实对称矩阵正定、半正定的简易判别

1、1. 引言12. 实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法 12.1 实对称矩阵的几个定义 12.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法：12.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。 32.3.1 n阶实对称矩阵 A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E訂42.3.2 n元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数9等于n。52.4 实对称矩阵A半正定的几个充分必要条件6 L 52.4.1 二次型 f xX2,，xn = xT Ax，其中 AT = A， f xx?,，xn 半正定。.52.4.2 n阶实对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。52.4.3

2、n阶对称矩阵 A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。 52.4.4 实对称矩阵A的所有主子式皆大于或等于零。 52.4.5 有实矩阵C使A =C TC，则A半正定。 5飞0l2.4.6 n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵合同。.50 03. 利用合同变换原理推出的降阶法1判别实对称矩阵的正定与半正定。 54. 实对称正定矩阵的另一个充分必要条件 85. 实对称矩阵为正定的充分性的判别法 96. 实对称矩阵半正定的一个新依据 117.实对称矩阵的一个简单应用 13参考文献16致谢171实对称矩阵正定、半正定的简易判别摘 要：实对称矩阵是矩

3、阵论中的一个重要概念，不仅在高等代数中有着重 要的应用，在其他课程里，如计算机、医学成像，空间二次曲面等领域中也有重 要应用。为了更好地用实对称矩阵来解决问题，本文主要讨论实对称矩阵正定性、半正定性的若干判别方法和简单应用，并对其做进一步的探讨。关键词：实对称矩阵，正定，半正定，二次型，简易判别。Real symmetric matrix positive definite, positive semidefinite TheDiscriminantN umber of classes of the 0701 Wang ChunmiaoTutor: CaoChunjuanAbstract: T

4、he real symmetric matrix is an important concept in matrix theory, not only in adva need algebra has importa nt applicati ons in other curriculum, such as computer, medical imaging, space and other areas of the second surface also has important applications. In order to better use the real symmetric

5、 matrix to solve the problem, this paper focuses on real symmetric matrix positive definite, semi-positive definite identification methods and a number of simple applications, and its further discussi on.Key words: real symmetric matrix, positive definite, positive semidefinite, quadratic, simple di

6、scrim in ati on.31引言实对称矩阵正定、半正定的判别问题，实际上就是二次型函数 xtax的正 定性、半 正定性 的判别问题,因此我们也 可把问题转化到判 断二次 型函数 xtax的正定性、半正定性的问题。或者也可以根据其他方法如合同变换等来 判别。目前，实对称矩阵正定性、半正定性的判别已有多种方法，方法有繁有易。 由于判断一个实对称矩阵为正定、 半正定在实际工作中是很有必要。本文将列举 一些比较简易的判别实对称矩阵正定性、半正定性的方法，对其中一部分判别方 法进行证明，并加以举例说明。2实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法2.1实对称矩阵的几个定义3丨定义1：设f Xi，X2,

7、，Xn是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数Ci,C2 .Cn，如果有f Ci,C2,Cn >0，那么f XiX, X 称为正定。定义2 :设f Xi，X2,，Xn是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数Ci，C2 .Cn，如果有f Ci，C2,Cn _ 0，那么f X-X?, X 称为半正定。定义 3：设二次型 f Xi,X2，Xn XAX，其中 = A ,若 f Xi,X2，Xn 正 定或半正定，则A称为正定或半正定矩阵。定义4：合同变换的定义：设A,BFnn如果存在非奇异矩阵pFn n，使得B =PTAP则称A和B合同，这种变换称为合同变换。对称矩阵经合同变换后仍 为对称矩阵。2

8、.2实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法：在实际应用和理论研究中，判别一个实对称矩阵是否正定是很重要的。到目 前为止，判别一个实对称矩阵A= aj ，aj均为实数， a =a, ,i, j =1/' n为正定 的充分必要条件有下列四种方法2 ：1 A的所有特征值都大于0.2 A的L LT分解存在,其中L是F三角形矩阵，LT是L的转置矩阵，I ii =1 i =1,2, n是L的主对角线元素,且IH >0 .3 A的LQL：分解存在,其中L!是F三角形矩阵，I ii =1 i =1,2，n 是L的主对角线元素，D是以dH >0 i =1,2，n为主对角线元素的对角线矩阵

