一元二次方程全章教学案

1、2.1 一元二次方程【重点难点】1经历抽象一元二次 方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，理解一元二次方程及相互概念。2经历方程的解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算能力及意识，能列出方程来刻画实际问题。【预习导引】从前有一天，一个醉汉拿着一根竹竿进屋横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，这时一道的另一个醉汉教他沿着门的两个对角线斜着拿竿，这个醉汉一试不多不少刚好把竹竿拿进去了，你知道竹竿有多长吗？请你根据这一问题列出方程，并把自己所列的方程与以前学习过的一元一次方程，二元一次方程比较有什么不同之处，并与其它的同伴交流自己的看法。点拔:本例中，设竹竿长

2、为x尺，则门框宽为(x4)尺，门框高为(x2)尺，门框的对角线长为x尺，根据“宽2+高2=对角线2”可列方程，（x4）2+(x2)2=x2,即x212x+20=0,这个方程与以前学习过的方程相比较有（1）只含一个未知数，（2）未知数的最高次数为2，这两个特点，从本例中逐步体会一元二次方程的概念，本例实则是一个笑话，实际上不必这么麻烦，只须将竹竿垂直于门所在的平面就很方便地进去了，但我们还应在谈笑之后，明白其中的数学知识。【知识分析】1一元二次方程的引入在前面，我们已经学习过通过列一元一次方程，二元一次方程组来解决实际问题，但有些问题，如课本中的“花边有多宽”，“五个连续整数，前三个数平方和等于

3、后面两个数的平方和”，“梯子的底端滑动了多少米”等所列出的方程：（82x）(52x)=18,x2+(x+1)+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,(x+6)2+72=102,它们是一元一次方程吗？是二元一次方程吗？它们又有什么特点呢？把上述三个方程化简：2x213x+11=0,x27x+10=0,x2+12x15=0,这三个方程都能化成ax2+bx+c=0的形式，并且只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，这就是我们要学习的一元二次方程。2一元二次方程的概念方程中只含一个未知数，并且未知数最高次数是二次，这样的整式方程叫一元二次方程。下列方程是一元二次方程吗？为什么？2x23x+1=0

4、x2+y+2=3x (2x+1)2(4x+1)(x+1)=2任何一个关于x的一元二次方程都可化为ax2+bx+c=0的形式（a，b，c为常数，且a0）。因此我们把这种形式叫一元二次方程的一般形式。其中ax2,bx，c分别叫二次项，一次项，常数项。a,b分别为二次项系数和一次系数。如4x23x2=0中，4x2是二次项，3x是一次项，2为常数项，而4,3分别是二次项、一次项的系数。一元二次方程的项以及系数是针对方程的一般形式而言的，因此，我们在确定一元二次方程的项或系数时必须先把方程化为一般形式，然后再确定，另外，这类问题的答案并不唯一，如方程2x24x6=0,x22x3=0都是同一个方程的一般形

5、式，因而依据不同形式确定的项及系数也是不同的。3一元二次方程的解能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程，二元一次方程的解的意义一样。检验一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值代入方程的左，右两边，分别计算结果，再比较左右两边是否相等，如果左右两边相等，则未知数的值是原方程的解，否则就不是原方程的解。判断方程后面的数是否是方程的解：（1）2x23x+1=0 (,1) (2)x2=0 ()(3)(2x1)2=3 ()(1)x=,x=1是此方程的解。（2）x=是此方程的解，x=1不是此方程的解。（3）x=,x=均是此方程的解。)4求实际问题中一元二次方程的近

6、似解。对于实际问题列出的一元二次方程，我们可先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解。【例题讲解】例1判断下列式子是不是关于x的一元二次方程:下列关于x的方程:（1）ax2+bx+c=0,(2)k2+5k+b=0,(3);(4)(m2+3)x2+2=0,(5)x2+是一元二次方程的是 （只填序号）.解析 所谓关于“x”的一元二次方程，就是方程中只含有x为未知数，而其它的字母均理解为已知数。（1）不一定是一次方程，因为当a=0时，它不是一元二次方程；（2）中不含未知数x;(3)中x的最高指数为3，故（3）也不是一元二次方程；（4）中含一个未知数x，且其最

