必修2第2章 第三节 空间直角坐标系2 空间两点间距离 （学案含答案）

1、.高中数学空间两点间间隔 一、考点打破知识点课标要求题型说明空间两点间间隔 1. 理解空间两点间间隔 公式的推导过程和方法；2. 掌握空间两点间的间隔 公式，可以用空间两点间间隔 公式解决简单的问题。解答题注意类比思想的运用，类比平面内两点间隔 公式和中点坐标公式推导和记忆空间中的两点间隔 公式和中点坐标公式。二、重难点提示重点：空间两点间的间隔 公式的应用。难点：空间两点间间隔 公式的推导。考点一：空间中两点间的间隔 1. 空间中一点到原点的间隔 公式推导在空间直角坐标系中，坐标平面上的点Ax，y，0、B0，y，z、Cx，0，z，与坐标原点O的间隔 分别是OA、OB、OC。如图，在空间直角坐

2、标系中，设点Px，y，z在xOy平面上的射影为M，那么点M的坐标是Mx，y，0，PM|z|，OM。根据勾股定理，那么点Px，y，z与坐标原点O的间隔 为OP。2. 空间中两点的间隔 公式推导在空间中，设点P1x1，y1，z1、P2x2，y2，z2，在xOy平面上的射影分别为M、N。那么M的坐标是Mx1，y1，0，N的坐标是Nx2，y2，0，MN。1假设直线P1P2垂直于xOy平面，那么点P1、P2之间的间隔 P1P2|z1z2|。2假设直线P1P2平行于xOy平面，那么点P1、P2之间的间隔 P1P2MN。3假设直线P1P2是xOy平面的一条斜线，根据勾股定理，那么点P1、P2的间隔 P1P2

3、。综上：空间中任意两点P1x1，y1，z1、P2x2，y2，z2间的间隔 P1P2。【核心归纳】空间中两点的间隔 公式的应用1求两点间的间隔 ；2确定点的坐标；3证明三点共线问题；4最值问题。考点二：中点坐标公式平面内两点的中点坐标公式，类似地也可以推广到空间，即对于点P1x1，y1，z1、P2x2，y2，z2，那么线段P1P2的中点Px，y，z的坐标为，。【核心打破】点Px，y，z关于点M，的对称点为。【随堂练习】以A10，1，6，B4，1，9，C2，4，3三点为顶点的三角形是 三角形。答案：根据空间两点间间隔 公式，得AB7，BC7，AC。因为AB2BC2AC2，且ABBC，所以ABC是等

4、腰直角三角形。思路分析：用空间两点间间隔 公式求出AB 、BC、 AC的长度，从而根据三边关系判断形状。技巧点拨：判断三角形的形状一般要么从边的角度，要么从角的角度判断，此题求角困难，从边的角度求出三边长度，再利用边的关系判断三角形的形状。例题1 证明三点共线三点、的坐标分别为、，求证、三点共线。思路分析：要证明、三点共线，只需证明即可。答案：，故、三点共线。技巧点拨：用空间中两点间隔 公式求线段长度，从而证明三点共线除是证明空间中三点共线的方法之一。例题2 确定点的坐标在空间直角坐标系中，A3，0，1，B1，0，3。在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？假设存在，求出点M的坐标；假设不

5、存在，说明理由。思路分析：先假设存在点，设出坐标，把等边三角形转化为方程，并求解。答案：假设在y轴上存在点M0，y，0，使MAB为等边三角形。设坐标原点为O，A、B都在平面xOz上，而y轴垂直于平面xOz，所以OAOM，OBOM，MA，MB，又因OAOB，所以y轴上的所有点都能使MAMB成立，所以只要再满足MAAB，就可以使MAB为等边三角形。因为MA，AB2。所以2，解得y±。故y轴上存在点M，使MAB为等边三角形，此时点M的坐标为0，0或0，0。技巧点拨：探究性问题一般都是假设存在，然后把条件转化，注意几何与代数的转化。利用坐标法求空间几何中的最值问题【总分值训练】如下图，正方形

6、ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上挪动，点N在BF上挪动，假设CMBNa0a。1求MN的长；2当a为何值时，MN的长最小？思路分析：1在立体几何中，假如垂直关系较多，可以考虑建立空间直角坐标系来计算两点之间的间隔 。2由于此题中有互相垂直的三条线段，因此可以建立空间直角坐标系，利用空间两点间的间隔 公式表示出线段MN的长，借助函数知识解决。答案：1平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABCD，AB、BC、BE两两垂直。以B为坐标原点，分别以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴建立如下图的空间直角坐标系，那么Ma，0，1a