世纪金榜2016高中数学 精讲优练课型 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换(二)课件 新人教版必修4

1、3.23.2简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换( (二二) )【题型探究题型探究】类型一类型一 三角恒等变换的综合应用三角恒等变换的综合应用【典例典例】1.1.已知已知 且且x x，y y为锐角，为锐角，则则sin(x+y)sin(x+y)的值是的值是( () )A.1A.1B.-1B.-1 C.C.D.D.2.2.化简：化简： _. _.22sin xsin ycos xcos y33 ，13122sin(1802 )cos1cos 2cos(90) 3.(20153.(2015衡水高一检测衡水高一检测) )已知已知 (1)(1)求求sinsin的值的值. .(2)(2)求求的值的值. .

2、120tancos().22210 ，【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，由中，由 如何如何求解此题？求解此题？提示：提示：两式相加得两式相加得sinx+cosx=siny+cosysinx+cosx=siny+cosy求解求解. .2.2.典例典例2 2中，首先用什么公式化简？中，首先用什么公式化简？提示：提示：先用诱导公式化简先用诱导公式化简. .3. 3. 存在怎样的关系？所求角存在怎样的关系？所求角与已知角与已知角-的关系是什的关系是什么？么？提示：提示： 22sin xsin ycos xcos y33 ，sintan2与22tan2sin().1tan2 ，【解析解析】1

3、.1.选选A.A.两式相加得两式相加得sinx+cosx=siny+cosysinx+cosx=siny+cosy，所以所以 因为因为x x，y y为锐角，且为锐角，且sinx-siny0sinx-siny0，所以，所以xyxy，所以所以 所以所以sin(x+y)=1.sin(x+y)=1.2.2.原式原式 答案：答案：coscossin(x)sin(y)44，x(y)xy442 ，所以，2( sin 2 ) cos(1cos 2sin） （）222sincoscoscos .2cossin3.(1)3.(1)因为因为 所以所以 1tan22，sin2sincos22 2222sincos2t

4、an222sincos1tan22221242.151( )2(2)(2)因为因为 所以所以 所以所以 430sincos.255 ，所以200.cos()210 又，所以由，987 2sin()1010 ，sinsin() sin()coscos()sin7 232425 22.1051055023.24 由得【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法) )若典例若典例1 1中的条件不变，求中的条件不变，求tan(x-y)tan(x-y)的值？的值？【解析解析】由已知由已知 得得相加得相加得 且且x x，y y均为锐角，均为锐角，所以所以 所以所以 22sin xsin ycos xc

5、os y33 ，22224sin x2sin xsin ysin y94cos x2cos xcos ycos y9，5cos xy9，2 14sin xy9 ，2 14tan xy.5 2.(2.(变换条件变换条件) )若典例若典例1 1中条件变为中条件变为“cosxcosy+sinxsiny= cosxcosy+sinxsiny= ， ” ”，则结论如何？，则结论如何？【解析解析】因为因为 所以所以 所以所以 122sin 2xsin 2y31cos xcos ysin xsin y2，1cos xysin 2xsin 2y2，22sin xy cos xy3，2sin xy.3【方法技巧

6、方法技巧】三角恒等变换的三个步骤三角恒等变换的三个步骤【补偿训练补偿训练】1.(20151.(2015孝感高一检测孝感高一检测) =() =() )A.-2A.-2 B.2 B.2 C.-1 C.-1 D.1 D.1【解析解析】选选D.D.2tan() cos 242cos ()422tan() cos 2sin() cos 2442cos ()2sin ()cos()444cos 2cos 22sin()cos()sin 2()444cos 2cos 21.cos 2sin(2 )2 2.(20152.(2015长春高一检测长春高一检测) )已知已知 (1)(1)求求tanxtanx的值的值

7、. .(2)(2)求求 的值的值. .xxsin2cos0.22cos 2x2cos(x) sin x4【解析解析】(1)(1)由由 所以所以 (2)(2)因为因为 所以原式所以原式 xxxsin2cos0tan2222，得，22x2tan2 242tan x.x1 231tan2 cos 2xsin(2x)2sin(x)cos(x)244，2sin (x)cos (x)sin xcos x44sin x2cos(x) sin x413111().tan x44 类型二类型二 与三角函数性质有关的问题与三角函数性质有关的问题【典例典例】1.1.函数函数 的最小正周期是的最小正周期是( () )