7、高次数为2，其系数(m2+2)>0,故它是关于x的一元二次方程；（5）是分式方程，故它也不是一元二次方程。解：应填（4）思路探究 判断一个方程是否一元二次方程，看方程是否满足以下三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2。三个条件缺一不可才是一元二次方程。例2求出下列方程二次项，一次项及常数项：（1）6x2=5x+2,(2)(3x1)(x+2)=. 解析 （1）通过移项方程化成一般形式：6x25x2=0,从而确定其二次项，一次项，常数项分别为 6x2,5x,2。（2）先把方程变形整理为一般形式：3x2+5x=0.故二次项，一次项，常数项分别为3x2,5

8、x, .解：（1）把方程化成一般形式为：6x25x2=0 这个方程的二次项，一次项，常数项分别为6x2,5x,2。（2）把方程化成一般形式为：3x2+5x=0 这个方程的二次项，一次项，常数项分别为3x2,5x, 思路探究 一元二次方程的二次项，一次项，常数项这三个概念都是相对一般形式而言的，求解时必须先把一元二次方程化为一般形式；此外还应注意，确定一元二次方程的项还应包括前面的符号。例3如图 所示，要建一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米）并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽，对于这个问题，你能列出方程吗？试着求其解来，并与同伴交流

9、一下自己的心得。解析 本例中要求仓库的长与宽两个未知量，但这两个量之间有着相应的代数关系，设宽为x米，则长就为（322x）米，根据长方形面积为130平方米，可列出方程。解:设仓库的宽为x米,则长应为(322x)米,根据题意可列方程:x(332x)=130 方程整理得:2x233x+130=0 (2x13)(x10)=0 ,x2=10 . 当时，332x=20>16（墙长16米）， 不合题意应舍去，当x=10时，332x=13 仓库的宽为10米，长为13米。点拔 题中“墙长16米”这一实际条件易被忽视，从而导致长宽分别为13米，10米和20米，米的错误，因而在作答前必须检验是否符合实际问题

10、的条件，不符合实际的应舍去。对实际问题，求出的方程的解要检验其是否符合题意，从而作出取舍。【中考链接】例4关于x的一元二次方程（a1）x2+x+a21=0有一根为0,则a的值应为 .A1 B.1 C.1或1 D. 解析 根据方程根的定义,将x=0代入原方程中,则原方程变为关于a的一元二次方程,求得a的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不能为0,从而确定a的值.解:（a1）x2+x+a21=0有一根为0 把x=0代入方程中得:a21=0 a=±1 又此方程为一元二次方程 a10 a1 a=1 故选B 思路探究 本题易忽视二次项的系数a10这一隐含条件,容易错选C,因此在本章解有关一

11、元二次方程的题目中,若二次项系数中有字母已知数时,一定要注意到二次项系数不能为0.【达标训练】一、选择：1.下列方程不是整式方程的是( )A.20.4x3=0 C. D.2.在下列方程中,一元二次方程的个数是( )3x2+7=0,ax2+bx+c=0,(x+2)(x3)=x21,x2+4=0,x2(+1)x+=0,3x2+6=0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.关于x的一元二次方程3x2=5x2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是( )A.3,5,2 B.3,5x,2 C.3,5x,2 D.3,5,24.一元二次方程5x2+x3=0,把二次项系数变为正数,且使方程的根不变

12、的是( )A.5x2x+3=0 B.5x2x3=0 C.5x2+x3=0 D.5x2+x+3=05.已知关于x的一元二次方程(m1)x2+x+m2+2m3=0的一个根为0,则m的值为( )A.1 B.3 C.1和3 D.不等于1的任何数6.已知2y2+y2的值为3，则4y2+2y+1值为（ ）A10 B.11 C.10或11 D.3或17.若一元二次方程ax2+bx+c=0中,二次项系数,一次项系数,常数项之和为0,则方程必有一根是( )A.0 B.1 C.1 D.±18.若b(b0)是方程x2+cx+b=0的根,则b+c的值为( )A.1 B.1 C.2 D.29.如图所示,在正方

