中值定理与导数的应用20728

1、 第三章 中值定理与导数的应用§3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 并且在x0处可导, 如果对任意xÎU(x0), 有 f(x)£f(x0) (或f(x)³f(x0), 那么f ¢(x0)=0. 罗尔定理 如果函数满足：（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即, 那么在内至少在一点 , 使得函数在该点的导数等于零，即. 例:设函数在0,1上连续，在(0,1)上可导，证明：在(0,1)内存在，使得【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：【证

2、明】令，则在0,1上连续，在(0,1)上可导，且,由罗尔中值定理知，存在，使得即例：设函数f(x), g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在，使得【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令，则问题转化为证明, 只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点，使得，则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(

3、x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在, 使得，若，令, 则若，因，从而存在，使 在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得. 再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有， 即 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点, 使得等式 例:. 证明当x>0时, . 证 设f(x)=ln(1+x), 显然f(x)在区间0, x上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f(x)-f(0)=f ¢(x)(x-0), 0<x<x。由于f(0)=0, , 因此上式即为 .又由0&l

4、t;x<x, 有 .例 证明：当0<b<a时，【分析】即证：【证明】令，在上使用拉格朗日中值定理，知存在所以，即 ，变形得证。例(真题)设函数在上可导，证明（1）存在，使得（2）对（1）中的，存在使得证明：（1）因为，对于，存在,使得当时，因此，由连续函数的介值性，存在，使得。（2）由拉格朗日中值定理，存在使得定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零, 那么f(x)在区间I上是一个常数. 例:求证 .证 设，当时有由推论1，在区间内为一常数C，即下面确定常数C的值，不妨取，得所以当时， 对于时，等式显然成立，故命题得证. 三、柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数f(x)及

5、F(x)在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且F ¢(x)在(a, b)内的每一点处均不为零, 那么在(a, b)内至少有一点x , 使等式 . 成立. 显然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F ¢(x)=1, 因而柯西中值公式就可以写成: f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a) (a<x<b), 这样就变成了拉格朗日中值公式了. §3. 2 洛必达法则若，则 称为的待定型。类似的待定型有：，。 一、型未定式定理1 设函数、满足下列条件：（1），；（2）与在的某一去心邻域内可导，且；（3）存在

6、（或为无穷大），则这个定理说明：当存在时，也存在且等于；当为无穷大时，也是无穷大这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（ospital）法则.例:计算极限解:由洛必达法则，得注:若仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即例:计算极限解 例: 求极限 解例(真题)求极限【解析】二、型未定式定理2 设函数、满足下列条件：（1），；（2）与在的某一去心邻域内可导，且；（3）存在（或为无穷大），则注：上述关于时未定式型的洛必达法则，对于时未定式型同样适用例:计算极限解所求问题是型未定式，连续次施行洛必达法则，有在使用洛必塔法则时应注意以下几点：洛必塔法则

7、只适用于型或型的极限.如果仍是型或型,则可继续使用洛必塔法则.如果不存在且不是,并不表明不存在,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他方法求解,即洛必达法则的条件是充分的，但不必要因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在例:三、其它类型极限求法除型与型的未定式之外，还有 ，等未定式，对这类未定式求极限，通常是利用代数恒等变形转化为或型，然后用洛必达法则进行计算.例: 求.解 这是型，因此.例: 求解 这是型，因此 例9 求.解 这是型，因此 . §3. 3 泰勒公式 一、n阶泰勒公式. n阶带有Lagrange型余项的Taylor公式定理1（泰勒） 若函数f在(a,b)上存在直到n阶的

8、连续导函数,在(a,b)内存在n1阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点使得： 在之间。2.带有皮亚诺余项的泰勒公式定理2若函数f在(a,b)上存在直到n阶的连续导函数,则对任意给定的 （1）称为泰勒公式的余项.3、 常用函数的麦克劳林公式二、应用1.把函数展开成n阶Maclaurin公式例： 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .【解】 , .例： 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .【解】 , .2.求的n阶导数例 ，求.【解】又所以，3.利用Taylor公式求极限 例 求极限(1) (2).【分析】用泰勒公式求极限把函数展开到多少次方

