第四节线性方程组的

1、第四节第四节 线性方程组的解集线性方程组的解集如果向量如果向量 满足等式满足等式,Ab则称则称 是线性方程组是线性方程组xAx b的的解向量解向量. .所有解向量的集合称为解向量组，即通解所有解向量的集合称为解向量组，即通解齐次线性方程组齐次线性方程组0Ax定理定理4.1设设 都是都是 的解的解, ,12, 0Ax则它们的线性组合则它们的线性组合1 12 2CC也是也是 的解的解. .0Ax证证: :A1 12 2()CC11CA22C A000例例1求求 的通解的通解0Ax 354324 .618A 解解: :35432 4618A 3 540 300903 540 100 003 040

2、100 001 0 4/30 100 00( )23R A 有非零解，有非零解，取取 是基本变量是基本变量, ,12,x x3x是自由变量是自由变量, ,1343xx20 x 3x是自由变量是自由变量123xxxx43c0cc4301c解向量组包含无穷个向量解向量组包含无穷个向量通解通解解向量组的秩是解向量组的秩是1.1.定义定义4.1 设设 有非零解有非零解, ,0Ax称它的解向量组的最大无关组称它的解向量组的最大无关组为为基础解系基础解系. .注注: : “基础基础”即即“原原生生”, ,0Ax的所有解向量都是以基础解系的所有解向量都是以基础解系为为”基础基础”而而”派生派生”出的出的.

3、.例例1求求 的通解的通解0Ax 354324 .618A 是是 的基础解系的基础解系, ,0Axc4301xc通解通解403也是也是 的基础解系吗的基础解系吗? ?0Ax思考：思考：几何意义几何意义: :一般的一般的, , 若若 含含n个未知数个未知数, , 0Ax(),R Ar则则: :自由变量的个数自由变量的个数nr解向量组的秩解向量组的秩L三平面交于一直线三平面交于一直线L，通解即与，通解即与L共线或平行的所共线或平行的所有向量，都可以由向量有向量，都可以由向量 表示。表示。c4301xc非齐次线性方程组非齐次线性方程组Axb (0)b定理定理4.2设设 是是 的解的解, ,0Ax是是

4、 的解的解, ,Axb则则: : 是是 的解的解. .Axb证证: :A() AA0bb例例1( (续续) ) 求求 的通解的通解, ,Ax b3547324 ,1 .6184Ab 解解: :()A b 3 547324161843 5470 3 0609 0183 54701020 0003 04301020 0003 04/3301020 000( )2,R A 无穷多解无穷多解取取 是基本变量是基本变量, ,12,x x3x是自由变量是自由变量, ,13413xx 22x 3x是自由变量是自由变量123xxxx 120c4/301c:Ax b的特解的特解:c0Ax的通解的通解Ax b的通

5、解的通解几何意义几何意义: : LL o 的通解是直线的通解是直线L0Ax Axb的通解是与的通解是与L平行的直线平行的直线L例例2 单一方程也可看作方程组单一方程也可看作方程组, ,描述并比较下列描述并比较下列”方程组方程组”的通解的通解: :12310320 (1)xxx和和12310325 (2).xxx解解: : 取取 是基本变量是基本变量, ,1x和和 是自由变量是自由变量, ,2x3x1x 0.220.3x30.2 ,x写成向量形式写成向量形式123xxxx 0.220.3x30.2x2x3x 0.2001c 0.3102c0.20110,0.3120.201是是(1)的基础解系的

6、基础解系, ,x 11c22c是是(1)的通解的通解, ,0.200通解为通解为: :是是(2)的特解的特解, ,x 11c22c是是(2)的通解的通解. .11c22c几何意义几何意义: : (1)的通解的通解11c22c是由是由1和和2确定的平面确定的平面, ,(2)的通解的通解11c22c是过是过且平行于且平行于(1)的平面的平面. .Axb 0Ax 1 2 例例2 单一方程也可看作方程组单一方程也可看作方程组, ,描述并比较下列描述并比较下列”方程组方程组”的通解的通解: :12310320 (1)xxx和和12310325 (2).xxx总结总结: : 设设 是是 矩阵矩阵, ,Am n( ),R Ar0Ax的基础解系含的基础解系含n r个向