13、形的铁片上,截去2cm宽的一个长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是( )A.81cm2 B.64cm2 C.16cm2 D.8cm210.方程(m+2)+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )A.m=±2 B.m=2 C.m=2 D.m±2二、填空：11.一元二次方程的一般形式是 ,其中 是二次项, 是一次项, 是常数项.12.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是 .13.方程4x2=3x+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 .14.已知关于x的方程是一元二次方程,则m= .15.已知关于x的方程x2(2m1)x(2m

14、1)=0有一根为0,则m= .16.关于x的一元二次方程(a1)x2+a21=0有一根为0,则a= .17.已知关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1,一根为1,则a+b+c= ,ab+c= .18.小王在超市用24元买了某种品牌的牛奶若干盆,过一段时间再去超市,发现这种牛奶进行让利销售,每盒让利0.4元,他用24元钱比上次多买2盒,若设这种牛奶原价为每盒x元,则可列方程为 ,若设后来买了y盒,则依题意可列方程为 .19.某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨,若设平均每年的增长率为x,则所列方程为 .20.已知方程(x+a)(x3)=0和方程x22x3=0的解完全相同,则a

15、= .21.已知x2+7xy60y2=0,则= .22.若分式的值为0,则x= .三、解答题：23.关于x的方程(ab)x2+ax+b=0在什么条件下是一元一次方程?在什么条件下是一元二次方程?24.关于x的方程(2m2+m3)xm+1+5x=13能是一元二次方程吗?为什么?25.当m为何值时,关于x的方程 (m29)x2+(m3)x+2m=0:(1)是一元一次方程? (2)是一元二次方程?26.已知关于x的方程(n2)+3nx+3=0是一元二次方程,试求n的值并写出这个一元二次方程.27.已知a、b、c均为有理数,试判定关于x的方程ax2x+b=c是不是一元二次方程,如果是,请写出二次项系数

16、,一次项系数及常数项.28.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,且a、b满足等式b=3,求方程c=0的根.29.一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠,如果水渠的宽度相等,而且要保证余下的耕地面积为9600米2,那么水渠应挖多宽?30.已知x23x+2=0,试求的值.2.2 配方法【重点难点】1.会用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程；理解配方法,会用配方法解简单数字系数的一元二次方程.2.能够建立一元二次方程刻画现实世界中的数量关系,增强应用数学知识的意识和能力.3.体会转化的数学思想.4.能根据具体实际问题检验结果的合理性.【

17、预习导引】在学习了一元二次方程后,数学课王老师出示了一道解方程的题目:解方程:(4x3)2=(12x)2小明是这样解答的:(4x3)2=(12x)2 ,4x3=12x,6x=4,x=你觉得小明的解方程的过程正确吗?如果不正确,你觉得应如何修正?不妨大胆谈谈自己的想法与同伴交流.点拔 由(4x3)2=(12x)2可知:4x3与12x相等若互为相反数,所以4x3=12x或(4x3)+(12x)=0解这两个一元一次方程可得:x=或x=1,小明的解法遗漏4x3与12x还能互为相反数的情况,从本例中我们体会到解一元二次方程可以把一元二次方程转化为一元一次方程来解.【知能互动】1.直接开平方法解一元二次方

18、程对于形如x2=m或(ax+n)2=m(a0,m0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用直接开平方法求解.x2=m的解为x=,即(ax+n)2=m转化为ax+n=,即ax+n=,或ax+n=,这两个一元一次方程来解.因为负数没有平方根,所以当m<0时,x2=m或(ax+n)2=m无解你能解下列方程吗?并结合自己解方程的过程与结果探索方程的解的情况. (3x1)2=0 答案：; ; 无实根2.运用配方法解一元二次方程通过配方的方法把一元二次方程转化成形如(ax+b)2=m的形式,再运用直接开平方的方法求解.用配方法解一元二次方程的步

