六年级奥数 数论余数问题ABC级学生版

1、余数问题知识框架一、 带余除法的定义及性质1、 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有a÷b=qr，也就是ab×qr,0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数

2、一定要比除数小。2、 余数的性质 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数； 余数小于除数二、 三大余数定理：1. 余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+1639除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+1942除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22. 余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。例如：23，16除以5的余数分别

3、是3和1，所以23167除以5的余数等于2，两个余数差3 12.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23149除以5的余数等于4，两个余数差为35443. 余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×13。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m

4、的余数相同，那么与除以m的余数也相同三、 弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余

5、数一定与等式右边和除以9的余数相同。而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所 以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的

6、除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的。但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。四、 同余定理1、 定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。2、 重要性质及推论：（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除例如：与除以的余数都是，所以能被整除（2）用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab)3、 余数判

7、别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数1) 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；2) 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；3) 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；4) 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；5) 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之

8、和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；6) 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数重难点理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了例题精讲【例 1】 除以一个两位数，余数是求出符合条件的所有的两位数【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【例 2】 有一个三位数，其中个位上的数是百

9、位上的数的3倍。且这个三位数除以5余4，除以11余3。这个三位数是_ 【巩固】 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_.【例 3】 甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数【巩固】 当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1那么，n最小是多少？【例 4】 除以13所得余数是_.【巩固】 除以41的余数是多少？【例 5】 著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【巩固】 有一列数：1，3，9，25，69，189，517，其中第一个数是1，第二个数是3

10、，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是 【例 6】 将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：Aa共有_位，数a除以9的余数是_。【巩固】 将依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 _【例 7】 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_【巩固】 用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=_【例 8】 在图表的第二行中，恰好填上这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3【巩固】 求除以17的余数【例

11、9】 求的所有自然数中，有多少个整数a使与被7除余数相同？【巩固】 今天是星期四，天之后将是星期几？【例 10】 除以7的余数是多少？【巩固】 被除所得的余数是多少？【例 11】 3个三位数乘积的算式 (其中)， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的是多少？【巩固】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。【例 12】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是_. 【巩固】 有一个自然数，除345和543所得的余数

12、相同，且商相差33求这个数是多少？【例 13】 有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.【巩固】 有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?【例 14】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、，求这个自然数和的值. 【巩固】 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_.【例 15】 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？【巩固】 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？课堂检

13、测【随练1】 除以某个整数后所得的商恰好是余数的倍，那么除数最小可能是 。【随练2】 的余数是多少？【随练3】 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？【随练4】 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_千克【随练5】 求的最后两位数家庭作业【作业1】 在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有_个.【作业2】 有三个自然数，已知除以，得商3余3；除以，得商9余11。则除以，得到的余数是 。【作业3】 有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？【作业4】 已知，问：除以13所得的余数是多少？【作业5】 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够问：第二组有多少人? 【作业6】 六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，