函数值域的求解方法_第1页
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文档简介

1、值域的求解一、知识梳理:1、函数值域的定义:在函数中,与自变量x的值对应的y的取值的集合,叫做函数的值域。2、函数的最值:对于函数,.若对于任意的都有M(M)且存在,使得成立,则M叫做的最大(小)值.统称函数的最值。3、确定函数的值域的原则:当函数是用表格给出时,其值域是表格中所有实数y的值的集合。当函数是以图像给出时,函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的值的集合。函数用解析式给出时,函数的值域由定义域及其对应法则唯一确定。当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。4、常用方法:、基本函数性质法(直接法) 对于基本初等函数以及由它们组成的简单函数的值域的求解,常利用函

2、数的单调性及 不等式的性质直接观察求解。例1:求下列函数的值域:(1) (2) (3) (4) (5)函数的定义域是,则其值域为 (6)函数=的值域是 练习:1、设函数的定义域为R,有下了三个命题: 若存在常数M,使得对任意,有M,则M是函数的最大值。 若存在,使得对任意,且,都有,则是函数的最大值。 若存在,使得对任意,有,则是函数的最大值。 其中正确的是( ) A. B. C. D. 2、若函数=在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍,则a= 3、函数=在0,1上的最大值和最小值之和为a,则a= .配方法:针对于给定区间上的二次函数或形如“的函数值域的求解,其关键是分析对称轴与所给定义域的

3、关系。例2:求下列函数的值域: =, 设,求函数=的最值。 已知=2+ 求函数的最大值。练习:1.函数=在上的值域为-5,4,则m+n的值所成的集合为( ) A,0,6 B.-1,1 C.1,5 D.1,72. 函数=2+,的值域为 3. 若不等式对一切恒成立,则a的取值范围是 4.已知函数在闭区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的最值范围是( ) A. B. C. D. 换元法:运用代数或三角代换,将所给函数转化成值域容易确定的另一类函数,从而求得值域的方法,一般地,形如:(a,b,c,d均为常数,且ac0)的函数常用代数换元,函数中出现或得条件或某些特定的条件最值问题常用三角函数换元.例

4、3:求下列函数的值域 例4:已知实数x,y满足,求2x+y的取值范围 若x+y+C0恒成立,求实数C的取值范围。练习: 1.求下列函数的值域 2. 已知,求2x+3y的取值范围。3. 求证: 4.已知函数的最大值为,最小值为,则的值为( ) (A)(B)(C) (D). 分离常数法:针对形如= (a,c均不为0)的函数值域的求解(除外,x没有其他限制条件)处理方法:将分子化为分母的一次函数形式,利用分数的运算法则还原,使得自变量在分子中消失,把自变量的系数分离出来。 例5:求函数=的值域 练习: 1.求下列函数的值域: 2.若=在上单调递减,则实数a的取值范围 . 判别式法:把原函数转化为关于

5、x的二次方程,通过方程有实根,判别式,从而求得原函数的值域,一般地形如:,(不同时为0)的函数值域常用此法求得。 注意:若的分子,分母有公因式可约,则约去公因式后应用分离常数法,但要注意约去公因式的条件,要将此条件下的x值代入约取公因式后的式子中,求出相应的y值后在值域中排除。 例6:求函数的值域. 例7:已知=的值域为-1,4,求a,b的值。 . 不等式法:利用基本不等式,求函数值域方法.要注意“一正二定三相等缺一不可。一般的特定结构的二元条件最值问题常用此法。 例8:求下列函数的值域 (x>0) (0<x<5) 的最小值是 . 例9: 已知,求函数的最大值。 已知x>

6、;0,y>0.且,求x+y的最小值。已知a>0,b>0,求的最大值.当a,b且a+b=3,求的最大值. 练习:1.若不等式x2+ax+10对一切x成立,则a的最小值为( ) A.0 B .-2 C. D .-3 2 .函数y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,则的最小值为         . . 导 数 法:设的导数为由可求得极值点坐标,若函数定义域为a,b,则最值必为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值,再者,开区间上的函数,

7、若极值点只有一个,则该极值就是最值。若开区间上的函数若极值点在两个或两个以上,则应结合函数的定义域及解析式分析出函数的大致图像,观察求解。 例10:已知= (1)求的单调递减区间;(2)若在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值。 例11:已知=是奇函数 (1)求a,b的值。 (2)求的单调区间,并加以证明 (3)求的值域。练习: 1. 求函数=的值域. 图像法:(数形结合法). 针对指数、对数函数、含绝对值的函数,以及最大或最小函数的最值问题或与之有关 的大小比较问题。 例12:对于a,b,记函数=的最小值是( ) A. 0 B. C. D. 3练习:1. 定义 则函数=的值域为 .2. 对任意的函数,在公共定义域内,规定=,若=3-x, =,则*的最大值为 .3. 已知函数=,=1-,则F(x)有最 值 ,无最 值。4.已知,则a,b,c的大小关系为: .5.若则a,b,c

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