19、骤如下:(1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边.(2)根据等式的性质把二次项的系数化为1.(3)把方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边配成一个完全平方式.这时,方程右边如果是一个非负数,就可直接用开平方的方法求出它的解,如果方程右边是负数,则这个方程无解.用配方法解一元二次方程比较麻烦,在解一元二次方程时一般不用配方法,这是为公式法作准备的一种方法.但在今后的学习中,配方法经常用到,因而必须正确掌握配方法的方法.3.建立一元二次方程模型解决实际问题回顾以前学习过的列一元一次方程解应用题的方法与步骤.你能说说如何列一元二次方程解应用题吗?与同伴交流自己的想法.列一

20、元二次方程解应用题步骤:(1)审题:弄清题意,找出已知量和未知量,并分清数量关系,明确所求的量.(2)设出未知数,根据题意,设出合适的未知数,根据所设未知数,列出有关的代数式.(3)分析等量关系:即找到能反映全部意义的相等关系.(4)列方程:根据等量关系列出方程。(5)解方程(6)检验:检验所求得的解是否符合题意,正确取舍。(7)写出答案在解一元一次方程时,只要题目,方程及解法正确,那么得出的根便是所列方程的根,一般也就是所解应用题的解,而一元二次方程有两个根,这些根虽然满足所列一元二次方程,但未必符合题意,因此在解完一元二次方程之后,要按题意检验这些根是否符合实际问题,作出正确取舍.【名题探

21、究】例1.解下列方程:(1)4(2x1)29=0 (2)9(3x2)2=(12x)2 解析 (1)方程可化为,直接开平方法即可求解.(2)中方程可化为3(3x2)2=(12x)2因而方程化转化为3(3x2)=12x或3(3x2)+(12x)=0两个一元一次方程求解.解:（1)原方程化为 , 开平方得:2x1=±, 即2x1=或2x1=, 所以:.(2)原方程化为: 3(3x2)2=(12x)2 所以3(3x2)=12x或3(3x2)+(12x)=0.思路探究 形如(ax+b)2=c形的一元二次方程用直接开平方法解较简单.注意两边开平方时不要漏掉负号的情况.例2.用配方法解下列方程(1

22、)2x2+4x9=0; (2)3x2=6+8 解析 运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程中的右边,再在方程左右两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为”1”的形式,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程化为(ax+b)2=c的形式,再用直接开平方的方法求解.解 (1)方程两边都除以2得,移项得:x2+2x= 配方得:x2+2x+1=+1 即(x+1)2=. (2)方程两边都除以3,得: 移项得:配方得: , .即所以此方程的根为:.思路探究 配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程两边同时加上一次项系数一半的平方.例3 阅读材料

23、解答问题为解方程(x21)25(x21)+4=0我们可以将x21视为一个整体,设x21=y,则(x21)2=y2,原方程化为y25y+4=0(1)解得y1=4,y2=1当y=4时,x21=4, x2=5 , .当y=1时,x21=1, x2=2, x=.原方程的解为:.解答问题:(1)填空:在由原方程得到方程(1)的过程 ,利用 方法达到降次的目地,体现了 的数学思想.(2)解方程:x4x26=0 解析阅读理解,并运用材料中所反映的方法,结论解决问题,这是近年中考中热点题型,解答此例问题的关键是弄懂材料内容.发现材料所揭示的方法或结论.解 (1)换元, 转化, (2)设x2=y,则此方程化为:

24、y2y6=0 解得:y1=3,y2=2又x20 y=3 , 即x2=3 . . 原方程的根是x1=3, x2=. 思路探究 换元,转化的数学思想方法在很多时候是我们解决问题的有效途径.【中考链接】例4 某商店如果将进货为8元的商品每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间的摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,每降价0.5元,其销售量就增加10件.(1)你能帮助店主设计一种方案,使每天的利润达到700元吗?(2)将售价定为每价多少元时,能使这天所获利润最大?最大利润是多少? 解析 本例中售价与销量之间互相关联,设每件销售价提高了x元,则每件利润为(10+x8)=(

