初中数学竞赛辅导 整数问题选讲

1、第1讲 整数问题选讲【例l】 求一个最小的正整数，使它的是平方数，是立方数，是五次方数分析与解 因为这个整数的，是整数，所以它一定能被2、3、5整除，再考虑这个整数的最小性要求，它应具有形式：又因为 是平方数，则均为偶数因为 是立方数，则均为3之倍数因为 是5次方数，则为5之倍数进而知 a是3和5的倍数，且a为奇数，则a最小为15；b是2和5的倍数，且b被3除余l，则b最小数为l0；c是2和3的倍数，且c被5除余l，则c最小数为6；故所求数为 【例2】能同时表示成连续9个整数之和、连续l0个整数之和及连续11个整数之和的最小正整数是哪个?分析与解 设所求正整数为A，则依题意A可表示为(其中p，

2、n，k均为整数)： 由、可得： 再由、知n是11的倍数，且除以9余8故n最小可取44所以A的最小值为10×44+55=495【例3】有一个三位数，能被35整除，并且各位数字之和为l5，求这个数分析与解 设所求三位数为，则有 , 因为35N，当然有5N，故c=0或c=5当c=0时，有 由7N知 73. 从而72a+l 因为 a + b=15 ， 所以 6a9，故满足72a+l 的a不存在当c=5时，有 由7N推出76a. 显然当a =7时成立这时b=3，故所求三位数为735【例4】一个两位数除以它的反序数所得的商恰好等于余数，求这个两位数分析与解 设这个两位数为，则由题意可得： (其中

3、q为自然数)变形为 以下就q的取值进行讨论：(1)，有，不可能成立；(2)，有这时y为偶数： 时，时，均不可能成立；(3)，有，不存在x、y；(4)，有这样的x、y也不存在；(5)，有，即无解综上所述，所求两位数为52【例5】一整数a若不能被2和3整除，则必能被24整除分析与解 因为，所以需往证 24 因为a不能被2整除则a为奇数即a可表示为： (k为整数)所以 能被8整除又 为连续三整数之积，必能被3整除，而a不能被3整除，则一定能被3整除由(3，8)=1，知能被3×8=24整除即证【例6】若整数a、b、c、d和m使能被5整除，且d不能被5整除，证明：总可以找到这样的整数n，使得也

4、能被5整除分析与证 设 消去d得： 又由题设d不能被5整除，知m不能被5整除，故m的取值有下列四种情形： ，此时取，此时取 ，此时取 ，此时取都能有5，即有5从而5 B即对任何的m，都可找到相应的m，使5B【例7】试求一个三位数，使得它的平方的末三位数字仍是分析与解 由题意我们作它应为1000的倍数而1000 = 8×125因为(8，125)=1, ，所以由l000推出 8，125 或 125，8由125，知=126，251，376，501，626，751；这里仅有，使8由125 ，知=125，250，375，50'0，625，750，这里仅有时，使8.所以满足条件的三位数有

5、376和625【例8】如果a为合数，则a的最小质因数一定不大于分析与证 设，其中q为最小质因数若，显然同时也有. 则矛盾，所以结论成立说明 这一结论表明，合数a一定是不大于的质数的倍数换句话说，如果所有不大于的质数都不能整除a (al)，那么a一定是质数这就给出了判断一个数是不是质数的一种方法，如判断191是不是质数，由于<14，小于14的质数2，3，5，7，11，13都不能整除191，所以191是质数利用这种方法，可以求出不大于a的所有质数例如求50以内的所有质数由于不大于<8的质数有2、3、5、7，可在2，3，4，50中依次划去2、3、5、7的倍数(保留2、3、5、7)最后余下

6、的数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47就是50以内的全体质数这就是著名的爱拉托斯散素数筛选法 · 思考 用爱拉托斯散筛选法求出100以内的所有质数【例9】如果和都是质数，求证：也是质数分析与解 按整数除以3的余数对P进行分类讨论：当时，为合数，故当时，为合数，故于是，由P为质数，仅有P=3，为质数，也为质数所以只要P和为质数，也为质数【例l0】有两个两位数，它们的差为56，它们的平方末两位数相同，求这两个数分析与解 设这两个数为，则有。即有4。又由题设有100，从而25不妨设 。进而有由于a、b是两位数(a>b)，所以.即n<

