专题因动点产生的等腰三角形问题答案

1、专题4：因动点产生的等腰三角形问题1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在RtABC中，A90°，AB6，AC8，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且PDQ90°（1）求ED、EC的长；（2）若BP2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若PDF为等腰三角形，求BP的长图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，PDM与QDN保持相似观察PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP的情况请打开超级画板文件名“13虹口

2、25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，PDM与QDN保持相似观察PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP的情况思路点拨1第（2）题BP2分两种情况2解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系3第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ满分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如图2，过点D作DMAB，DNAC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是ABC的两条中位线，DM4，DN3由PDQ90°，MDN90°，可得PDMQD

3、N因此PDMQDN所以所以，图2 图3 图4如图3，当BP2，P在BM上时，PM1此时所以如图4，当BP2，P在MB的延长线上时，PM5此时所以（3）如图5，如图2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90°，CDE90°，可得PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF是等腰三角形时，CDQ也是等腰三角形如图5，当CQCD5时，QNCQCN541（如图3所示）此时所以如图6，当QCQD时，由，可得所以QNCNCQ（如图2所示）此时所以不存在DPDF的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图5，图6所示）图5 图6考点伸展如图6，当CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相

4、等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解2 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1 动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察M

5、AC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PAC的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)，代入点C(0 ,3)，得3a3解得a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x1当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小设

6、抛物线的对称轴与x轴的交点为H由，BOCO，得PHBH2所以点P的坐标为(1, 2)图2（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图3，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为(1, 1)如图4，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得此时点M的坐标为(1,)或(1,)如图5，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)图

7、3 图4 图53 2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，O和B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以

8、点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起满分解答（1）如图2，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点B，解得所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三点共线（如图2）当BPBO4时

9、，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得综合、，点P的坐标为，如图2所示图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么DOA与OAB是两个相似的等腰三角形由，得抛物线的顶点为因此所以DOA30°，ODA120°4 2010年南通市中考第27题如图1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy（1）求y关于x的函数关系式； （2）若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1动感体验

10、请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下对照图形和图象，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值双击按钮“m8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点拖动点A可以改变m的值，再拖动图象中标签为“y随x” 的点到射线yx上，从图形中可以看到，此时DCEEBF思路点拨1证明DCEEBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式2第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值3第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达一段是说理，如果DEF为等腰三角形，那么得到xy；一段是计

11、算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值满分解答(1)因为EDC与FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因为CB90°，所以DCEEBF因此，即整理，得y关于x的函数关系为(2)如图2，当m8时，因此当x4时，y取得最大值为2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF为等腰三角形，只存在EDEF的情况因为DCEEBF，所以CEBF，即xy将xy 2代入，得m6（如图3）；将xy 6代入，得m2（如图4） 图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到，那么不论m为何值，当x4时，y

12、都取得最大值对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值第（2）题m8是第（1）题一般性结论的一个特殊性再如，不论m为小于8的任何值，DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程总有一个根的第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性5 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数yx7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点

13、Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 图1 动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，APR的面积有一个时刻等于8观察APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在APAQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，APQ是等腰三角形思路点拨1把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6

14、，因此不存在面积为8的可能3讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况满分解答（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)令，得所以点B的坐标是(7，0)（2）如图2，当P在OC上运动时，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如图3，当P在CA上运动时，APR的最大面积为6因此，当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8图2 图3 图4我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4如图1，在AOB中，B45°，AOB45°，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如图4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴因此A

15、QP45°保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的情况此时点A在PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以BR1，t1我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7在APQ中， 为定值，如图5，当APAQ时，解方程，得如图6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程，得如7，当PAPQ时，那么因此解方程，得综上所述，t1或或5或时，APQ是等腰三角形 图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QPQA时，也可以用来求解 6 2009年江西省中考第25题如图1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB4，BC6，B60&

16、#176;（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PMEF交BC于M，过M作MN/AB交折线ADC于N，连结PN，设EPx当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由 图1 图2 图3动感体验 请打开几何画板文件名“09江西25”，拖动点P在EF上运动，可以体验到，当N在AD上时，PMN的形状不发生改变，四边形EGMP是矩形，四边形BMQE、四边形ABMN是平行四边形，PH与NM互相平

17、分当N在DC上时，PMN的形状发生变化，但是CMN恒为等边三角形，分别双击按钮“PMPN”、“MPMN”和“NPNM”，可以显示PMN为等腰三角形思路点拨1先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD的中位线EF4，这是x的变化范围平行线间的距离处处相等，AD与EF、EF与BC间的距离相等2当点N在线段AD上时，PMN中PM和MN的长保持不变是显然的，求证PN的长是关键图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要3分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题满分解答（1）如图4，过点E作EGBC于G在RtBEG中，B60°，所以，所以点E到BC的距离

18、为（2）因为AD/EF/BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点因此EF是梯形ABCD的中位线，EF4如图4，当点N在线段AD上时，PMN的形状不是否发生改变过点N作NHEF于H，设PH与NM交于点Q在矩形EGMP中，EPGMx，PMEG在平行四边形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH2PQ2在RtPNH中，NH，PH2，所以PN在平行四边形ABMN中，MNAB4因此PMN的周长为4 图4 图5当点N在线段DC上时，CMN恒为等边三角形如图5，当PMPN时，PMC与PNC关于直线PC对称，点P在DCB的平分线上在RtPCM中，PM，PCM30°，所