25、x+2)元,每天销量减少到(20020x)件,则每一天的利润可用代数式(x+2)(20020x)表示,再据此建立方程或函数模型解答.解: (1)设每件商品提高x元,则每件利润为(10+x8)=(x+2)元,每天销售量为(20020x)件,根据题意可列方程(x+2)(20020x)=700. 整理得:x28x+15=0.解得:x1=3,x2=5. 检验知: x1=3,x2=5均符合题意. 把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元.(2)设每天利润为y元,由(1)中可知:y=(x+2)(20020x)=20(x28x20)=20(x28x+1636)=20(x4)2+72020(x4)

26、20 当x=4时,20(x4)2+720最大,最大值为720.即每件售价为14元时,每天所获利润最大,最大利润为720元.思路探究 通过配方的方法,可以求得一个二次三项式的最大值或最小值.【达标训练】一、选择：1.方程x20.36=0的解是( ) B.0.6 C.±6 D.±0.62.解方程:4x2+8=0的解为( )A.x1=2 x2=2 B. C.x1=4 x2=4 D.此方程无实根3.关于x的一元二次方程2mx2x+m2=0有一根为1,则m的值应为( )A.1,1 B.1 C.1 D.4.方程(x+1)22=0的根是( )A. B. C. D. 5.将方程5x2=2x

27、+10化为二次项系数为1的一般形式是( )A. B. C. D.x22x10=06.方程x2a2=(xa)2(a0)的根是( )A.a B.0 C.1或a D.0或a7.已知关于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m3=0一根为0,另一根不为0,则m的值为( )A.1 B.3 C.1或3 D.以上均不对8.对于方程(ax+b)2=c下列叙述正确的是( )A.不论c为何值,方程均有实数根 B.方程的根是C.当c0时,方程可化为:D.当c=0时,9.若x2mx+是一个完全平方式,则m=( )A.1 B.1 C.±1 D.以上均不对10.方程(x2)2=(32x)2可化为( )A.x2=3

28、2x B.x2=2x3C.x2=32x或x2=2x3 D.以上均不对11.对于二次三项式2x2+4x+5的值,下列叙述正确的是( )A.一定为正数 B.可为正数,也可能为负数C.一定为负数 D.其值的符号与x值有关二、填空：12.方程x2=5的解是 ,方程(x1)2=5的解是 ,方程(3x1)2=5的解是 。13. =(x )2 =(x+ )214.若(2x1)2=1m有实数解,则m1= 。15.一小球以15米/秒的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(米)与时间t(秒)满足关系式:h=15t5t2,当t= 秒时,小球高度为10米,小球所能达到的最大高度为 米.16.已知(x2+y22)(x2+

29、y2)=3,则x2+y2= .17.若a2+b2+a2b+=0 ,则=_.18.将方程化成二次项系数为1的一般形式,则一次项系数是_,常数项是_.19.方程(3x1)2=(2x)2的根是_.20.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元,那么平均每年降低成本的百分率是_.三、解答题:21.解下列方程:5x240=0 (x+1)29=0 (2x+4)216=09(x3)249=0 (3x)2=27 x24x+4=022.把下列方程化为(x+m)2=n的形式.x2+4x=21 t22=2t2x2+3x=1 4y216y=723.你能用配方法解下列方程吗?试试看:x22=4x x2+x+=03x

30、22=4x 2x24x+1=024.在矩形的场地的中央修建一个正方形花坛,花坛四周的面积与花坛面积相等,如果场地的长比花坛的边长多6米,场地的宽比花坛多4米,求矩形场地的长与宽及正方形花坛的边长.25.一建筑工地要用木栏围出一片长方形的安全地带,如图所示,安全区一边靠着建筑物,现有木栏长400米.(1)围出的安全区面积能到达19200平方米吗?能达到20000平方米吗?如果能请给出设计方案;如果不能请说明理由.(2)你能设计出一种方案,使围出的安全区面积最大吗?与同伴交流一下自己的设计方案.26.若方程(2x1)2=a有两不等的实数根,(2x1)2=b有两相等的实根，(2x1)2=c 无实根.

