全国高中数学联赛模拟卷(5)(一试+二试,附详细解答)

1、2011年全国高中数学联赛模拟卷(5)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_考试号：_得分：_一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）_1. 正八边形边长为1，任取两点，则最大值为_2. 若，则_3. 若关于的方程的两个实数根满足则的最小值为_, 最大值分别为_4. 设双曲线1右支上一动点，过向两条渐近线作垂线，垂足分别为点，若点始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率的取值范围是_.5. 对于实数，表示不超过的最大整数。对于某个整数，恰存在2008个正整数，满足，并且整除，则=_.6. A、B两队进行乒乓球团体对抗赛，每队各三名队员，每名队员出场一次。A队的三名队员是，

2、B队三名队员是B1, B2, B3,，且对的胜率为(1i, j3)，A队得分期望的最大可能值是_.7. ABC的三边长分别为13, 14, 15, 有4个半径同为的圆O, O1, O2, O3放在ABC内，并且O1与边AB、AC相切，O2与边BA、BC相切，O3与边CB、CA相切，O与O1, O2, O3相切, 则=_.8. 设都是正整数，且，则的个位数字是_二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9已知：实数满足，证明：10. 已知数列由确定, 若对于任意，恒成立。求得最小值。11. 在双曲线C：1中，分别为双曲线C的左右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内

3、的点，的重心为G，内心为I. (1) 是否存在一点P, 使得IG|；(2) 已知A为双曲线C的左顶点，直线过右焦点与双曲线C交于M，N两点，若AM，AN的斜率满足，求直线的方程.2011年全国高中数学联赛模拟卷(5)加试(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_考试号：_得分：_ANMDBOC一、（本题满分40分）如图O切ABC的边AB于D，切边AC于C，M是BC上一点，AM交DC于点N，求证：M是BC中点的充要条件是二、（本题满分40分）有一个的长方体盒子, 另有一个的长方体盒子, 其中均为正整数(), 并且前者的体积是后者一半, 求的最大值.三、（本题满分50分）求方程x2xy4y3

4、y2y的整数解四、（本题满分50分）设nN*，把集合1, 2, , n分拆为两个非空集合A与B（即有AB，AB1, 2, , n），使得对A中任意两个不同的元素a、b，有；对B中任意两个不同的元素c、d，有求n的最大可能值，使得存在满足题意的分拆2011年全国高中数学联赛模拟卷(5)答案1、解：根据向量内积的几何意义，只要看向量在方向上的投影即可。最大值为+12、令得=，又为展开式中最高次项的系数，则3、解：设，则，整理得，且，在以分别为横轴和纵轴的坐标系中画出上面两个不等式所表示的规划区域。则，点到规划区域最小值即为到直线的距离，则的最小值为距离的平方；点到规划区域最大值为的圆心的距离与半径

5、2的和，则的最大值为=4、解：由对称性，我们只讨论在第一象限情形.设，则直线的方程为，与联立，得：若在第一象限显然满足，若在第四象限或坐标轴上，则，所以，只须5、解：若，则，满足整除，则可取，共个，所以6、解：讨论可知，最大期望7、解：不妨设。可知与相似，且为的外心，外接圆半径为，则，由正弦定理，同理可得，又=，所以，8、由二项式定理：，故，设，则，由恒等式得：，的个位数字依次为1，6，5，4，9，0，1，6，5，4，9，0，所以，9、证明：原不等式等价于，设，则，原不等式即为，等价于(*) 若令不变，则(*)式右边为，由知时(*)式右边取最大值。同理知时，(*)式右边取最大值为，即原不等式成

6、立10、解：由题可知时，又，不妨设，则，则=易知为正数，且， 趋于无穷大时，趋于无穷大，则的最小值为11、解：(1)假设存在点P坐标为,而G为的重心, 故.而I为的内心, 设的内切圆半径为, 则, 于是. 由IG知, , 即.又,. 由焦半径公式知, , 则.故, 即. 又点P在双曲线上, 则.解得(舍负). 故存在, 使得IG.(2) 若直线斜率不存在, 显然不合题意. 若直线斜率存在, 设过的直线方程为, 直线和椭圆交于.将代入中, 得到. 由韦达定理可知: 又,而,从而, 即. 故所求直线的方程为.二试一、 证明：充分性：过点N作EFBC，分别交AB，AC于E，F。ANMDBOCFE连结

7、OC，OD，OE，OF，因为ONBC，则ONEF，又OCAC，则N，O，C，F四点共圆，故NFO=NCO，同理由N，O，E，D四点共圆，NDO=NEO，因NCO=NDO，则NFO=NEO，故OE=OF，从而EN=FN，所以BM=CM必要性：用同一法，作交CD于，连并延长交BC于，类似充分性的证明可得B=C，而BM=CM，则点与M重合，因此，点是CD与AM的交点，故点与N重合，二、解：由题意, 得.(1) 当时, 由, 则, 矛盾!(2) 当时, , 矛盾!(3 ) 当时, 则, 即. 所以的最大值为130(4) 当时, 则, 即. 所以的最大值为54(5) 当时, , 得.综上所述：的最大值为

8、130.三、解：原方程可变形为4x2+4x+1=4y4+4y3+4y2+4y+1(2x+1)2=(2y2+y)2+3y2+4y+1=(2y2+y)2+2×(2y2+y)+1+(y2+2y)=(2y2+y+1)2+(y2+2y)（1）当，即当y<1或y>2时，(2y2+y)2(2x+1)2(2y2+y+1)2而2y2+y与2y2+y+1为两相邻整数，所以此时原方程没有整数解（2）当y=1时，x2+x=0，所以x=0或1（3）当y=0时，x2+x=0，所以x=0或1（4）当y=1时，x2+x=4，此时x无整数解（5）当y=2时，x2+x=30，所以x=6或5综上所述：，四、（

9、1）若1B，1×22，1×33，1×55，2，3，5A或n4假设n5，则2，3，5A，235，与题意矛盾！ （2）当1A，2B，不防假定n4当3A时，134，4B 2，4B，2×48，8A或n7当n8时，1，3，8A，358，189，5，9B或n8当n9时，2，5B，2×510，10A或n9当n10时，8，10A，81018，18B或n17设n18时，由于2，9，18B，2×918，所以产生矛盾！3A时，n17当n6时，1，6A，156，167，5，7B或n6当n7时，2，5，7B，2×510，2×71410，14

10、A或n13当n14时，6，14A，6814，8B2，8B，2×48，4A但4，6，10A，4610，矛盾！ 当3B时，n13（3）若1A，2A，不防假设n18，则由123知3B当4B时，3，4B，3×412，12A2，12A，21012, 10B 3, 10B，3×1030, 30A或n29当n30时，2，12，30A，22830，121830， 18，28B3，18B，3×618，6A4，28B，4×728，7A但1，6，7A，167，矛盾！故n29当4A时，145，246，5，6B3，5，6B，3×515，3×618，15，18A4，15A，41115，11B若n33，15，18A，151833，33B3，11B，3×1133，33A，与33B矛盾！故n32（1）、（2）、（3）说明：nmax32（4）使n32成立的例子有：A1，2，4，15，18，21，24，27，30，B1，2，3，32/A其中，A中12