利用极坐标解圆锥曲线题

1、 利用极坐标解题知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹   以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系   椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： .  其中p是定点F到定直线的距离，p0   当0e1时，方程表示椭圆；   当e1时，方程表示双曲线，若0，方程只表示双曲线右支，

2、若允许0，方程就表示整个双曲线；  当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 则0e1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线当e1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若当 0e1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当 e1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）当 0e1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e1时!方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编 （1） 二次曲线基本量之间的互求例1.（复旦自招）确定方程表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。解法一：解法二：转化为直角

3、坐标（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，1、椭圆中，.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长。同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）若M、N在双曲线同一支上，；若M、N在双曲线不同支上，设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设

4、，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长。（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，由余弦定理可得，整理可得，则因此焦点在x轴的焦点弦长为同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。3、抛物线中，若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|？（图4）解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为例2 已知抛物线y2=2px（p>0），过其焦点且斜率为k的直线交抛物线于A，

5、B两点，求AB长.练习1：过双曲线的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与A、B两点，求解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得 附录直角坐标系中的焦半径公式 设P（x,y）是圆锥曲线上的点，1、若、分别是椭圆的左、右焦点，则，；2、若、分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，；当点P在双曲线左支上时，；3、若F是抛物线的焦点，.利用弦长求面积例3设过椭圆的右焦点的弦AB=8，求三角形AOB的面积。点极径一个为正值一个为负值,长是 或 练习2（08年海南卷）过椭圆的焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式求弦长

6、，然后利用公式直接得出答案。练习3(2005年全国高考理科)已知点为椭圆的左焦点.过点的直线与椭圆交于、两点，过且与垂直的直线交椭圆于、两点，求四边形面积的最小值和最大值.解析：以点为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：设直线的倾斜角，则直线的倾斜角为，由极坐标系中焦点弦长公式知： ，用他们来表示四边形的面积 即求的最大值与最小值由三角知识易知：当时，面积取得最小值；当时，面积取得最大值 利用弦长公式解决常量问题例4过椭圆的左焦点F，作倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若，求椭圆的离心率.简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为则，解得；练习4求过

7、椭圆的左焦点，且倾斜角为的弦长和左焦点到左准线的距离。解：先将方程化为标准形式： 则离心率， 所以左焦点到左准线的距为2。设，代入极坐标方程，则弦长（3） 定值问题例5. 抛物线的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证明：定值。解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为，设将A,B两点代入极坐标方程，得则=（定值）点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有例6经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证为定值。证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为，又设则代入可得 ，则 注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线

8、不成立。注意使用的范围。推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。例7(2007重庆理改编)中心在原点的椭圆，点是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点使证明：为定值，并求此定值解析：以点为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：，设点对应的极角为，则点与对应的极角分别为、，、与的极径就分别是 、 与 ，因此，而在三角函数的学习中，我们知道，因此为定值 点睛：极坐标分别表示、与，这样一个角度对应一个极径就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点推广： 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？例8（2006全国联赛江苏）椭圆的右焦点为F，P1，P2，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且P1FP2=P2FP3=P