31、试比较a、b、c三数的大小.27.设a、b为实数,求a2+2ab+b24b+5的最小值,并求此时a与b的值.28.如图,一个长为15米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的距离为12米,如果 梯子的顶端下滑了1米,那么梯子的底端也向后滑动1米吗?试列出方程解答此问题,并论证前面的结论.3.3 公式法【重点难点】1能够推导出一元二次方程的求根公式。2会用公式法解简单系数的一元二次方程。【预习导引】方华在学习了一元二次方程及其解法就思考：一个一元二次方程是由其各项的系数确定的，那么它们的解肯定与其系数有关系，于是他写出了二个一元二次方程:（1）x23x4=0;（2）3x24x+1=0.并分别求出它们

32、的解：方程（1）的解为x1=4,x2=1,方程（2）的解为x1=,x2=1.通过尝试他发现：方程（1）中，x1+x2=3=,x1x2=4=;在方程（2）中也有：x1+x2=,x1x2=于是他就猜测:对于一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则，你认为方华的对于一元二次方程两个根与方程系数关系的猜测正确吗？能运用前面学习过的有关一元二次方程知识帮助方华证明吗？不妨与同伴交流一下。点拔 方华同学从两个特殊的方程猜测归纳出一元二次方程根与系数的关系，这种思考问题的方法是数学中一种常见的方法。至于方华的这种猜想是否正确，通过后面学习，大家自然就知道了。【知能互动】1求根公式的推导推导求

33、根公式的过程，实际上就是运用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的过程。a0 可以把方程两边同时除以二次项的系数a，得： 移项得： 配方得：即a0 4a2>0 当b24ac0时，两边开方得：即 这样就得到了一元二次方程的求根公式:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),当b24ac0时，它的根为。2运用求根公式解一元二次方程因为任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，由求根公式表示式可知，它的根由系数a,b,c确定，因此求根时，只需将方程各项的系数分别代入公式即可求出方程的解。对于任何一个一元二次方程并不是都有实数根。因此在运用求根公式之前，应先求b2

34、4ac，当b24ac0时可继续把根求出；当b24ac<0时，由于负数没有平方根，所以方程无解，这时不必代入公式求解了。运用公式解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为一元二次方程一般形式。（2）确定a、b、c的值。（3）求出b24ac的值,确定方程是否有实根.（4）代入求根公式求根。3选择合适的方法解一元二次方程前面学习了用直接开平方法，配方法，公式法解一元二次方程。直接开平方法只能解左边是含未知数的平方式，右边是一个非负数的方程;而公式法是由配方法推导出来的，它比配方法简单，所以选用适当的方法解方程，首先要看方程是含符合直接开平方法的条件，符合条件的就用直接开平方法来解，其它的时候用公式

35、法。例如：方程(2x+1)25=0宜用 求解; 方程2x2+5(2x+1)=0 求解.答案:直接开平方法，公式法.【名题探究】例1运用求根公式解下列方程：（1）5x2=3x (2)x2+2=0 (3)(y1)(y+3)+5=0 解析 运用公式法解一元二次方程应先把一元二次方程化为一般形式，正确确定a、b、c的值；计算出b24ac的值再代入公式求解。（1）中应注意到常数项 c=0.解：（1）移项得：5x23x=0, a=5,b=3,c=0, b24ac=(3)24×5×0=9>0.。 , x2=0。(2)这里a=1,b=,c=2 b24ac=（）24×1

36、15;2=0。 。（3）方程化为一般形式为：y2+2y+2=0. a=1,b=2,c=2, b24ac=224×1×2=4<0。此方程无实根。思路探究 一元二次方程的根可以会出现三种情况：有两不等实根，有两相等实根，无实根。例2选择适当的方法解下列方程:（1）4(3x2)2=36 (2)3x2+5(2x+1)=0 解析 方程（1）变形为(3x2)2=9,根据其特点选择用直接开平方法解。方程无其它这特殊性，故选择用公式法解。解：（1）将原方程化为(3x2)2=9，两边直接开平方得：3x2=±3, 。(2)将原方程整理得：3x2+10x+5=0, a=3,b=1

