全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

1、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，满分32分，每个小题所给四个选项中只有一个符合题目要求，把所选选项前的字母填在题后的括号内 （1）极限等于 （） 1； ； ； . 解题步骤：因为，所以选。 （2）设函数由方程确定，其中为可微函数，且，则等于 （） ； ； ； （）. 解题步骤:,解得； ，解得 ，所以选. （3）设为正整数，则反常积分的收敛性 （） 仅与有关； 仅与有关； 与都有关； 与都无关. 解题步骤：显然反常积分有两个瑕点与， =+， 显然的收敛性与有关，当时收敛，当时发散； 的收敛性与有关，所以此题选. （4）等于 （） ; ; ; .

2、解题步骤：=，因为， 所以 =, 所以此题选。 （5）设是矩阵，是矩阵，且，其中为阶单位矩阵，则 ； ； ； . 解题步骤：，因为且，所以，又显然，故，所以此题选。 （6）设是4阶实对称矩阵，且，若，则相似于 ; ; ; . 解题步骤：令则，因为，即， 所以，从而，注意到是非零变量，所以的特征值为0和-1，又因为为可对角化的矩阵，所以的秩与的非零特征值个数一致，所以的特征值为-1,-1, -1, 0，于是，所以此题选。（7）设随机变量的分布函数为，则等于 0； ； ； . 解题步骤：， 所以本题选。（8）设为标准正态分布的概率密度函数，为-1,3上均匀分布的概率密度函数，若 ，则满足 ； ；

3、； . 解题步骤：， 因为为概率密度函数，所以， 而 所以，即，所以此题选。二 、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （9）设，则0. 解题步骤： = 所以0，所以此题选。 （10）=. 解题步骤： = = （11）已知曲线的方程为，起点为，终点为，则=0. 解题步骤：=. （12）设，则的形心坐标=. 解题步骤：， 而， ，所以 （13）设，若由形成的向量组的秩为2，则6. 解题步骤： 因为由组成的向量组的秩为2，所以6.（14）设随机变量的分布为则2. 解题步骤：由归一性得，即所以。 即随机变量服从参数为的泊松分布，于是， 故。三、解答题：1523小题

4、，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15)（本题满分10分）求微分方程的通解. 解：先求方程的通解 由特征方程解得特征根所以方程的通解为再求的特解.；设特解为，则代入原方程，解得，故特解为故方程的通解为 . （16）（本题满分10分）求函数的单调区间与极值. 解： 所以令，则，又，所以是极大值.所以为极小值因为当时，； 时，；时，；时，.所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （17）（本题满分10分）（1）比较与 的大小，说明理由； （2）记 ，求极限. 解：（1）当时， 所以，所以， 所以 （2）所以由，因为=0，根据夹逼定理可得=0，所

5、以=0. （18）求幂级数的收敛域及和函数.解：令，=则=要使，则，所以时级数收敛；当时，由莱布尼茨判别法知，此级数收敛，故原级数的收敛域为；=，其中=，而，所以，故=。 （19）设为椭球面上的动点，若在点处的切平面与平面垂直，求点的轨迹，并计算曲线积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分.解：令的坐标为，由得在点处的平面法向量为，因为在点处的切平面与平面垂直，所以就有，又因为，所以点的轨迹方程为.，将向平面投影，则，两边对求导得，解得；两边对求导得，解得. =于是.（20）设，已知线性方程组存在两个不同解。 （1）求； （2）求的通解。 解：（1）已知有两个不同的解，又，即，知或.当时，此时，无

6、解，当时，代入有，得.（2）则原方程组等价为，即，所以，所以的通解为为任意常数。 （21）已知二次型在正交变换下的标准型为，且的第三列为. （1）求矩阵； （2）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。 解：（1）由于二次型在正交变换下的标准型为，所以的特征值为 由于的第三列为，所以对应于的特征向量为因为为实对称矩阵，所以的不同特征值对应的特征向量正交，令对应的特征向量为，由的对应的线性无关的特征向量为。令，则，由得。（2）因为是实对称矩阵，且的特征值为，所以的特征值为，因为其特征值都大于零，所以为正定矩阵。 （22）设二维随机变量的联合密度函数为 求及。 解：由归一性可得，又因为 所以 所以. 的边缘概率密度为 条件概率密度为 （23）设总