函数值域的求解方法

1、值域的求解一、知识梳理：1、函数值域的定义：在函数中，与自变量x的值对应的y的取值的集合，叫做函数的值域。2、函数的最值：对于函数，.若对于任意的都有M(M)且存在,使得成立，则M叫做的最大（小）值.统称函数的最值。3、确定函数的值域的原则：当函数是用表格给出时，其值域是表格中所有实数y的值的集合。当函数是以图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的值的集合。函数用解析式给出时，函数的值域由定义域及其对应法则唯一确定。当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。4、常用方法：、基本函数性质法（直接法） 对于基本初等函数以及由它们组成的简单函数的值域的求解，常利用函

2、数的单调性及 不等式的性质直接观察求解。例1：求下列函数的值域：（1） （2） （3） （4） (5)函数的定义域是，则其值域为 （6）函数=的值域是 练习：1、设函数的定义域为R,有下了三个命题： 若存在常数M，使得对任意,有M，则M是函数的最大值。 若存在,使得对任意，且，都有，则是函数的最大值。 若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值。 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 2、若函数=在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍，则a= 3、函数=在0,1上的最大值和最小值之和为a,则a= .配方法：针对于给定区间上的二次函数或形如“的函数值域的求解，其关键是分析对称轴与所给定义域的

3、关系。例2：求下列函数的值域： =， 设，求函数=的最值。 已知=2+ 求函数的最大值。练习：1.函数=在上的值域为-5,4,则m+n的值所成的集合为（ ） A,0,6 B.-1,1 C.1,5 D.1,72. 函数=2+，的值域为 3. 若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是 4.已知函数在闭区间0,m上有最大值3，最小值2，则m的最值范围是（ ） A. B. C. D. 换元法：运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一类函数，从而求得值域的方法，一般地，形如：（a,b,c,d均为常数，且ac0）的函数常用代数换元，函数中出现或得条件或某些特定的条件最值问题常用三角函数换元.例

4、3：求下列函数的值域 例4：已知实数x,y满足，求2x+y的取值范围 若x+y+C0恒成立，求实数C的取值范围。练习： 1.求下列函数的值域 2. 已知，求2x+3y的取值范围。3. 求证： 4.已知函数的最大值为,最小值为,则的值为( ) (A)(B)(C) (D). 分离常数法：针对形如= (a,c均不为0)的函数值域的求解（除外，x没有其他限制条件）处理方法：将分子化为分母的一次函数形式，利用分数的运算法则还原，使得自变量在分子中消失，把自变量的系数分离出来。 例5：求函数=的值域 练习： 1.求下列函数的值域： 2.若=在上单调递减，则实数a的取值范围 . 判别式法：把原函数转化为关于

5、x的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域，一般地形如：，（不同时为0）的函数值域常用此法求得。 注意：若的分子，分母有公因式可约，则约去公因式后应用分离常数法，但要注意约去公因式的条件，要将此条件下的x值代入约取公因式后的式子中，求出相应的y值后在值域中排除。 例6：求函数的值域. 例7：已知=的值域为-1,4,求a,b的值。 . 不等式法：利用基本不等式，求函数值域方法.要注意“一正二定三相等缺一不可。一般的特定结构的二元条件最值问题常用此法。 例8：求下列函数的值域 （x>0） （0<x<5） 的最小值是 . 例9: 已知,求函数的最大值。 已知x>

6、;0,y>0.且，求x+y的最小值。已知a>0,b>0,求的最大值.当a,b且a+b=3，求的最大值. 练习：1.若不等式x2+ax+10对一切x成立，则a的最小值为（ ） A.0 B .-2 C. D .-3 2 .函数y=loga(x+3)-1(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，则的最小值为         . . 导 数 法：设的导数为由可求得极值点坐标，若函数定义域为a,b,则最值必为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值，再者，开区间上的函数，

7、若极值点只有一个，则该极值就是最值。若开区间上的函数若极值点在两个或两个以上，则应结合函数的定义域及解析式分析出函数的大致图像，观察求解。 例10：已知= （1）求的单调递减区间；（2）若在区间-2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。 例11：已知=是奇函数 （1）求a,b的值。 （2）求的单调区间，并加以证明 （3）求的值域。练习： 1. 求函数=的值域. 图像法：（数形结合法）. 针对指数、对数函数、含绝对值的函数，以及最大或最小函数的最值问题或与之有关 的大小比较问题。 例12：对于a,b,记函数=的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 3练习:1. 定义 则函数=的值域为 .2. 对任意的函数，在公共定义域内，规定=，若=3-x, =,则*的最大值为 .3. 已知函数=，=1-，则F(x)有最 值 ，无最 值。4.已知，则a,b,c的大小关系为： .5.若则a,b,c