9、。4在不选主元素的高斯消去法中，A的主元素都大于0 .现举一例如下，说明上述四种方法的应用22- 2例判别实对称矩阵A=254的正定性。-2-45解：1. A的特征多项式为-2 2九 _54=（几-1 j （九 _10 ）4 九-5若令2.设 L =1211 22111 0 0 -1 111211 31-1 21 122 0* 101 221 32=1 311321 33100133 一A = L21112111131 1111 331 32TL L11i = 2，LT，则有:=5，1211 311 22 1 32 =-4，lii 0,i =1,2,3，则111 1212 21 21 1 22

10、111 1311 31 1 211 32 1 221 21 1 311 22 1 32A21 I 312 21 311 32111 12111113-21 311 321 33 =5所以A的特征值：r =，2 =1 ， '3 - 10都是正数，故A是正定的。001113#由此既得,1 11 = 1 21131= -2，32所以，L =4203L2、30#这表明L LT的分解存在3.根据上面求的L，易知-010100-00L =42430=110It0(302 J3v；15-12 100v；15 %' 21333L3所以-1012300这表明A的100110*2-113一1002

11、0TL1 DL 14.因为 A =153015310-11231005310-11231的分解存在,A是正定的。22-222-222-225-403-2=03-2-2-450-230053#第四个行由此可知：第二个行列式的主元素是5 ,第三个行列式的主元素是列式的主元素是3 ,即所有主元素都大于0。这就是说，在不选主元素的高斯消去法中，主元素都大于0 ,所以A是正定的。2.3实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。对于实二次型f XX2,X3 =XTAX是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零10。例 判别实二次型 f X1, X2, X3 =5x1 x2 5x3 4X1X2 8X1

12、X3 4X2X3 是否正定。52-4解 f（xX2,X3 ）的矩阵为21-24 -25 _552-4它的顺序主子式5>0,2 1 >°，21-2 >0_4-25因之f Xi,X2,X3正定，.A正定。对于实二次型f X1,X2,X3 =XTAX是半正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式皆大于或等于零。2.3.1 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E 3证明：必要性由于二次型f Xi,X2,Xn = XT AX，其中AT = A，若A正定，存在非退化线性替换，X =TY把f化为规范型2 2 2f Xi,X2,，Xn =diyi - d?y2-dn y

13、n其中di = -1或0。由于f是正定二次型，可证 di -1 i =1,2,n用反证法.若存在某一个d k = -1或0那么令y2,，yn二；1其中第k个分量为，其余均为0则（yy2,，yn ）式0，从而可得（论，x. $ =T（yy式0f X1, X2,，Xn =dk 乞0这与正定二次型的定义即定义1矛盾，从而有dj =1 i =1,2，,n成立。再由 f XX2，Xn =XTAX ny； y； y； =YtEY.a=ttet充分性 若A = pT EP ,则A二PT P，其中P是可逆阵。令X二PY，则=f X1 ,X2，Xn 二 y； - y： y：因此，任意J = 5 , C2 ,，C

14、n卜0，则t/lcjJL2,2,2 f 5，Cn "- t2- tn 0:式0'Cn 一 即证f是正定二次型.即有A为正定矩阵7232 n元实二次型f xx2,，xn正定的充分必要条件是它的正惯性指数9 I等于n .证明：由于二次型f Xi，X2,xn经过非退化线性替换X =TY，把f化为标准 型2 2 2f Xi,X2,，Xn 二 dy - d?y2 dn yn，由于fxi,X2,，Xn正定当且仅当diyd2y； a- hdny；是正定的，而dy； d 2丫： dn y；是正定的当且仅当di . 0, i = 1,2,，n,即正惯性指数等n .2.4 实对称矩阵A半正定的几