8、A.1A.1 B.2 B.2 C.2 C.2 D.4 D.42.(20152.(2015吉林高一检测吉林高一检测) )已知函数已知函数 (1)(1)求求f(x)f(x)的单调递减区间的单调递减区间. .(2)(2)若若f(x)f(x)在区间在区间 上的最大值与最小值的和为上的最大值与最小值的和为 ，求，求a a的值的值. .11ysinxcosx22 2f x3sin xcos xcos xa.6 3 ，2【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，形如中，形如y=Asin(x+y=Asin(x+) )的最小正周期是什么？的最小正周期是什么？提示：提示：形如形如y=Asin(x+y=Asin

9、(x+) )的最小正周期是的最小正周期是 2.2.典例典例2 2中，为求已知函数的单调递减区间和最大、最小值，首先要中，为求已知函数的单调递减区间和最大、最小值，首先要将函数化为何种形式？将函数化为何种形式？提示：提示：首先要将已知函数化为首先要将已知函数化为y=Asin(x+y=Asin(x+)+m)+m的形式的形式. .2T.|【解析解析】1.1.选选B.B.因为函数因为函数所以函数的最小正周期是所以函数的最小正周期是 11111ysinx cosxsin(2x)sin x22222 ，2T2.2.(1)2.(1)因为因为 由由 得得 故函数故函数f(x)f(x)的单调递减区间是的单调递减

10、区间是 (kZ).(kZ). 31 cos 2xf xsin 2xa221sin (2x)a62，32k2x2kkZ262 ，2kxkkZ63 ，2kk63 ，(2)(2)因为因为 所以所以 因为函数因为函数f(x)f(x)在在 上的最大值与最小值的和为上的最大值与最小值的和为 所以所以a=0.a=0.x63，512xsin (2x)1.66626，6 3 ，1113(1 a)(a)2222 ，【延伸探究延伸探究】典例典例2 2条件不变，求图象的对称中心条件不变，求图象的对称中心. .【解析解析】由由 则则 对称中心为对称中心为 kZ. kZ.2xkkZ6 ，1xkkZ212，11ka2122

11、（，），【方法技巧方法技巧】应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤【变式训练变式训练】(2015(2015北京高考北京高考) )已知函数已知函数 (1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)求求f(x)f(x)在区间在区间-，00上的最小值上的最小值. . 2xxxf x2sincos 2sin .222【解析解析】(1)(1)最小正周期为最小正周期为2.2.(2)(2)由即由即f(x)f(x)取取最小值最小值 21 cos xf xsin x222222(sin xcos x)2222sin(x)42，3x0 x.x4444

12、2 ， 得，当3x4 ，时21.2 【补偿训练补偿训练】设函数设函数(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程的最小正周期及其图象的对称轴方程. .(2)(2)将函数将函数f(x)f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)g(x)的图象，的图象，求求g(x)g(x)在区间上的值域在区间上的值域. . 2233f xsin(2x)sin xcos x.3336 3 ，【解析解析】(1)(1)所以所以f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为令令得对称轴方程为得对称轴方程为 133f xsin 2xcos 2xcos 2x22313

13、3sin 2xcos 2xsin(2x)2636，2T.2 2xk(kZ)62 ，kx(kZ).26(2)(2)将函数将函数f(x)f(x)的图象向右平移个单位长度，的图象向右平移个单位长度，得到函数得到函数的图象的图象. .即即当当得所以得所以即函数即函数g(x)g(x)在区间上的值域是在区间上的值域是 3g xsin 2(x)3363cos 2x3 3g xcos 2x3 ，2x2x6 333 ，时1cos 2x12 ，333cos 2x336 ，6 3 ，33.36，类型三类型三 三角变换与向量交汇命题问题三角变换与向量交汇命题问题角度角度1 1：三角变换与向量垂直交汇问题：三角变换与向

