专训2　探究二次函数中存在性问题

1、.专训2探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵敏，求解时常常要猜测或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案常见的类型有：探究与特殊几何图形有关的存在性问题，探究与周长有关的存在性问题，探究与面积有关的存在性问题 探究与特殊几何图形有关的存在性问题1【中考·内江】如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxca0与y轴交于点C0，3，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为4，0，抛物线的对称轴方程为x1.1求抛物线对应的函数解析式2点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单

2、位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停顿运动，设MBN的面积为S，点M的运动时间为ts，试求S与t的函数关系式，并求S的最大值3在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使MBN为直角三角形？假设存在，求出t值；假设不存在，请说明理由第1题 探究与周长有关的存在性问题2如图，在直角坐标系中，点A的坐标为2，0，OBOA，且AOB120°.1求点B的坐标2求经过A，O，B三点的抛物线的表达式3在2中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，请说明理由第2题

3、探究与面积有关的存在性问题3【中考·深圳】如图，抛物线yax2bx2经过点A1，0，B4，0，交y轴于点C.1求抛物线对应的函数解析式用一般式表示2点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使SABCSABD？假设存在，请直接写出点D的坐标；假设不存在，请说明理由3将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长【导学号：89274026】第3题答案1解：1点B的坐标为4，0，抛物线的对称轴方程为x1，A2，0把点A2，0，B4，0，C0，3的坐标分别代入yax2bxca0，得解得该抛物线对应的函数解析式为yx2x3.2由题意得AM3t，BNt.MB 63t

4、.点C的坐标为0，3，点B的坐标为4，0，OC3，OB4.在RtBOC中，BC5.过点N作NHAB于点H.NHCO，BHNBOC，即，HNt.SMB·HN63t·tt2tt12，又易知0t2，当t1时，S最大值.3存在在RtOBC中，cosOBC.当MNB90°时，cosMBN，即，化简，得17t24，解得t.当BMN90°时，cosMBN，即，化简，得19t30，解得t.综上所述，当t或t时，MBN为直角三角形2解：1如图，过点B作BDy轴于点D，那么BOD120°90°30°.由A2，0可得OA2，OB2.于是在RtBO

5、D中，易得BD1，OD.点B的坐标为1，2由抛物线经过点A2，0，O0，0可设抛物线的表达式为yaxx2，将点B的坐标1，代入，得a，因此所求抛物线的表达式为yx2x.第2题3存在如图，易知抛物线的对称轴是直线x1，当点C是抛物线的对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小设直线AB的表达式为ykxb，那么解得yx.当x1时，y，因此点C的坐标为.3解：1抛物线yax2bx2经过点A1，0，B4，0，解得抛物线对应的函数解析式为yx2x2.2存在满足条件的点D，其坐标为1，3或2，3或5，33AO1，OC2，OB4，AB5，AC，BC2.AC2BC2AB2.ABC为直角三角形，且BCAC.如图，设直线AC与直线BE交于点F，过点F作FMx轴于点M，由题意可知FBC45°，CFB45°，CFBC2，由题易知，即，解得OM2.又由题易知，即，解得FM6，