中滚子的坐标系统原点的位置矢量；矢量的位置由滚子坐标系的(xm

12、,ym,zm)确定，其中m=1或2，滚子从外滚道进入接触状态。是从坐标系 (xm,ym,zm)到(X,Y,Z)的转换矩阵。通过方程式(1)和(3)的联合，总的相关分析方式（或变形）能通过以下方式获得 (4)依据图1给出的每个滚动体的各种形式，给出矢量，和还有转换矩阵和如下。3.1 定义向量 （5）在上式中表示各列轴承之间的初始轴向挤压力；系数c1和c2依据轴承的型号而定，对于TRBs, ACBBs和 SRBs c1=1对于CRBs c1=0对于CRBs, ACBBs 和 SRBs c2=0对于 TRBs (DB) c2=1对于TRBs (DF) c2=1（在最后两个中左边一列用大写字母，右边一

13、列用小写字母。） (6)R指的是滚动体原点到轴承轴心的距离，指的是滚动体的位置角，系数c3与符号m有关系。所以，对于左边的一列c3=-1（此时m=1），对于右边的一列c3=1（此时m=2）。 (7)D表示圆锥滚子轴承滚子的二次平均直径，调心滚子轴承滚子的最大直径，圆柱滚子轴承、角接触球轴承和调心球轴承的滚动体的直径。x是沿着轴向的坐标长度，e表示圆锥滚子圆锥角的一半(对于其他的轴承，e=0)(见图.1)。 (8)系数c4依据轴承列的形势而变化；因此，对于角接触球轴承和反装的圆锥滚子轴承c4=1,对于调心球轴承、调心滚子轴承和正装的圆锥滚子轴承c4=-1。对于圆柱滚子轴承接触角为零，等式(8)中

14、已经不用依靠系数c3和c4了。3.2 矩阵的定义运用小角度的近似计算，把由于错位引起的转换矩阵表示为如下 (9)从每一列的滚动体系统到惯性坐标系统的变换矩阵可以定义为如下 (10)把等式 (5)代入等式(10)得到的新等式，再代入等式(4)推导出了滚道之间的分析方法的通式如下： (11)在上式中a和b几何参数，它们依据轴承的结构形式而定： (12)对于给定的不同结构形式的轴承，列举方程(11)中的几何参数如下： (13) (14)记，为合成方式，为错位的总的影响，用给出的和表示如下： (15a) (15b) (15c) (15d)现在等式(11)可以写成如下： (16)对于在中平面上的滚道之间

15、总的分析方法(x=0)： (17)3.3 初始游隙通常双列滚动轴承装配后有一定的间隙。考虑到初始游隙在计算方法上的影响，在方程(11)到方程(17)中建立的置换方式必须与每一个轴承的结构形式相适应。除了圆柱滚子轴承，其他轴承的径向游隙ur与轴向游隙ua是有联系的。对于圆锥滚子轴承、角接触球轴承、调心滚子轴承和调心球轴承而言，只有当轴向游隙突然消失，局部的弹性接触变形才可能发生。对于圆柱滚子轴承而言，当径向游隙发生改变时，它的局部弹性接触变形才发生。依据不同轴承的工作形式，其内部游隙的表示由等式(11)可以得出如下等式：圆锥滚子轴承、角接触球轴承、调心滚子轴承和调心球轴承的游隙表示方法是 (18

16、)圆柱滚子轴承游隙的表示式为 (19)圆柱滚子轴承的接触角为零，其游隙只影响在滚道之间总的距离的径向组成部分上。4. 集中接触静载荷当套圈之间总距离确定时，对于干接触下的接触载荷能够通过赫兹弹性理论进行估算如下： (20)在上式中指数n依据接触形式的不同发生变化11( 线接触n=10/912，点接触n=3/2)，k是总的刚度系数Harris 11给出了其表达式如下： (21)其中，Ki和Ko各自代表内圈和外圈的滚子接触刚度系数。根据国际单位制(牛顿米)，线接触轴承的刚度系数正如Palmgren 12所描述的那样可以被估算出来： (22)式中的L是接触长度，是有效弹性模数。就点接触而言，Harr

17、is 11给出了刚度系数的表示方法： (23)式中是在接触点的曲率和，是Harris 11给出的一个描述接触变形的无量纲的数，作为曲率函数的一部分。就角接触球轴承和滚子轴承而言，Harris 11论述了等式(23)中 K随着接触角度的变化而变化的问题。5. 确立轴承平衡方程一旦确定了接触力，静态平衡方程就能通过惯性坐标系中的(X，Y，Z)来表示。因为轴承外载荷一般都在五个自由度上受载，这些力和力矩可以用，和表示。这样点接触和线接触轴承的平衡方程都可以写出来了。5.1点接触轴承平衡方程以x1，x2，x3，为矢量基准，是滚子沿着外圈滚动的触点压力为： (24)(X，Y，Z)惯性坐标系原点周围的倾覆

18、力矩为; (25)因此外圈的平衡方程可以写成： (26)方程中的F来自于下式：， 其中，通过运用充分的有价值的系数c3和c4，平衡方程能够很容易的适应与方程(28)比较有点接触的（角接触球轴承、调心滚子轴承或调心球轴承）不同形式的轴承。任何滚动体位置处的工作接触角在附录中都给出了。5.2线接触轴承的平衡方程对于线接触的轴承（圆柱滚子轴承或圆锥滚子轴承），它的接触载荷矢量Qm与点接触轴承的确定方式有相同的部分，但是指数n变成了10/9。对于圆锥滚子轴承它的倾覆力矩是绕着惯性坐标系(X，Y，Z)的原点，可以表示为： (27)式中q表示接触载荷剧烈程度的矢量记： (28)把等式(28)代入等式(27)中得到如