9、呢？对于分子和分母有一个能确定次数的，把另一个展开到相同次数即可，例如：但是对于分子和分母都不能确定次数的，要以具体情况而定。【解】(1) 【点评】本题先确定分母展开的次数，至少展开到二阶，确定了分母的次数后，以次确定分子展开的次数。(2) . §3. 4 函数单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 定理1(函数单调性的判定法) 设函数y=f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导. (1)如果在(a, b)内f ¢(x)>0, 那么函数y=f(x)在a, b上单调增加; (2)如果在(a, b)内f ¢(x)<0, 那么函数y=f(x)在

10、a, b上单调减少. 注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间. 例:确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间. 解 这个函数的定义域为:(-¥, +¥). 函数的导数为:f ¢(x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 导数为零的点有两个: x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-¥, 11, 22, +¥)f ¢(x)+-+f(x)函数f(x)在区间(-¥, 1和2, +¥)内单调增加, 在区间1, 2上单调减少. 一般地, 如果f ¢(x)在某区间内的有限个点处为

11、零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 例 证明: 当x>1时, . 证明: 令, 则 . 因为当x>1时, f ¢(x)>0, 因此f(x)在1, +¥)上f(x)单调增加, 从而当x>1时, f(x)>f(1). 由于f(1)=0, 故f(x)>f(1)=0, 即 , 也就是(x>1). 例(真题) 证明：当时，证：令只需证明严格单调增加 严格单调减少又故单调增加（严格）得证 二、曲线的凹凸与拐点 定义 设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x 1, x 2, 恒有,

12、 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 凹凸性的判定: 定理 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在(a, b)内f ¢¢(x)>0, 则f(x)在a, b上的图形是凹的; (2)若在(a, b)内f ¢¢(x)<0, 则f(x)在a, b上的图形是凸的. 拐点: 连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求出

13、在二阶导数f¢¢ (x); (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 例 求曲线y=3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 解: (1)函数y=3x 4-4x 3+1的定义域为(-¥, +¥); (2),; (3)解方程y¢¢=0, 得, ; (4)列表判断: (-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +¥) f ¢¢(x) + 0 - 0 + f(x) È 1 Ç 11/27 È

14、在区间(-¥, 0和2/3, +¥)上曲线是凹的, 在区间0, 2/3上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点. 例: 问曲线y=x 4是否有拐点？ 解 y¢=4x 3, y¢¢=12x 2. 当x ¹0时, y¢¢>0, 在区间(-¥, +¥)内曲线是凹的, 因此曲线无拐点. 例: 求曲线的拐点. 解 (1)函数的定义域为(-¥, +¥); (2) , ; (3)无二阶导数为零的点, 二阶导数不存在的点为x=0; (4)判断: 当x<

15、0当, y¢¢>0; 当x>0, y¢¢<0. 因此, 点(0, 0)是曲线的拐点. §3. 5 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 极值的定义: 定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 如果在去心邻域U(x0)内有f(x)<f(x0) (或f(x)>f(x0), 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值). 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值, 那只是就x

16、0 附近的一个局部范围来说, f(x0)是f(x)的一个最大值; 如果就f(x)的整个定义域来说, f(x0)不一定是最大值. 关于极小值也类似. 定理1 (必要条件)设函数f(x)在点x0 处可导, 且在x0 处取得极值, 那么这函数在x0 处的导数为零, 即f ¢(x0)=0.注意，定理1仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数，在处有，但不是极值. 驻点: 使导数为零的点(即方程f ¢(x) = 0的实根)叫函数f(x)的驻点. 定理就是说: 可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点. 但反过来, 函数f(x)的驻点却不一定是极值点. 例:函数的驻点个数为（ C

17、）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 定理2(第一充分条件)设函数f(x)在x0连续, 且在x0的某去心邻域(x0-d, x0)È(x0, x0+d)内可导. (1)如果在(x0-d, x0)内f ¢(x)>0, 在(x0, x0+d)内f ¢(x)<0, 那么函数f(x)在x0处取得极大值; (2)如果在(x0-d, x0)内f ¢(x)<0, 在(x0, x0+d)内f ¢(x)>0, 那么函数f(x)在x0处取得极小值; (3)如果在(x0-d, x0)及(x0, x0+d)内 f ¢(x)的符号相同