15、个充分必要条件612.4.1 二次型 f Xi, X2，Xn = XT Ax，其中 AJ= A， f X1 ,X2，Xn 半正定。2.4.2 n阶实对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。2.4.3 n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。2.4.4 实对称矩阵A的所有主子式皆大于或等于零2.4.5 有实矩阵C使A二CTC，则a半正定。2.4.6 n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵同。3利用合同变换原理推出的降阶法 1判别实对称矩阵的正定与半正定理1 :设 aj Fn n是秩为r 0的对称矩阵，则存在非

16、奇异矩阵P Fnn 使得，PTAP -diag s,C2,，5,0 ，0，其中，5= 0,i = 1,2，r.定理2 :设任意非零实对称矩阵A = a ij i e F n n，则存在 非奇异矩阵P，Fnn，使得PtAP = a11：式中，an为A对角线上的第一个元素。| 0 A9#A12 = a12 a12a 1n证明:设A对称,aij = a ji"ana a Sa 12am -a 12a22a2n"an一 11A121-=T:*12A22a n1a d n2ann因A非零,故可设a11则可进行变换,* =一 |=J丿a11TA121A12A220行变换消 A；2a11

17、01_LA22 A12 a 11 a 120A12列变换消A12a110A22- a11a 11 A12a1170aO1 , . .PTA12 A12式中P = 1卫1-a11IA"J -an A11'I0 a11A；2A121A22"0-a11 a12I*110定理3:定理中,正定的充分必要条件是a11>0,A1正定。证明1.必要性X = Xt，X n L，- 0 , X二 PY ,P式0,有 Y =y1 ,，yn】TTTX AX =YTP APY=yta11一02 y3yn 】a°)y2y3ynT 0,得出，若A正定,则要求a11>0,A

18、1正定.必要性证毕。2.充分性2an y 1+ 丘2丫3 yn he )卜2丫3 yna 11_0*11(p )X= x T AX11得出，只要a11>0, A1正定，定有A正定。充分性证毕。定理4:定理2中A半正定的充分必要条件是a11 >0, aC半正定。证明 1.必要性重复定理3过程有X 丁 AX = an y： +飢y3yn】A 12 y3y n丨-0 因A非零,故必有a >0（或经合同变换后有a： >0）.得出，若A半正定，则要求a： >0，A1半正定2.充分性 a： y；+S y3yn 】A（：）Sy3yn 】T = X T AX当 a： >0

19、， A（： 半时，A也必是半正定.证毕。综合定理3和定理4得出一个重要结论：一个n阶实对称矩阵A的正定性和 半正定性的判别问题，可以化成一个常数a：的正负号与一个n /阶实对称矩阵A：的正定性和半正定性的判别问题。运用分块拒阵变换判别以下矩阵属于哪一类矩阵。7判别实对称矩阵A=属于哪一类矩阵？7将A分成分块矩阵A =I a：AT：2A：2A22式中a： =7判别Aa： = 70A (：)=A -a 丄 At22 ： A：2(：)：J 487 | 648#将A：再分成分块矩阵48式中A：)=-7A (2) = A)-a：汁 Ag)A宀竺-丄 X - X 6 =74877a：f b A (2) =

20、 27 >0,故 A 正定。4A2（2）=(2)727 >04a：()=竺 >07因 a：>0af>0#-2例2判别A =900 1-2属于哪类矩阵a I, 9A1 二54-2 I28A（2）=5224 21J 95 h81836a,2 =1.8（3）A（）=7 2X 3.6 X 3.6 =0,.8（3）因为a, >0a； = A =0故A半正定。4实对称正定矩阵判别的另一个充分必要条件定理8A Rn n是正定矩阵的充分必要条件是存在实正定对称矩P ,使 得 Re 入 PA > 0, A,ATp = 0证明： 若A =S K是正定矩阵，令P二S 1，则

