北师大版数学八年级知识点总结

1、 北师大版数学(八年级上册)知识点总结 第一章勾股定理 1勾股定理 直角三角形两直角边 a, b的平方和等于斜边 c的平方，即a2 b c2 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b， c有关系a2，b2二c2，那么这个三角形是直角三角形。 2 2 2 3、勾股数：满足a b = c的三个正整数，称为勾股数。 第二章实数 、实数的概念及分类 1、实数的分类 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类: (1) 开方开不尽的数，如 .7,3、2等; (2) 有特定意义的数，如圆周率 n，或化简后含有 n的数，如n +8等； 3 (3) 有特定结构的数，如 0.10100

2、10001等； (4) 某些三角函数值，如 sin60 0等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、 相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是 零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称， 如果a与b互为相反数， 则有a+b=0， a= b，反之亦成立。 2、 绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 (|a| 0)。零的绝对 值是它本身，也可看成它的相反数，若 |a|=a，则a0;若|a|=-a，贝U ab=acb。 注意.a的双重非负性: （5）平方法：设a、b是两负实数，则a2b2二a : b。 五、算术平

3、方根有关计算（二次根式） 1、含有二次根号“;被开方数a必须是非负数。 2、性质: (1) (.、a)2 = a(a _ 0) 厂 a(a K 0) (2) a2 = a = I a(a 0 b0 y JJ k / 图像经过一、二、三象限， y 随x的增大而增大。 0 / x b0 y 1k / 图像经过一、三、四象限， y 随x的增大而增大。 0 x / / K0 y i I 图像经过一、二、四象限， y 随x的增大而减小 0 x b0时，图像经过第一、三象限， y随x的增大而增大； （2） 当k0时，y随x的增大而增大 （2） 当k0时，y随x的增大而减小 6、 正比例函数和一次函数解析式

4、的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 y=kx（k = 0）中的常数 k。确 定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 y =kx b（ k = 0）中的常数k和b。解这类问 题的一般方法是待定系数法。 7、 一次函数与一元一次方程的关系： 任何一个一元一次方程都可转化为： kx+b=0 （ k、b为常数，k工0）的形式. 而一 次函数解析式形式正是 y=kx+b （ k、b为常数，k丰0）.当函数值为0时，？即kx+b=0就与一 元一次方程完全相同. 结论：由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0 （k、b为常数，k工0）的形式.所以 解一元一次方程可以转化为：当一次函数

5、值为 0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线 y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值. 第七章二元一次方程组 1、 二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1的整式方程叫做二元一次方程。 2、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 3、 二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 4二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 5、 二元一次方程组的解法 （1）代入（消元）法（2）加减（消元）法 6、 一次函数与二元一次方程（组）

6、的关系： （1） 一次函数与二元一次方程的关系： 直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程 kx- y+b=0的解 （2） 一次函数与二元一次方程组的关系： 二元一次方程组 = & 的解可看作两个一次函数 丫二-色捲+卫1 丿 b b U2x + b2y = C2 和 y -也Xi 虫 的图象的交点。 b2 b2 当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解； 当函数图象（直线） 平行即无 交点时，说明相应的二元一次方程组无解。 第八章数据的代表 1、 刻画数据的集中趋势（平均水平）的量： 平均数、众数、中位数 2、 平均数 1 （）平均数：一般地，对于n个数XX

7、2，Xn，我们把一（ x2 川Xn）叫做这n n 个数的算术平均数，简称平均数，记为 X。 （2）加权平均数： 3、 众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 4、 中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数 据的平均数）叫做这组数据的中位数。 新北师大版数学（八年级下册）知识点总结 第一章 三角形的证明 1、等腰三角形 （1） 三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等， 对应角也相等 判定： SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三

8、角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三 线合一”） （3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60 度；等边三角形 的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形， 有 3 条对称轴。 判定定理：有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的 三角形是等边三角形。 （4）含 30 度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜 边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直

9、角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三 角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的 逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（ HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作

10、图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点 A、B 为圆心，以大于 AB 的一半长为半径作弧，两弧交于 点 M N;作直线 MN 则直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线。 4、角平分线 （1） 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2） 三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3） 如何用尺规作图法作出角平分线 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 孤1. 一般地,用符号“ V” （或“W”）， “”

11、 （或“”）连接的式子叫做不. O 2.要区别方程与不等式：方程表示的是相等的关系；不等式表示的是不 相等的关系 探 3.准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 大于等于 0（ 0） 0 和正数 不小于 0 非正数 小于等于 0（ 0） 0 和负数 不大于 0 二. 不等式的基本性质 三不等式的解集： 探 1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解一；一个不等式的所有解 组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式 探 2.不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数，与方程的 解不同 O 3.不等式的解集在数轴上的表示： 用数轴表示不等