18、, 那么函数f(x)在x0处没有极值. 确定极值点和极值的步骤: (1)求出导数f ¢(x); (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点; (3)列表判断(考察f ¢(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值); (4)确定出函数的所有极值点和极值. 例:求函数的极值. 解(1)f(x)在(-¥, +¥)内连续, 除x=-1外处处可导, 且 ; (2)令f ¢(x)=0, 得驻点x=1; x=-1为f(x)的不可导点; (3)列表判断 x(-

19、65;, -1)-1(-1, 1)1(1, +¥)f ¢(x)+不可导-0+f(x)0 (4)极大值为f(-1)=0, 极小值为. 定理3 (第二种充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f ¢(x0)=0, f ¢¢(x0)¹0, 那么 (1)当f ¢¢(x0)<0时, 函数f(x)在x0处取得极大值; (2)当f ¢¢(x0)>0时, 函数f(x)在x0处取得极小值; 例: 求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值. 解 (1)f ¢(x)=6x(x2-1)2

20、. (2)令f ¢(x)=0, 求得驻点x1=-1, x2=0, x3=1. (3)f ¢¢(x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f ¢¢(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. (5)因f ¢¢(-1)=f ¢¢(1)=0, 用定理3无法判别. 因为在-1的左右邻域内f ¢(x)<0, 所以f(x)在-1处没有极值; 同理, f(x)在1处也没有极值. 二、最大值最小值问题 最大值和最小值的求法: 设f(x)在(a, b)内的驻点和不

21、可导点(它们是可能的极值点)为x1, x2, × × × , xn, 则比较 f(a), f(x 1), × × × , f(x n), f(b) 的大小, 其中最大的便是函数f(x)在a, b上的最大值, 最小的便是函数f(x)在a, b上的最小值. 例:求函数f(x)=|x2-3x+2|在-3, 4上的最大值与最小值. 解 , 在(-3, 4)内, f(x)的驻点为; 不可导点为x=1和x=2. 由于f(-3)=20, f(1)=0, f(2)=0, f(4)=6, f(x)在x=-3处取得它在-3, 4上的最大值20, 在x=1

22、和x=2处取它在-3, 4上的最小值0. 注意: 应当指出, 实际问题中, 往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值, 而且一定在定义区间内部取得. 这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0, 那么不必讨论f(x0)是否是极值, 就可以断定f(x0)是最大值或最小值. §3. 6 函数图形的描绘曲线的渐近线（1）水平渐近线如果当自变量时，函数以常量C为极限，即，则称直线为曲线的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量时，函数为无穷大量，即，则称直线为曲线的铅直渐近线. （3）斜渐近线 ,其中,有水平渐近线则无斜渐近线, 有斜渐近线则无水平斜渐近

23、线例:（真题）曲线渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】：（C）【解析】：，所以为垂直渐近线 ，所以为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。例:（真题）曲线的渐近线方程为_解：，所以 描绘函数图形的一般步骤: (1)确定函数的定义域, 并求函数的一阶和二阶导数; (2)求出一阶、二阶导数为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点; (3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性; (4)确定曲线的渐近性; (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点; (6)联结这些点画出函数的图形. 例: 画出函数y=x 3-x 2-x+1的图形. 解:

24、 (1)函数的定义域为(-¥, +¥), (2) f ¢(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), f ¢¢(x)=6x-2=2(3x-1). f ¢(x)=0的根为x= -1/3, 1; f ¢¢(x)=0的根为x= 1/3. (3)列表分析: x(-¥,-1/3)-1/3(-1/3,1/3)1/3(1/3,1)1(1, +¥)f ¢(x)+0-0+f ¢¢(x)-0+f(x)Ç极大Ç拐点È极小È (4)当x ®+¥时, y ®+¥ 当x ®-¥时, y ®-¥. (5)计算特殊点: f(-1/3)=32/27, f(1/3)=16/27, f(1)=0, f(0)=1; f(-1)=0, f(3/2)=5/8. (6)描点联线画出图形: §3. 7 曲