14、量垂直交汇问题【典例典例】(2015(2015黄石高一检测黄石高一检测) )已知向量已知向量向量向量m=(2=(2，1)1)，n=(0=(0，- )- )，且，且m(- -n).).(1)(1)求向量求向量. .(2)(2)若若cos(-)=cos(-)=，00，求，求cos(2-).cos(2-).OA(cossin )(0 ) ， ，OAOA2105【解题探究解题探究】看到看到m(- -n) )，想到什么？，想到什么？提示：提示：由由m(- -n) )想到想到m(- -n)=0.)=0.OAOAOA【解析解析】(1)(1)因为因为=(cos=(cos，sin)sin)，所以所以- -n=(

15、cos=(cos，sin+sin+) )，因为因为m(- -n) )，所以，所以m( (- -n)=0)=0，即即2cos+(sin+2cos+(sin+)=0)=0，又又sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，由联立解得由联立解得所以所以= =OAOAOAOA2 55cossin55 ，OA2 55().55，(2)(2)因为因为又因为又因为00，所以，所以又因为又因为所以所以22cos()cos.1010 ，所以7 2sin.102 ，且52 54sin 22sin cos2 () ()555 ，243cos 22cos12155 ，3247 225 22cos(2)cos 2

16、cossin 2 sin().510510502 角度角度2 2：三角变换与向量模的交汇命题：三角变换与向量模的交汇命题【典例典例】(2015(2015衡水高一检测衡水高一检测) )已知向量已知向量a=(cos=(cos，sin)sin)，b=(cos=(cos，sin)sin)，| |a- -b|=|=. .(1)(1)求求cos(-)cos(-)的值的值. .(2)(2)若且若且sin=sin=，求，求sinsin的值的值. .2 55022 ，513【解题探究解题探究】向量模的问题的解题思路是什么？本题中对向量模的问题的解题思路是什么？本题中对| |a- -b|=|=如如何处理？何处理？

17、提示：提示：遇到向量模的问题的思路是遇到向量模的问题的思路是| |a| |2 2= =a2 2，本题可将，本题可将| |a- -b|=|=两两边平方求解边平方求解. .2 552 55【解析解析】(1)(1)因为因为| |a- -b|=|=，所以，所以a2 2-2-2ab+ +b2 2= =，将向量，将向量a=(cos=(cos，sin)sin)，b=(cos=(cos，sin)sin)代入上式得代入上式得1 12 2- -2(coscos+sinsin)+12(coscos+sinsin)+12 2= =，所以，所以cos(-)=cos(-)=. .(2)(2)因为因为- -00，所以，所以

18、0-0-x0yx0，(1)(1)将十字形的面积将十字形的面积S S表示为表示为的函数的函数. .(2)(2)求十字形的面积最大值求十字形的面积最大值. . 222(1)S2xyx2sin coscos().422 S2sin coscos151sin 2(1cos 2 )sin(2)2221tan02244242sin(2)1251S.2 ，其中，故 ，因【 ，所以 ，所以，最大，最大值解析】为当时为规范解答规范解答 三角函数性质的综合应用三角函数性质的综合应用【典例典例】(12(12分分)(2015)(2015中山高一检测中山高一检测) )已知函数已知函数 (1)(1)当当m=0m=0时，求

19、时，求f(x)f(x)在区间在区间 上的取值范围上的取值范围. .(2)(2)当当 求求m m的值的值. . 21f x(1)sin xmsin(x)sin(x).tan x44384，3tan2f( )5 ，时【审题指导审题指导】(1)(1)要求当要求当m=0m=0时，时，f(x)f(x)在区间在区间 上的取值范围，上的取值范围，只需要将只需要将 化成化成f(x)=Asin(x+f(x)=Asin(x+)+k)+k的形式的形式. .(2)(2)要求要求m m的值，只需要利用的值，只需要利用tan=2tan=2时，时，f()= f()= 建立关系求解建立关系求解. .384， 2cos xf x1sin xsin x（）【规范解答规范解答】(1)(1)当当m=0m=0时，时， =sin=sin2 2x+sinxcosxx+sinxcosx 33分分由已知由已知 2cos xf x(1)sin xsin x1 cos 2xsin 2x212sin(2x)124，3x84，得得 44分分所以所以 55分分从而得从而得f(x)f(x)的值域为的值域为 6 6分分52x044，2sin(2x)142 ，120.2，(2)