专题训练(二)　二次函数与几何的综合问题

1、.专题训练二二次函数与几何的综合问题 类型一二次函数与三角形的结合1如图6ZT1，直线l过A4，0和B0，4两点，它与二次函数yax2的图象在第一象限内相交于点P，假设SAOP，求二次函数的表达式图6ZT12如图6ZT2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc与x轴相交于点A1，0和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x1.1求点C的坐标用含a的代数式表示；2连接AC，BC，假设ABC的面积为6，求此抛物线的表达式图6ZT2类型二二次函数与平行四边形的结合3如图6ZT3，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线yax2bxc，点A，B，D的坐标分别为2，0，3，0，0，4求抛物

2、线的表达式图6ZT3类型三二次函数与特殊平行四边形的结合4如图6ZT4，直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线yax22k经过点A，B，且与x轴交于另一点C，其顶点为P.1求a，k的值；2抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；3在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长图6ZT452019·邵阳如图6ZT5所示，顶点坐标为，的抛物线yax2bxc过点M2，01求抛物线的表达式；2点A是抛物线与x轴的交点不与点M重合，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线yx1上一点位于x轴下方，点D是反

3、比例函数yk>0图象上一点假设以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值图6ZT5类型四二次函数与几何变换的综合6如图6ZT6所示，抛物线E：y2x24x，将其向右平移2个单位长度后得到抛物线F.1求抛物线F的表达式；2设抛物线F和x轴相交于点O，B点B位于点O的右侧，顶点为C，点A位于y轴的负半轴上，且到x轴的间隔 等于点C到x轴的间隔 的2倍，求AB所在直线的表达式图6ZT67二次函数y2x24xk1.1当二次函数的图象与x轴有交点时，求k的取值范围；2假设Ax1，0与Bx2，0是二次函数图象上的两个点，且当xx1x2时，y6，求二次函数的表达式，并在所提供的直角坐标系中画出它

4、的大致图象；3在2的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线yxmm<3与新图象有两个公共点，且m为整数时，求m的值图6ZT7详解详析1解：设直线l的表达式为ykxb.直线l过点A4，0，B0，4，yx4.设点P的纵坐标为yP，SAOP，×4·yP，yP，x4，解得x，点P的坐标为，把代入yax2，解得a，二次函数的表达式为yx2.2解：1抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为1，0，抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为3，0设抛物线的表达式为yax1x3，即yax22ax3a，当x0时，

5、y3a，C0，3a2由1可得AB4，OC3a，SABCAB·OC6a，6a6，解得a1，抛物线的表达式为yx22x3.3解：由题意可得点C的坐标为5，4把2，0，0，4，5，4代入yax2bxc中，得解得抛物线的表达式为yx2x4.4解：1直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A，B，A1，0，B0，3又抛物线yax22k经过点A1，0，B0，3，解得即a，k的值分别为1，1.2设点Q的坐标为2，m，对称轴x2交x轴于点F，过点B作BE直线x2于点E.在RtAQF中，AQ2AF2QF21m2.在RtBQE中，BQ2BE2EQ243m2.AQBQ，1m243m2，m2.点Q的坐标为2，23

6、当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，AC应为正方形的对角线又对称轴直线x2是线段AC的垂直平分线，点M与顶点P2，1重合，点N为点P关于x轴的对称点，其坐标为2，1此时，MFNFAFCF1，且ACMN，四边形AMCN为正方形在RtAFN中，AN，即正方形的边长为.5解：1依题意可设抛物线的表达式为yax2，将点M2，0代入可得a1，抛物线的表达式为yx2x2x2.2当y0时，x2x20，解得x11，x22，A1，0当x0时，y2，B0，2在RtOAB中，OA1，OB2，AB.设直线yx1与y轴的交点为点G，易求G0，1，RtAOG为等腰直角三角形，AGO45°.点D是反比例函数yk

7、0图象上一点，点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：此菱形以AB为边且AC也为边，如图所示，过点D作DNy轴于点N.在RtBDN中，DBNAGO45°，DNBN，D，2点D在y的图象上，k·2.此菱形以AB为对角线，如图所示，作AB的垂直平分线CD交直线yx1于点C，交y的图象于点D，再分别过点D，B作DEx轴于点F，BEy轴，DE与BE相交于点E.在RtBDE中，同可证AGODBOBDE45°，BEDE.可设点D的坐标为x，x2BE2DE2BD2，BDBEx.四边形ACBD是菱形，ADBDx.在RtADF中，AD2AF2DF2，即x2x1

8、2x22，解得x.点D的坐标为，点D在y的图象上，k.综上所述，k的值为或.6解：1方法一：原抛物线y2x24x2x122，其顶点坐标为1，2，向右平移2个单位长度后抛物线F的顶点坐标为1，2，抛物线F的表达式为y2x122，即y2x24x.方法二：当y0时，即2x24x0，解得x0或x2，原抛物线与x轴的交点坐标为2，0和0，0平移后抛物线F与x轴的交点坐标为0，0和2，0，抛物线F的表达式为y2xx2，即y2x24x.方法三：根据抛物线平移之间的关系，可得抛物线F的表达式为y2x224x22x24x.方法四：抛物线E与抛物线F关于y轴对称，抛物线F的表达式为y2x24x2x24x.2抛物线

9、F的表达式为y2x24x2x122，顶点C的坐标为1，2当y0时，2x24x0，解得x0或x2，点B的坐标为2，0设点A的坐标为0，y，且y<0.点A到x轴的间隔 等于点C到x轴的间隔 的2倍，y2×2，解得y4，点A的坐标为0，4设AB所在直线的表达式为ykxb.由题意，得解得AB所在直线的表达式为y2x4.7解：1二次函数的图象与x轴有交点，b24ac0，即424×2×k10，解得k3.2二次函数y2x24xk1图象的对称轴为直线x1，x1x22×12，当x2时，y6，即2×224×2k16，解得k5，二次函数的表达式为y2x2