37、0,c=5, b24ac=1024×3×5=40>0。 。思路探究 结合不同问题的特点，选择适当的方法求解，是煅炼思维灵活性的有效途径，选择的标准是使解答过程简便。例3已知一个直角三角形的两直角边的长恰当方程2x28x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 .A. B.3 C.6 D.9 解析 解答本题,关键是正确求出方程的两根,即得直角三角形的两直角边,然后利用勾股定理求解.解：a=2,b=8,c=7 b24ac=(8)24×2×7=8>0 斜边长为 故选B 思路探究 通过解方程求解是本例的一种解法,在以后的学习中,我们还可以运用根与

38、系数的关系求解.【中考链接】例4 先从括号内备选项中选出合适的一项,填在横线上,将题目补充完整后再解答.(1)如果a是关于x的方程x2+bx+a=0的根,并且a0,求 的值.(ab a+b ab)(2)已知7x2+5y2=12xy,并且xy0,求 的值.(xy x+y xy 解析 (1)把x=a代入方程x2+bx+a=0中,得到a2+ab+a=0,因为a0,所以a+b+1=0,即a+b=1因此可以求出a+b的值;(2)7x2+5y2=12xy可变为7x212xy+5y2=0,因而可求得x与y之间的关系,从而能确定求出哪一个式子的值. 思路探究 留空回填，完善试题，是近年中考试题的创新亮点处。解

39、答这类问题应着眼于题设条件，通过推导分析等，看从中能推出何种结果。【达标训练】一、选择:1方程2x(x3)=5(x3)的根为( )A. B.x=3 C. D.2.若代数式4x22x5与2x2+1的值互为相反数,则x的值为( )A.1或 B.1或 C.1或 D.1或3.利用求根公式求的根时,a,b,c的值分别是( )A.5, ,6 B.5,6, C.5,6, D.5,6, 4.方程(x1)(x5)=1的两个根等于( )A.x1=5,x21 B.x1=6,x2=2C.x1= D.5.对于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列叙述正确的是( )A.方程总有两个实数根 B.只有当b24ac0时,才有两

40、实根C.当b24ac<0时,方程只有一个实根; D.当b24ac=0时,方程无实根6.如果分式的值为0,则x值为( )A.3或1 B.3 C.1 D.1或37.一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数,则这个直角三角形三边的长分别是( )A.2、4、6 B.4、6、8 C.6、8、10 D.3、4、58.已知关于x的一元二次方程的一个根是0,则m的值为( )A. B. C. D.不能求出9.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x25x+3=0的根,则这个三角形的周长是( )A.4 B. C.4或 D.不存在10.已知x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则=b24ac与M=（

41、2ax0+b2）的关系是( )A.>M B.=M C.<M D.不能确定二、填空：11.把化成ax2+bx+c=0(a0)的形式后,则a= ,b= ,c= .12.当x= 时,既是最简根式又是同类根式.13.请写出一个一元二次方程,使其一根为1,你写的方程是 .14.若分式的值为0,则x= .15.已知(x2+y2+1)2=4,则x2+y2= .16.方程x2=|x|的根是 .三、解答题:17.解方程,有一位同学解答如下:解:这里a=,b=,c= b24ac=(请你分析以上解答有无错误,如有错误,指出错误的地方,并写出正确的结果.18.用适当的方法解下列方程:(1) (2) (3)

42、(y3)218=0 (4)19.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了210次手,你能根据上述提供的信息求出参加此次会议的有多少人吗?20.要建一个面积为150m2的长方形养猪场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一堵墙,墙长为a米,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆长为35米(1)你能求出鸡场的长与宽吗?试试看;(2)题中的墙的长度a对解题有什么作用.2.4 分解因式法【本节必学】1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.2.会用分解因式法(提取公因式法,公式法)解某些简单系数的一元二次方程.【预习导引】对于方程3(x2)2=2x,张

