初2104根式方程组的解法

1、第2104讲 根式方程（组）的解法一、知识和方法要点l 如果方程（组）含有根式，且根号内含有未知数，则称这样的方程（组）为根式方程（组）或称这样的方程（组）为无理方程（组）。根式方程（组）有着广泛的实际应用，例如，在用代数法解直角（斜）三角形时，所列出的方程（组）就可能是根式方程（组）。解根式方程（组）的基本思想是通过去根号将其转化为整式方程来解。l 化根式方程（组）为整式方程的基本方法1）平方法：采用将方程的两边平方的手段，去掉根号；2）配方法：采用配方的手段，或利用非负数性质或将配方的底数整体解出去；3）共轭根式法：利用共轭根式的性质，去掉根号；4）换元法：用新变元整体代替根式，去掉根号；

2、5）不等式排除法：利用不等式排除不是方程的解的实数，从而确定方程的解。l 在解根式方程（组）时，由于要去掉根号，将方程的两边平方，这样，使解出的解是另一个方程的解（方程的解可能是方程的解，也可能是方程的解），故有可能产生不适合原方程的根，这样的根称为根式方程（组）的增根。l 在解根式方程（组）时的注意事项1）在将根式方程（组）转化为整式方程时，为减少不必要的计算，应根据原根式方程（组）的特点，采用相应的化简方法和技巧；2）解根式方程（组）时，验根是必不可少的步骤；3）解含字母系数的根式方程（组）时，应对字母系数进行讨论。二、典型题例选讲例1 设a，b是有理数，且满足等式，则的值是（ ）。A.

3、2 B. 4 C. 6 D. 8（2006年全国初中数学联赛第一试试题；根式方程；有理数和无理数性质）【分析】 题中的条件a，b是有理数建议我们利用有理数和无理数的性质解题。首先应将右边的复合二次根式进行化简。【解答】 选B。因为，由实数性质得 。所以，。【评注】 利用有理数和无理数的性质解题。例2 解方程：。（解根式方程；平方法）【分析】 这是一个关于x的根式方程。通常的方法是：通过将方程的两边平方的手段，去掉根号，把方程变成整式方程来解。【解答】 移项 ，两边平方得 ，整理得 ，再两边平方得 ，即 ，解之得 。经检验是增根，是原方程的根。所以，原方程的解为。【评注】 解分式方程（组）时，验

4、根是必不可少的步骤。例3 设实数x，y，z满足，求x，y，z的值。（解根式方程；配方法）【分析】 将条件式看成根式方程，由于要从一个方程解出三个未知数x，y，z，故可考虑采用配方法进行解题。【解答】 移项 ，配方得 ，故 ，解得 。经检验，是原方程的解。【评注】 与有理方程类似，可通过配方法解多个未知数方程。例4 求所有的实数，使得。 （解根式方程；平方法，配方法）【分析】 本题要求解一个关于x的根式方程，如果通过将方程的两边平方的手段，去掉根号，方程将变得复杂，第二步采用配方，简化运算。【解答】 移项 ，两边平方得 ，整理得 ，两边除以x，得 ，配方得 ，于是 ，两边乘以x，得 ，解之得 。

5、注意到，所以。经检验，是原方程的解。【评注】 解答中利用二次方程的求根公式求根。例5 解方程：。 （解根式方程；配方法，分解因式法）【分析】 观察到，首先考虑将方程移项后进行配方，然后再分解因式使方程得到化简，最后按常规解法，两边平方去掉根号化为整式方程来解。【解答】 将方程化为 ，第一个括号配方得 ，分解因式得 ，于是 。两边平方后，解得。经检验，是原方程的根。【评注】 解答中利用二次方程的求根公式求根。例6 解方程：。（解根式方程；配方法，分解因式）【分析】 这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】 将方程变形 ，

6、两边配方得 ，于是 。1）由前一个方程得 ，分解因式得 ，于是 ，解之得 。2）由后一个方程得 ，此方程无解。经检验，都是原方程的根。【评注】 解答中第一次两边配方，精彩。例7 解方程：。（解根式方程；共轭根式法）【分析】 因为，可将方程的分母简单地去掉。又因为，据此可较简单地解出方程的根。【解答】 将方程变形为 ，即 ， （1）因为，故得， （2）（1）、（2）两式相减得 ，即 ，两边平方得 ，解之得 。经检验，是原方程的根。【评注】 解答中利用共轭根式的性质简化了运算。例8 解方程：。（解根式方程；换元法）【分析】 这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式

7、子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】 令，则原方程变为 ，分解因式 ，解之得 （舍去），于是 ，即 ，分解因式得 ，解之得 ，经检验，都是原方程的根。【评注】 当解出y后，就考虑将小于零的y舍去，减少计算量。例9 解方程：。（解根式方程；换元法）【分析】 这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】 令，则，代入原方程得 ，两边立方得 ，即 ，于是 ，第二个方程即 ，解之得 。还原得 。经检验，都是原方程的根。【评注】 当解出y后，就考虑将小于零的y舍去，减少计算量。例10 解方程：。（解根式方程；换元法）【分析】

8、这是一个关于x的根式方程。观察方程的特点，由根号内的式子的系数与根号外的式子的系数的关联性，采用换元法解题。【解答】 左边通分得 ，即 ，于是 ，解之得 ，经检验，都是原方程的根。【评注】 解答中方程两边开6次方，应得。例11 解方程：。（解根式方程；不等式排除法）【分析】 观察得此方程的根必为正数，且是它的一个根，如果能够说明任意的实数x必不是此方程的根，即可确定原方程只有一个实根。【解答】 易知此方程的根必为正数，且是它的一个根。1）如果，则，即，于是 ，表明x不是方程的根。2）如果，则，即，于是 ，表明x不是方程的根。综上所述，方程只有一个根。【评注】 这种间接解方程的方法值得注意。例1

9、2 解关于x的方程。（含字母系数根式方程，讨论）【分析】 将原方程两边平方，并化简得，由此得，但必须注意下一步应该将此解代入方程验证，才能得到正确的解答。【解答】 将原方程两边平方，并化简得 ，由此得 ，解之得 。1）当时，即只有时才是方程的解；2）当时，即只有时才是方程的解。所以，当时，方程的解为，当时，方程的解为。【评注】 解含字母系数的根式方程（组）时，应对字母系数进行讨论。例13 解方程组：。（解根式方程组，换元法）【分析】 这是一个关于x的根式方程组。观察方程组的特点，采用换元法解题，令，将方程组变为整式方程。【解答】 令，不妨设，则原方程组变为 ，因为，故 。解方程组 ，解之得 。经检验，是原方程的根。所以，原方程组的解为。【评注】 先作有序界定，再将解得的解轮换，得到全部解。例14 解方程组。（解根式方程组，消元法）【分析】 观察方程的右边的特点，由于可以消去x，故将两方程相乘，消去x得，由此先解出y。【解答】得： ，两边平方得 ，解之得 。代入得 ，两边平方得 ，解之得 。经经验，是原方程组的解。【评注】 解根式方程组的基本思想还是消元。三、同步练习题1. 设正整数a，m，n满足，求a，m，n的值。