21、P是实正定对称矩阵，由1 式若存在实正定对称矩阵p ,使得1式成立，则有apat=atpa从而由p12 存在知(P 2 A P 2) T ( P 2 A P 2)=( P 2 A P 2 )( P 2 A P 2 ) T .故P 2 A P 2是规范矩阵.由PA与P 2 A P 2相似及Re，PA >0,得Re '(P 2 A P 2 ) >0.由P 2 A P 2正定,得A正定.定理2设A =S K Rn n,则A是正定矩阵的充分必要条件是存在实正p = 0.定对称矩阵P ,使，PS 0 ,且S , K13-2#-2证明：如果A是正定矩阵,则S " 是正定对称矩

22、阵.令P = S",显然有#-2#-2 PS 0 与 S, K Ip =0.反之，由 S,K Ip 得 SPKKPS .而#-2APA - AT PA T APA T _ at PA#SPK1 AA P A AT = 1 APA _ ATPA APA T -ATPA44apat =atpa , 即 Ia, at0 .注意至U P 2存在且P 2 A P 2 =P 2 S P 2 + P 2 K P 2，其中P 2 S P 2与P 2 K P 2分别是P 2 A P 2的对称分 支与反对称分支由，P12SP'二 PS .0 ,得P'2S P12是实正定对称矩阵 即P -

23、1； A P12是实正定矩阵且A实正定.5实对称矩阵为正定的充分性的判别法.我们知道，当实对称矩阵A的阶数很高时，要完成上述五种方法中的任何 一种的计算都不是容易的，下面介绍一种比较简单的关于实对称矩阵为正定的充分性几的判别法21.b11b12(I先讨论正元素对称矩阵：B =b 21b22b2nbn11 a bbn2bnnbj二bj Oi,j =1,2,n的正定性的判别法15#yij = 10 ：: yj : 1minij：1,0<maxYij i = j<1#我们有下列定理定理1若矩阵B的阶数n 3 ,且有不等式：n P -2<an - 2则矩阵B是正定的。证明：因为当n

24、一3且有不等式2时，正元素对称矩阵1yi2yinA = |y21yi2y2n是正定的。所以A的i阶顺序主子式: > >niyn21一1 y12y1i#17y211Ai =yyi2y2i>0i =12,n#所以B的阶顺序主子式:b11b12b1 ib11pb11b12b1 iBi =b21b22b2 i cB<>=b21弋 b 22" J匕22八b2 ibi1bi 2biibi 1bi 2 Y* 6 屮 bii从第i行提取公因从第一行提取公因式. bn ,从第二行提取公因式.b22 ,式.bii 得:b21Bi = , bn. b22 ,ii,b22bi1

25、bii再从第一列提取公因式.b11b12. b11r.，b22b1i.b11b2ib22从第二列提取公因式“2；，从第i列提取公#因式.bii 得:#Bi = b11 b 22b iiy21y121y1iy2i _=b 11 b 22bii A i#yi1#所以 B i >0 i 1,2, n ，故B是正定的。#例判别正元素对称矩阵:_222 254是正定的。4#51解:由上述定理可得：A=J2詬2、.545119#5由此可知：A的非对角线元素均满足：0<yij <1 i = j,i, j =1,2,3n =3(4=3 一2所以A是正定的。故B也是正定的.6实对称矩阵半正定判

26、定的一个新依据一般我们认为，A为正定（半正定）的充分必要条件是其所有主子式>0_0. 但是由于一个n阶矩阵的主要主子式只有n个,由以上定理，正定矩阵的判据放 宽了，简化了，但是生正定矩阵的判据仍然较繁。然而，由于误解，某些控制理 论及数学书籍中，常把“主要主子式”非负作为半正定矩阵的判据。但是，这 种认识是错误的。1 0 0例 A = 0 00 其所有顺序主子式均3。，但是不定的。0 0 -1那么，是否有别的办法能简化半正定矩阵的判据呢？有。以下我们给出一个较宽 的半正定矩阵的封据。为证明这个新判据，先给如下引理：引理1如果A之阶数最高的非奇异主子矩阵4】为r阶，则rankA =r,1乞