7、;6, 且n为偶数，即有或n=4经验证当n=4时，故所求两个数为78，22【例11】 把一个两位质数写在另一个两位质数后而得到一个四位数，已知这个四位数恰能被这两个质数之和的一半整除，试求所有这样的四位数分析与解 设这两个两位质数分别为, . ，由题设可得： (m为整数)即因为 所以由x，y是两个不同的两位质数，知x，y是两位奇数，且, 从而是偶数，且又, 则只有.而故符合条件的四位数有8个：1353, 5313, 1947, 4719，2343，4323，2937，3729【例l2】 已知a和b都是自然数，且。求证：(1) 或3;(2)若，求a和b分析与解 (1)设 (要求d=1或3)，则有

8、 (m，n为自然数，由得： 由得 因为 所以d3，或d a，或db当d3时，d=1或d=3，当da或db时，同时有da+b，所以da，db，由, 知d=1故或3由知： 或由此求得 或即所求两数为7和17【例l3】设是两个不同时等于0的整数，且是形如(x和y都是整数)的数中的最小者求证：.分析与证 要证 。可要证dd为此，一方面，设即 这说明，也是形如的数，由于，只有所以 。 因是任意整数，分别取和，必有即有另一方面，由，知a、b的每一个约数也是d的约数，当然有故【例l4】 如果a、b都是正整数，那么在这b个数中，能被b整除的数的个数等于试证之分析与证 设(a，b)=d，则 其中考察数列. 即即

9、所以由于(m，n)=1，要使这b个数中一些数是整数，必须是1，2，3，dn这b个数中的数能被n整除而在1，2，3，dn这b个数中能被n整除的数的个数为故在中能被b整除的数的个数为【例l5】设是一个质数，求证：分别被除所得的余数各不相同。分析与证 假设有两个正整数。使、被除所得的余数相同，则有，两式相减得 即 从而有 此式是不可能成立的，因为 为质数故被除所得的余数不可能相同能力训练 1一个四位数是奇数，它的首位数字小于其余各位数字，而第二位数字大于其他各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这个四位数 2有四个互异的正整数，最大数与最小数之差是4，最大数与最小数之积是奇数，而这四个数

10、的和是最小的两位奇数，则这四个数的乘积是多少? 3如果a<b<c<d<e是连续五个正整数，b+c+d是完全平方数，a+b+c+d+e是完全立方数，求c的最小值 4如果m(m1)=7n2，求证：m是平方数 5若P与q皆为大于3的质数，P2q224，求证：P2q2能被24整除 6有一个两位自然数p，如果对于任何一个能被P整除的六位数，它的前三位数与后三位数所成的两数之和也是p的倍数，那么p的值是多少? 7求证：连续三个奇数的平方和加1能被l2整除 8求证：对任意自然数n，2×7n+1能被3整除 9若(mp)(mn+pq)，求证：(mp)mq+np 10求证：l00

11、000001能被ll整除 11求证：若d2n2(d>o)，则n2+d不是平方数 12一个四位数具有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得一平方数(如果它的十位数字是0，就用个位数字去除)，且l这个平方数正好是前两位数加1的平方例如4802÷2=2401=492 =(48+1)2则具有上述性质的最小四位数是几? 13三个质数的乘积恰好等于它们和的5倍，求这三个质数 14求伞质数P，使P+14，P+28都是质数，并证明满足条件的质数是唯一的 15求两个自然数，使它们的和是一个每位数字相同的二位数，它们的积是一个每位数字相同的三位数 16已知两数的平方和为900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数 17试证：任给五个整数，必能从中选出3个数，使得它们的和能被3整除 18任给七个不同的整数，证明其中必有两个数，其和或差是10 的倍数 19若(a，b)=1，证明：(a+b，ab)=1或220已知自然数1，2，3，1991(1)把这l991个自然数分组，I使得每一组至少有个是1 1的倍数，且至少有一组中含有两个同是11的倍数；(2)按上述分组方法，把每一组中是ll的倍数的自然数取出来，其和记为s，则s必是91的倍数 21甲、乙两人做同一数