课堂探究 1.3.3导数的实际应用

1、.课堂探究探究一 收益利润最大问题利用导数解决收益利润最大问题，关键是要建立收益利润的函数关系式，然后借助导数研究该函数的最大值，注意函数定义域的限制以及实际意义【典型例题1】 某公司准备在两个工程上投资在A工程上投资的收益万元与投资额万元的平方根成正比，且当投资额为9万元时，投资收益为2万元；在B工程上的投资收益gt万元与投资额t万元的关系式是gt3ln.该公司现准备在两个工程上共投资350万元，试求该公司的最大总收益思路分析：设在A工程上的投资额为x万元，那么在B工程上的投资额为350x万元，然后将收益表示为x的函数再用导数求解解：设该公司在A工程上的投资额为x万元，依题意，在A工程上的收

2、益为fxk，又当x9时，f92，即k2，所以k，于是fx.这时在B工程上的投资额为350x万元，那么在B工程上的收益为g350x3ln.于是该公司的总收益为hxfxg350x3ln，其中0x350.于是hx·3··，令hx0，得15，即x225，当0x225时，hx0；当225x350时，hx0，所以hx在x225处获得极大值，即最大值，最大值为h2253ln103ln，故该公司最大总收益为万元探究二 费用最低用料最省问题将费用或用料表示为某个变量的函数，然后研究该函数的最值情况多数情况下，用料最省问题会涉及几何体的外表积问题，这时要注意结合平面几何，立体几何中相

3、关的公式求解【典型例题2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元该建筑物每年的能源消消耗用C单位：万元与隔热层厚度x单位：cm满足关系：Cx0x10，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元设fx为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和1求k的值及fx的表达式；2隔热层修建多厚时，总费用fx到达最小，并求最小值思路分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值解：1设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消消耗用为Cx.又C08，k40，因此Cx，而建造费用C1x6x，从而隔热层建造费用

4、与20年的能源消消耗用之和为fx20CxC1x20×6x6x 0x10；2fx6，令fx0，即6，得x15，x2舍去当0x5时，fx0，当5x10时，fx0.故5是fx的最小值点，对应的最小值为f56×570，即当隔热层修建5 cm厚时，总费用到达最小值70万元探究三 面积、体积最大问题求面积、体积的最大值问题是生活、消费中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解【典型例题3】 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，假如所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高

5、为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积思路分析：可设容器的底面的短边长为x m，那么长边的长以及高就可用x表示出来，从而得到容积与x的函数关系式，然后用导数求得最大值解：设容器底面短边的边长为x m，那么另一边长为x0.5m，高为3.22x.由题意知x0，x0.50，且3.22x0，0x1.6.设容器的容积为V m3，那么有Vxx0.53.22x2x32.2x21.6x0x1.6，V6x24.4x1.6.令V0，有15x211x40，解得x11，x2舍去当x0,1时，Vx0，Vx为增函数，x1,1.6时，Vx0，Vx为减函数，V在x0,1.6时取极大值V11.8，这个极大值就是V在x0,1

6、.6时的最大值，即Vmax1.8，这时容器的高为1.2 m，当高为1.2 m时，容器的容积最大，最大值为1.8 m3.探究四 易错辨析易错点无视实际问题中变量的取值范围而出错【典型例题4】 某厂消费一种机器，其固定本钱即固定投入为0.5万元但每消费100台，需要增加可变本钱即另增加投入0.25万元市场对此产品的年需求量为500台，销售收入单位：万元函数为：Rx5xx20x5，其中x是产品售出的数量单位：百台1把利润y表示为年产量的函数；2年产量是多少时，工厂所得利润最大？错解：1由题意知，本钱函数Cx0.50.25x，yRxCx0.50.25xx2x0x52yx，令y0，得x4.75，4.75必为最大值点年产量为475台时，工厂利润最大错因分析：实际问题中，该厂消费的产品数量不一定在500台之内含500台，应有x5的情况，错解无视了此种情况，就出现了错误正解