43、明的解法如下:解:方程整理得:3(x2)2=(x2) 方程两边同时除以(x2)得:3(x2)=1 去括号得:3x6=1 移项并合并同类项得,3x=5 你认为张明解方程的过程有错误吗?如果有,请指出错在哪一步?并说明错误的原因.你能解这个方程吗?并与同伴交流自己的心得.点拔 张明在解方程的过程中,在方程两边同时除以一个含有未知数的代数式(x2),这样得到的方程与原方程不一定是同解方程.因为含有未知数的代数式的值可能是0,这时变形的过程就是在方程左右两边同时除以0了,正确的解法应是:3(x2)2+(x2)=0,(x2)3(x2)+1=0 (x2)(3x5)=0 x2=0或3x5=0 x1=2,x2

44、=.这也就是本节学习的一元二次方程的一种解法分解因式法.知能互动1.因式分解法解一元二次方程的根据如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,反过来,如果两个因式中有一个因式为0那么它们之积为0.例如:(2x1)(3x)=0,则2x1=0或3x=0 (27x)(5x3)=0,则 _ 或 _ (答案：27x=0 5x3=0)2.因式分解法解一元二次方程的方法及步骤:解方程或方程组的思想方法是:消元和降次,解一元二次方程不存在消元的问题,而是需要降次,将二次转化为一次,因式分解法能帮助我们实现这一目标.用因式分解法解一元二次方程,一定要把方程化为右边为0,而左边为两个关于未知数的一次因式

45、之积的形式.例如:一元二次方程(2x1)(3x)=0可转化为 , 两个一元一次方程.如方程(2x1)(3x)=2化为2x1=1或是错误的.分解因式法解一元二次方程的步骤为:(1)将方程的右边化为0;(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积;(3)令每个因式为0,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程得原方程的解.(2x1=0,3x=0)3.选择适当的方法解一元二次方程.根据方程的不同特点,选择合适的方法解方程,可以使计算简便,效率提高.选择解法的思路是:先特殊后一般.选择解法的顺序是:直接开平方法因式分解法公式法或配方法.配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项

46、系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.【名题探究】例1.用因式分解法解下列方程:(1)(2x1)2+3(12x)=0 (2)(13x)2=16(2x+3)2 (3)x2+6x7=0 解析 (1)经过变形可以用提取公因式法;(2)经过变形可以用平方差公式分解法因式;(3)方程为一般形式,尝试用十字相乘法.解: (1)原方程变形为：(2x1)23(2x1)=0 (2x1)(2x1)3=0 ， 2x1=0或(2x1)3=0。 x1= x2=2。(2)原方程变形为(13x)24(2x+3)2=0， (13x)+4(2x+3)(13x)4(2x3)=0即(13+5x)

47、(11x+11)=0 x2=1(3)原方程化为（x7）(x+1)=0 x1=7 x2=1思路探究 用因式分解法解一元二次方程,关键是把方程化为左边为关于未知数的一次因式之积,右边为0的形式.例2:用适当的方法解一元二次方程(1)(2x3)2=9(2x+3)2 (2)x28x+6=0(3)(x+2)(x1)=10 (4)2x25x2=0 解析 (1)方程两边为完全平方式,可以移项使方程一边为0,另一边用平方差公式分解因式,因而可用因式分解法来解,但运用直接开平方法解更简便.(2)方程是一般形式,且不易用因式分解法解,可以考虑用公式法解,但此题的二次项系数为1,一次项系数为偶数,用配方法解更简便.

48、(3)不经过变形,无”法”可解,先将其化为一般形式,再观察其特征选择解法.(4)不宜用直接开平方法,因式分解法,就用公式法求解.解 (1)方程两边开平方,得:2x3=±3(2x+3) 2x3=3(2x+3)或2x3=3(2x+3)解这两个一元一次方程得,x1=3,x2=。(2)移项得:x28x=6 配方得:x28x+16=6+16 (x4)2=10 x4=±x4=± 或x4= x1= x2= (3)将原方程化为一般形式,得x2+x12=0， (x3)(x+4)=0， x3+0或x+4=0，x1=3或x2=4。(4)将方程化为一般形式,得:2x25x2=0 b24ac=(5)24×2×(2)=41。x= 。思路探究 在解一元二次