实变函数期末考试卷卷

1、实变函数题（每题 2 分，共 20 分）一、1. 若 A 是 B 的真子集，则必有 A < B 。2. 必有比a 小的基数。3. 一个点不是 E 的聚点必不是 E 的内点。4. 无限个开集的交必是开集。（×）（）（）（×）5.若 E ¹ f ，则m* E > 0 。P58（×）6.任何集 E Ì Rn 都有外测度。P59（）7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。P57（×）8.可测集的集都可测。（×）9.若 f (x) 在可测集 E 上可测，则 f (x) 在 E 的任意子集上也可测。（×） P79

2、10. f (x) 在 E 上可积必存在。( 可积和存在是两码事)（×）1.设 E 为点集， P Ï E ，则 P 是 E 的外点.（ ×）2.不可数个的交集仍是. （ ×）¥3. 设En 是一列可测集, 且 En+1 Ì En , n = 1, 2,En ) = limm(En )., 则 m(n ®¥n =1（×）4.单调集列一定收敛. （）？f (x) 在 E 上可测,则存在 Fs 型集 F Ì E, m(E - F ) = 0 , f (x) 在 F 上连5.若续.（× ）?二

3、、填空题（每空 2 分，共 20 分）1.设 B 是 R1 中无理数集，则 B =c。2.设 A = ì1 11üí1, ,L,Lý Ì R ，则 A = f， A =0。10'î2 3nþ11¥¥3. 设 A = (-,), n = 0,1,2,L ，则 È A =(-1,1) ， Ç A =nn nn + 1 n + 1n=0n=1 0 。4.有界变差函数的不连续点的点集是至多可列集。?5.设 E 是0,1 上的Cantor 集，则mE =0。6.设 A 是， B 是开集，

4、则 A B 是闭集。7.闭区间a, b 上的有界函数 f (x) Rimann 可积的充要条件是f (x) 是a, b 上的几乎处处的连续函数。8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是 Lebesgue 可积的。三、计算题（每题 10 分，共 20 分）1nx 21òsin 3 nxdx 。（ 提示： 使用1. 计算 lim (R)1 + n x2 2n®¥0Lebesgue收敛定理）1nx 2解：设 f (x) =sin 3 nx (n = 1,2,L) ，则n1 + n2 x 2因 fn (x) 在0,1 上（1）（2） lim f n (x) =

5、0, x Î0,1 ；n®¥（3）因为连续，所以是可测的；P67P79P114得分阅卷 人p1212511nx 21nx 2nx 21££= F (x)sin 3 nx1 + n2 x 21 + n2 x 22nx2 x显然 F (x) 在0,1 上可积。于是由 Lebesgue收敛定理，有11nx 2nx 211òòsin 3 nxdx = lim (L)sin 3 nxdx = 0lim (R)1 + n x1 + n x222 2n®¥0n®¥0ìx, x为大于1的无理

6、数;ïò0,22. 设 f (x) = x , x为小于1的无理数；2试计算f (x)dx 。íï0, x数，î解：因数集的测度为零，所以f (x) = x 2于0,1 ， f (x) = xa.e.a.e.于1,2 。于是ò0,2 f (x)dx = ò0,1 f (x)dx + ò1,2 f (x)dx131112òò=x dx +xdx =+=232601四、证明题（每题 8 分，共 40 分）¥¥1. 证明： A (U An ) = I( A An )n=1n=1P2

7、9 T2¥¥证明： A (U A) = A I ( U A)cnnn=1n=1¥= A I ( I Ac )nn=1¥c= I ( A I An )n=1¥= I ( A An )n=12. 设M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M 是至多可列集。证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合 A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集 A 与开区间组成的集合 M 是一一对应的。则 A 是有理数集的子集，故至多可列，所以 M 也是至多可列集。证明：若m* E =

8、0 ，则 E 为可测集。P753.T5证明：对任意点集T ，显然成立着m*T £ m* (T I E) + m* (T I Ec ) 。次可数可加性另一方面，因为 m* E = 0 ，而T I E Ì E ，所以 m* (T I E) £ m* E ，于是m* (T I E) = 0 。又因为T É T I Ec ，所以m*T ³ m* (T I Ec ) ，从而m*T ³ m* (T I E) + m* (T I Ec ) 。总之， m*T = m* (T I E) + m* (T I Ec ) 。故 E 是可测集。4. 可测集 E

9、 上的函数 f (x) 为可测函数充分必要条件是对任何有理数r ，集合 E f (x) < r是可测集。一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）( A B)C = A (B C ) 成立的充分必要条件是（B、 B Ì AD、C Ì A（D）1、）。A、 A Ì BC、 A Ì C）2、设 E 是闭区间0,1中的无理点集，则（A）A. mE = 1C. E 是不可测集B. mE = 0D. E 是）3、设 E 是可测集， A 是不可测集， mE = 0 ，则 E（CA 是（）A. 可测集且测度为零C. 不可测集B. 可测集但测度未必为零D. 以上都

10、不对B ）4、设mE < +¥ ， fn ( x)是 E 上几乎处处有限的可测函数列，（f ( x) 是 E 上几乎处处有限的可测函数，则 fn ( x) 几乎处处收敛于f ( x) 是 fn ( x)依测度收敛于A. 必要条件C. 充分必要条件f ( x) 的（）B. 充分条件D. 无关条件f ( x) 是 E 上的可测函数，则（ D）5、设）f ( x) 是 E 上的连续函数A.f ( x) 是 E 上的B.积函数f ( x) 是 E 上的简单函数f ( x) 可表示为一列简单函数的极限C.D.6 、 设 f (x) 是 (-¥, +¥) 上的实值连续函

11、数， 则对于任意常数 a ，E = x | f (x) > a是一开集，而 E = x | f (x) ³ a 总是一。证明：若 x0 Î E,则f (x0 ) > a ，因为 f (x) 是连续的，所以存在 d > 0 ，使任意？x Î(-¥, ¥) ，| x - x0 |< d 就有f (x) > a ，(5 分)U(x0 ,d ), 就有x Î E, 所以U(x0 ,d ) Ì E, E即任意是开集（10 分）xn Î E,xn ® x0 (n ® ¥

12、;),则f (xn ) ³ af (x)若且， 由 于连 续 ，f (x0 ) = lim f (xn ) ³ a ，n®¥即 x0 Î E ，因此 E 是。7、设 A= (0, 1), A (0, n), n = 1, 2, 求出集列A 的上限集和下限集2n-12nnn证明：limAn = (0, ¥) n®¥（5 分）设 x Î(0, ¥)，则存在 N，使 x < N ，因此n > N 时，0 < x < n ，即 x Î A2n ，所以 x属于下标比 N

13、大的一切偶指标集，从而 x 属于无限多 An ，得 x Î limAn ，n®¥又显然limAn Ì (0, ¥), 所以limAn = (0, ¥)（7 分）n®¥n®¥lim An = f n®¥（12 分）若有 x Î lim An ，则存在 N，使任意n > N ，有 x Î An ，因此若2n -1 > N 时，n®¥1x Î A2n-1,即0 < x < n ,令n ® ¥得0 < x £ 0， 此 不 可