课堂导学（3.1.3复数的几何意义）

1、.课堂导学三点剖析一,复数的点表示【例1】 设复数z满足|z|=5，且3+4iz在复平面上对应点在第二四象限的角平分线上，|z-m|=5 mR，求z和m的值.解：设z=a+bia，bR，|z|=5，a2+b2=25.而3+4iz=3+4ia+bi=3a-4b+4a+3bi又3+4iz在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上，3a-4b+4a+3b=0得b=7a.a=±，b=±，即z=±+i，z=±1+7i.当z=1+7i时，有|1+7i-m|=5，即1-m2+72=50.得m=0，m=2.当z=-1+7i时，同理可得m=0，m=-2.温馨提示 由复数的几

2、何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因此在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决.二、复数的向量表示【例2】 平行四边形OABC的三个项点O、A、C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.试求：1表示的复数；2表示的复数；3B点对应的复数.解：1=，AO表示的复数为-3+2i即-3-2i.2=-，表示的复数为3+2i-2+4i=5-2i.3=+=+，表示的复数为3+2i+-2+4i=1+6i，即B点对应的复数为1+6i.温馨提示 此题给出了几何图形及一些点对应的复数.因此，借助加法、减法的几何意义求解.三、复数模的几何意义【例3】 设zC，满足以下条

3、件的点Z的集合是什么图形？1z=4； 22z4.解:1复数z的模等于4，就是说，向量OZ的模等于4，所以满足条件z=4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆.2不等式2z4可化为不等式组.不等式z4的解集是圆z=4内部所有的点组成的集合，不等式z2的解集是圆z=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2z4的点Z的集合.容易看出，点Z的集合是以原点O为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.温馨提示 满足条件z=rr为正常数的点Z的集合是以原点为圆心,r为半径的圆. 把代数问题转化为几何问题，这是数形转化的一种形态，是常用的数学思

4、维方法之一.各个击破类题演练 1 复数x2-6x+5+x-2i在复平面内对应的点在第三象限，务实数x的范围.解:x为实数，x2-6x+5和x-2都是实数.复数x2-6x+5+x-2i在复平面内对应的点在第三象限，解得1x2，即1x2为所务实数x的范围.变式提升 1 复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z1+z2-2i=2z2-1+z1i,求z1和z2.解:由于z1、z2在复平面内的对应点关于原点对称，有z2=-z1，代入等式,得3z1+-z1-2i=-2z1-1+z1i.解得5z1=i.z1=i,z2=-i.类题演练 2 向量表示的复数为3+2i，将向量向上平移3个单位长度，再向

5、左平移2个单位长度，将得到向量，分别写出：1向量对应的复数；2点O对应的复数；3向量对应的复数.解：如下图，O为原点，点A的坐标为3,2，向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后，点O的坐标为-2,3，点A的坐标为1,5，坐标平移不改变的方向和模.1向量对应的复数为3+2i.2点O对应的复数为-2+3i.3向量对应的复数为-3-2i.变式提升 2 两个向量a、b对应的复数是z1=3和z2=-5+5i，求向量a与b的夹角.解:a=3，0，b=-5，5，所以a·b=-15·|a|=3·|b|=5.设a与b的夹角为，所以cos=因为0，所以=.类题演练 3 z=3+ai

6、，且|z-2|<2，务实数a的取值范围.解法1：利用模的定义.从两个条件中消去z.z=3+aiaR.由|z-2|<2，得|3+ai-2|<2，即|1+ai|<2，解之- <a<.解法2：利用复数的几何意义.由条件|z-2|<2可知.z在复平面内对应的点Z，在以2，0为圆心.2为半径的圆内不包括边界，如右图，由z=3+ai可知z对应的点Z在直线x=3上，所以线段AB除去端点为动点Z的集合.由图知：-<a<.变式提升 3 点集D=z|z+1+3i|=1，zC，试求|z|的最小值和最大值.解：点集D的图象为以点C-1，-3为圆心，以1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，那么|OP|=|z|.由图知，当OP过