几种由递推式求数列通项的方法介绍

1、几种由递推式求数列通项的方法1 an+1 =an +f(n)型- an-1= f (n -1)anan-1 - an-2= f (n - 2)a3 - a2 = （f 2）a2 - a1 = （f 1）所以各式相加得an = a1 + （f 1）+（f 2）+? +f (n - 2) + f (n -1)即n-1an = a1 + å （f k）k =12 an+1 =an * f(n) 型同 1an+1 =an +f(n)型的处理情况我们得到an = a1 * （f 1）*（f 2）f (n - 2)* f (n -1)即n-1an = a1 Õ （f k）k =13 a

2、n+1 = pan + q( p, q为常数)型当 p0 或 1 时的情况很简单，略。q当 p1 且p0 时，令a - x = p(a - x) ，则 x =n+1n1- p即an+1 - 1- p所以() ，由此我们构造了一个等比数列。1- pnan = (a1 - 1- p1- p4 an+1 = p(n)an + q(n)型其实前三种情况都可以看作an+1 = p(n)an + q(n)型的一个特例用常数替代了其中的p(n) 或 q(n) 。因此只要这种情况掌握了前三种就基本上没问题了。之所以来讲，是因为前三种在高是比较常见的。如果对任意的 n 都有 p(n) 0，则我们可以对它进行如下

3、处理;将an+1 = p(n)an + q(n) 两边同时除以 p(1)* p(2)*p(n-1)p(n)得p(n)an + q(n)an+1=p(1) p(2)p(n -1) p(n)p(1) p(2)p(n -1) p(n)anq(n)=+p(n -1)p(1) p(2)p(n -1) p(n)p(1) p(2)构造新数列anq(n)b =，并且令 f (n) =np(1) * p(2)*p(n-1)p(1) * p(2)*p(n-1)p(n）则有bn+1 = bn + f (n)到此我们就发现数列bn 刚好是第一种类型的，因此可以求出bn 然后就可以得到anbn ×p(1) *

4、 p(2) *p(n-1)几种由递推式求数列通项的方法5 an+1 + pan + qan-1 = 0与an+1 + pan + qan-1（r r ¹ 0)这两者在结构上是相同的，只要我们解决了前一个，后一个也就没问题了。对于第一个大家可能都已经知道就是用特征方程的方法去解。这里就不详细了。（1）即an+1 + pan + qan-1 = 0 的特征方程是 x + px + q = 0 ，设其两根为a，b21）当ab 时， a = a a+ (n -1)(a - a a)an-1n-2n121= a2 - a1b a n-1 - a2 - a1a b n-12) 当a ¹

5、 b 时， ana - ba - b可以对其做一下简化，1）当ab 时，令a = ( A + Bn)a n-1 ，然后利用数列的前两项就可以求出待定n的系数 A，B.2) 当a ¹ b 时,令 a = Aa n-1 + Bb n-1 ，同理可求 A,B。n（2）对于an+1 + pan + qan-1r 做这样的处理，令(an+1 - x) + p(an - x) + q(an-1 - x) = 0则 x(1+ p + q) = rr1）当1+ p + q ¹ 0 时， x，构造新数列b = a - x1+ p + qnn则有bn+1 + pbn + q = 0 ，利用an

6、+1 + pan + qan-1 = 0 型将bn 求出即可以得到 an = bn + x 。2）当1+ p + q0 ，由于 r0，所以 x 的值不。但此时有 p（1+q）代入原等式得 an+1 - (1+ q)an + qan-1 = r Þ (an+1 - an ) - q(an - an-1 ) = r令(an+1 - an - y) - q(an - an-1 - y) = 0 ，则 y（1q）rr当 1q0 则 y =1- q若令数列bn = an - an-1 - y ，则bn+1 = qbn ，为等比数列可以求出bn我们假设求出得bn f(n)，则 an = an-1

7、 + y + bn = an-1 + y + f (n)即 an = an-1 + g(n) ，其中 g（n）y+f（n）,l 利用第一种类型可以解决当 1q0，即 q1 时，y 此时无解，但此时有 p（1+q）2， 原式子即为 an+1 - 2an + an-1 = r Þ (an+1 - an ) - (an - an-1 ) = r所以数列 an - an-1 为等差数列,求出 an - an-1 ,仍然可以利用第一种类型来求出anpan + q6. a =n+1ra + sn这种类型可以应用不动点法,即令x= px+q ,其两根设为a , b .则有rx+sq - sa =

8、-a（p - ra）, q - sb = -b（p - rb）(1)当a b 时aaa）a - aapa + q（p - r）a +（q - s）（p - r（p - r）a - a =- a =nnn=n+1ra + sra + srannn（p - ra）（an - a）1=ran + span + q - b =（p - rb）an +（q - sb）=（p - rb）an - b（p - rb）a - b =n+1ra + sra + srann（p - rb）（an - b）2=ran + sa - a1,2 想比得 n+1（p - ra）（a - a= an - a）=n,构造数列

9、b为等比数列,得解a - b（p - rb）（a - ba - bn）n+1nnp -r(2)当a = b 时,有定理知, 2a =s = p - ra- a =（p - ra）（an - a）Þran + s11=*由(1)知aa - a （p - ra）（a - a）n+1ra + snn+1nra + sp - ra11r1=（r +）=（r +）=（p - ra） （an - a） （p - ra） （an - a） （p - ra） an - a11r1=+,构造c =即为等差数列,得解.- aa - a （p - ra）na - aan+1nn7 a= f (n)ak与a= Aak al (A为常数）n+1 nn+1nn+2这两类根据题目可以化为对数类型,然后应用上面的方法就可以解决.第一个可以化为lna = ln ak + ln f (n) Þ lna= k lna + ln f (n) ,利用第三种数列解nn+1n+1n第二个可以化为ln an+2 = k ln an+1 + l ln an + ln A ,利用第四种数列解.= pan + qbnìan+18. 一次联立递推式í