27、i乞n。这里，A的主子矩阵即为A的主子式所对应的矩阵：2< <-证明：设h A=f 则其系数a,二A的所有i阶主子式之和-0，所以#rankA _ r.3又所有r 1 , r 2 ,n阶主子式皆为0，所以aj = 0,i = r 1,，n.(2式可以写为：|7Jajjr(_1 g ,即A至少有(n_r)重零根。又实对称矩阵皆可对角化，即有 Q -AQ工对角阵，1rankA = rankQ _AQ 二 r.3、4式，必有rankA = r ,1 _ r _ n。引理1证毕。引理2 A为半正定矩阵的充分必要条件是A=；r 0I0 0 一，即有 P, ptap0 021rankA _ r

28、.3#rankA _ r.3定理3 A为半正定的充分必要条件是其任意一个阶数最高的非奇异主子矩阵为正定矩阵。证明:设A之某一阶数最高的非奇异主子矩A二Ar r有合同变换,即有卩!使叮AP!Ar r_bT：.再令P2七TP2Ir|- bt a有 P2TPTAP1PP2T'|:P2Ar r0#rankA _ r.3#rankA _ r.3这里D二C_BTA：rB.由引理1及合同变换不改变A之秩，必有D = 0 .如若不然，即D -0 ,则至少有D中某一元dii -0，于是有det P2t Pj AP1P21,2，r ,r iAr0dijAr r#rankA _ r.3#rankA _ r.

29、3rankA = rankP 1T P2T AP1P2 - r - 1，矛盾。若Ar r为正定矩阵，则Ar r ：“ I r，A -0 0由引理2，A为半正定矩阵#同理可证必要性.定理3证毕.推论1 A为半正定的充分必要条件是其任意一个最高阶非奇异主子矩阵的 主要主子式0.显然，当该非奇异主子矩阵的阶数就是 n时，则A为正定的。我们看到，定 理3包含了定理2的前一部分，发展了其后一部分。推论2 A为半负定的充分必要条件是一 A的任意一个最高阶非奇异主子矩 阵的主要主子式0.由以上推论，在判定A之定性时，并不需要计算所有2n _1个主子式，因此在计算机运算或手算中，均可减少运算程序A?241=1

30、12123J 2 4J237有A =0而-0I 24以下只需计算A I的主要主I I2 4一-11121223A =1222-2337例, 亠 1 1子式。有D! =1 A0,D2 =0 .二A为半正定矩阵1 27实对称矩阵的一个简单应用在实际问题中，经常会遇到求三元以上函数的极值问题 7I对此可有二次型 的正定性加以解决。定义1设n元函数f（X ）= f（X-,Xn 在 X =（X1,，Xn ）丁 Rn的某个领域内有 一阶、二阶连续偏导数。记 W（x,虫,，型），I玫1比&n丿W（X称为函数f（X ）在点X =（X1,X2，,Xn T处的梯度。定义2 满足I f X。=0的点X。称为

31、函数f X的驻点.#八（X ）hf(x )定义3 H X =:：2f Xx jnn22：f X：叹2%1：XX22r f X讥Xn2r f XXn2：f X|_&nX12r f x .jXn X22$ f(X )2:Xn称为函数f X在点X = x1 ,x2 , xn在点X二.Rn处得黑塞矩阵。显然H X是由f X的n2个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。定理1 （极值存在的必要条件）设函数f （X ）在点x0 =（0 0Xi , X2 ,x：）T处存23#在一阶偏导数，且X 0为该函数的极值点，贝U If X。= 0定理2极值的充分条件设函数设n兀函数f X = f Xt，xX0. Rn的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数。且则：1当H X。为正定矩阵时,f Xo为f X的极小值;2当H X。为负定矩阵时,f Xo为f X的极大值;3当H X。为不定矩阵时,f X 0不为f X的极值。务(X 0 )& (X° )fX0）、&155cx2,矢丿if X。二二 0#应注意的问题:利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有一定的局限，因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的， 若条件不满足，结 论就不一定成立。例求三元函数f X, y, z = X2 2y2 3z2 2x，4y_6z的极值.得 X-1 ， y=_1 ，