12、式的解集时，要确定边界和方向： 边界:有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈； 方向：大向右，小向左 四. 一元一次不等式： 探 1.只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是 1像 这样的不等式叫做一.元一次不等式. 探 2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似 ，特别要注意，当不等 式两边都乘以一个负数时，不等号要改变方向. 探 3.解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同 类项；系数化为 1（不等号的改变问题） 探 4.不等式应用的探索（利用不等式解决实际问题） 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即： 审：认真审题,找出题中的不等关系，要抓住

13、题中的关键字眼，如“大 于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解出所列的不等式的解集； 答：写出答案，并检验答案是否符合题意 五. 一元一次不等式与一次函数 六. 一元一次不等式组 探 1.定义：由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组 叫做一元一次 不等式组. 探2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集 如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定 探 3.解一元一次不等式组的步骤： (1) 分别求出不等式组中各个不等式

14、的解集； (2) 利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集 两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b 为实数,且 ab xb 一 j 两大取较大 a b x ca x vb xa 1 . 两小取小 a b x na -X vb axb a b 第三章图形的平移与旋转 、平移 1 、定义 在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为 平移。 2、性质 平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相 等，对应角相等。 二、旋转 1 、定义 在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运 动称为旋转，这个定点称为旋转中心，

15、转动的角叫做旋转角。 2、性质 旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋 转中心的连线所成的角 等于旋转角。 第四章分解因式 一. 分解因式 探 1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式 分解因式. 探 2.因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系： (1) 整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； (2) 因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法 探 1.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来 从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如:ab a

16、c = a(b c) 探 2.概念内涵： (1) 因式分解的最后结果应当是“积”； (2) 公因式可能是单项式,也可能是多项式； (3) 提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，即： ma mb - me 二 m(a b -c) 探 3.易错点点评： (1) 注意项的符号与幕指数是否搞错； (2) 公因式是否提“干净”； (3) 多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉 三. 运用公式法 探 1.如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解 因式的方法叫做运用公式法. 探 2.主要公式： (1) 平方差公式：a2 -b(a b)(a-b) (2)完全平方

17、公式： 2 2 2 a 2ab b = (a b) 2 2 2 a -2ab b =(a -b) O 3.易错点点评： 因式分解要分解到底.如x4-y4 = (x2 y2)(x2-y2)就没有分解到底. 探 4.运用公式法： (1) 平方差公式：应是二项式或视作二项式的多项式；二项式的每项(不 含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方；二项是异号. (2) 完全平方公式： 应是三项式；其中两项同号，且各为一整式的平方；还有一项可正负， 且它是前两项幕的底数乘积的 2 倍. 探 5.因式分解的思路与解题步骤： (1) 先看各项有没有公因式，若有,则先提取公因式； (2) 再看能否使用公式法； (

18、3) 用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解 的目的； (4) 因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解； (5) 因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止 . 四. 十字相乘法： 探 1.对于二次三项式ax2 bx c,将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘 a1 C1 a / 积，a = a1日2 , c = G C2, 且满足b = &C2 a2&,往往写成 2 二次三项式进行分解 C2的形式，将 如:ax2 bx c = Qx c1 )(a2x c2) 探 2.二次三项式x2 px q的分解： p 二 a b

19、q 二 ab 1 a x2 px q = (x a)(x b) l/ b 探3.规律内涵： (1) 理解：把x2 px q分解因式时，如果常数项 q 是正数,那么把它分 解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数 p 的符号相同 (2) 如果常数项 q 是负数,那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较 大的因数与一次项系数 p 的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的 和是不是等于一次项 系数 p. 探 4.易错点点评： (1) 十字相乘法在对系数分解时易出错； (2) 分解的结果与原式不等，这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是 否正确. 第五章分式 一.分式 探 1.两个整数不能整除时

20、，出现了分数；类似地,当两个整式不能整除时，就 出现了分式. 整式 A 除以整式 B,可以表示成的形式.如果除式 B 中含有字母, B 那么称-为分式,对于任意一个分式，分母都不能为零. B r整式 探 2.整式和分式统称为有理式，即有： 有理式丿八亠 .分式 探 3.进行分数的化简与运算时，常要进行约分和通分，其主要依据是分 数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的 值不变 A go) B B M B B- M 探 4. 一个分式的分子、分母有公因式时，可以运用分式的基本性质，把 这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式，也就是把分子、分母的公 因式约去

21、,这叫做约分. 二.分式的乘除法 探 1.分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分 式除以以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 测 A C AC AC AD AD 即： ， BDBD BDBCBC 探 2.分式乘方，把分子、分母分别乘方. 探 3.分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 三.分式的加减法 探 1.分式与分数类似，也可以通分.根据分式的基本性质，把几个异分 母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 探 2.分式的加减法： 分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的分式相加减与异分 母的分式相加减. (1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； A B A 十 B 上述法则用式子表示是：上二出 B C C C (2)异号分母的分式相加减，先通分,变为同分母的分式，然后再加减； A C AD BC AD 二 BC 上述法则用式子表示是:- B D BD BD BD An B7 (n 为正整数) 逆向运用 An fA、n 6，当n为整数时，仍然有戸 An 刁成立. 即: 探 3.概念内涵： 通分的关键是确定最简分母，其方法如