二重极限的计算方法学年论文

1、二重极限的计算方法小结内 容 摘 要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。及二重极限不存在的几种证明方法。关键词：二重极限 变量代换等 不存在的证明 目 录序言1 一、 利用特殊路径猜得极限值再加以验证1(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以确定 1(二) 由累次极限猜想极限值再加以验证2(三) 采用对数法求极限2(四) 利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限3(五) 等价无穷小代换3(六) 利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量4(七) 多元函数收敛判别方法4(八) 变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限5(九)

2、 极坐标代换法6(十) 用多元函数收敛判别的方法7二、证明二重极限不存在的几种方法 7总结10参考文献11序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相

3、等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量的不同变化趋势和函数的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出来。例1 讨论，在点的极限。解 令 应为此路径为特殊路径，故不能说明可以猜测值为0。下面再利用定义法证明：，取当 有由于 即有 故注意 （1）的任意性 （2）一般随而变化 （3）若函数以A为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+，A-）。(二

4、) 由累次极限猜想极限值再加以验证先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证例2 设。求解 可以猜测有极限值为0. 事实上对任意的有， 取， 当，时，就有，即有(三) 采用对数法求极限利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。例3 求 解 因为 而且 所以 (四) 利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限 类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之 例4 求（1） （2）解 （1）因为， 所以 （2） 由于 ,又因为 所以(五) 等价无穷小代换利用一元函数

5、中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限例5 求 解 因为故有所以等价于故原式为注 无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”(六) 利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。例6 求 解 因为而为有界变量又 故有 原式=0(七) 多元函数收敛判别方法当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩

6、法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。例7 求 解 因为而，故(八) 变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。1、讨论当，二元函数的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有从而求得结果。例8 求 解 令 则当时 ，于是2、讨论当时，二元函数的极限，作变量代换，相应有，利用已知一元函数的极限公式。例9 求 其中解 因为 当 时，令xy=t,相应有则所以3、讨论时二

7、元函数的极限例10 求 解 因为当 时，令x+y=t,相应有则 所以 (九) 极坐标代换法讨论当时，二元函数的极限，必要时可以用极坐标变换，即将求当极限问题变换为求的极限问题。但必须要求在的过程中与的取值无关。注意这里不仅对任何固定的在时的极限与无关，而且要求在过程中可以随r的改变而取不同的值的情况下仍然无关，才能说明存在。例11 求解 令，当时，有令 因为 所以(十) 用多元函数收敛判别的方法通过缩放法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用两边夹定理来推出结果。例12 求 解 因为而 所以 二、 证明二重极限不存在若二元函数在区域D有定义，是D的聚点。当动点沿着两条不同的曲线（或点列）

8、诬陷趋近于点，二元函数，有不同的“极限”，则二元函数在点不存在极限。依此可以有下面几种方法来证明在区域D上当时极限不存在。例1 证明不存在证明 函数的定义域为，当点沿着y轴趋于点(0,0)时，有x=0，而不存在，所以当P沿着D中某一连续曲线趋近于点时，二元函数的极限不存在，则不存在例2 证明不存在证明 函数的定义域为，当点沿着x轴趋于点（0，0）时，=0，当点沿着趋于点（0，0）时所以 不存在当P沿着D中两条不同的连续曲线趋近于时，二元函数的极限都存在，但不相等，则不存在。例3 证明 不存在证明 设函数的定义域为 当时，得当时令有 所以 不存在对于一些难以找到的路线，可以利用极坐标来证明例4

9、证明 不存在证明 即得 因为两个累次极限不想等，所以 不存在总结函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难理解和掌握的部分，特别是二元函数的极限，但二元函数在多元函数微积分学中有着举足轻重的作用，探讨其存在性与求法是进一步学习多元函数微积分有关概念和方法的基础。文中列出了利用特殊路径猜得极限值再加以确定、由累次极限猜想极限值再加以验证、采用对数法求极限、利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限、等价无穷小代换、利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量、多元函数收敛判别方法、变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限、极坐标代换法、用多元函数收敛判别的方法等始终二重极限的计算方法及四种二重极限不存在的证明方法。在实际解决二重极限问题时要根据题型不同选择最优的解题方式，不但能提高正确率也可以节省时间和工作量，达到事半功倍的效果。参考文献1孙涛.数学分析经典习题解析M.北京:高等教育出版社,2004.2张贵文,汪明凡.关于多元函数的极限J.数学学习,1983.3华东师范大学数学系.数学分析.下册(第三版)M.北京:高等教育出版社，2001.4同济大学应用数学系.高等数学(下册)(五版)M.北京:高等教育出版社，2002.5阎家灏.正项级