数值分析整理版试题及答案

1、X-112f(x)-304求f(x)的Lagrang屋次插值多项式和NewtonD次插值多项式。解:(1)由题可知Xk-112yk-304插值基函数分别为10(X)X-X1X-X2x-1x-21-=x-1x-2xo-Xix0-x211-1-26X-X0x-x2I|X1x-2111(x)=x1x-2X1-X0xi-X.111-22X-X0|X-X1|X1X-11l2(x)=0-=-X-1X1X2-X0X2-X1212-13故所求二次拉格朗日插值多项式为2L2(x)="yklkxk=0c1,-3x-16cc1.C,1x-20-2x1x-243X1X-114=一；x-1x-2-x1x-12

2、35237=-xx-623(2)一阶均差、二阶均差分别为Xo，XlfX0-fXi与0X0-X1-11fMxjJX1-fX2二史x1-x21-2Xo，Xi，X2=fXo,X1：.fX1,X224X0-x2-1-2均差表为Xkf(Xk)一阶二阶-1-3103/22445/6故所求Newton次插值多项式为P2X=fX0flX0,X1!X-X0-flX0,X1，X2!X-X0X-X135_x16x1x-15237二一Xx-623例2、设f(x)=X2+3x+2,xW0,1,试求f(x)在0,1±关于P(x)的最佳平方逼近多项式。,：，=span'.1,x;解:若G=span1,x,

3、则阳x)=1,中1(x)=x,且P(x)=1,这样，有10,0=1dx=1,0：1,：11=x2dx01,0,1-1,0-xdx=,021f,0=.x20233x2dx=1129f,1=xx3x2dx=04所以，法方程为112112再回代解该方程，得到ai=4,ao=U6故，所求最佳平方逼近多项式为S*(x)=114x6例|3、设f(x)=ex,xe0,1,试求f(x)在0,1上关于P(x)=1,9=spanl,x的最佳平方逼近多项式。解:若G=span1,x,则邛°(x)=1,中i(x)=x,这样，有1。0，0=1dx=101211,1：l：lxdx=-03110,1i:i1-1,

4、0=.xdx=彳021f,0=exdx=1.718301f,1=xexdx=10所以，法方程为12和_”1831>1J-13解法方程，得到a。=0.8732,a1=1.6902,故，所求最佳平方逼近多项式为_*S1(x)=0.87321.6902x例4、用n=4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分j&x解：(1)用n=4的复合梯形公式由于h=2,f(x=,xk=1+2k(k=1,2,3)，所以，有9一1x/xdx处T4h:=-f12，fXkf92k12_=-J23.5,79=17.2277(2)用n=4的复合辛普森公式由于h=2,f(x)=TX,Xk=1+2k(k=1,2,3),*

5、卜/=2+2k(k=0,1,2,3),所以，有215/XdxfcS4h。f14"fx6kN11+2Ef(Xk)+f(9J22)1=14.2-.46.82,3.5,733=17.3321例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。12x1-3x23x3=15-18x13x2-x3=-15x1x2x3=6解：先消元12-33(Ab)=-183-1111if-183-112-33：111151-156-151562一m21二一，第1仃丈_m21）#2仃_第2仃，3，1m31=_,第1仃及_m31）埔3仃t第3仃311831-1803-176-1731718-155316|18376-1-1

6、-1517/1831/67.35m32=3,第2行乂332）箱73行t第3行T1-180I03760-11718227-1531/6667再回代，得到X3=3,X2=2,X|二1所以，线性方程组的解为X1=1,X2=2,X3=3例6、1一X141X13用直接三角分解法求下列线性方程组的解。11-X2,X3=95611八一X2X3=8451-x1x22x3=8解:1413121514则由A=LU11615一1=121132u12U220u13U23U33=LU的对应元素相等，有1,照=5,1l21u11=1一13421二二31u13，61l31u11=二一2l31l21u12u221一二一u22

7、422160，l21u1311=U23=,52345l31u12+l32u22=1=l32=一36,13l31u13l32u23u33一2Mu33一15因此,A=LU-143N-36解Ly=b,即-1432-1401151601516061N51315011y2尸以31811614513一91,曰8，行y=9,y2=/,y3=154X24,得x3=177.69,x2=476.92,x1=227.08.X315415所以，线性方程组的解为x=-227.08,x2=476.92,x3=-177.691、若a是n"阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵l和上三角阵U,使A=LU唯一成立。（）ff

8、 (x)dx 定 £ A f (xi )3、形如ai=1确度的次数为2n+1。2、当n之8时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。的高斯（GausS）型求积公式具有最高代数精:）910,A=1114、矩阵912.）的2范数仰2=9。（）z2aa0、A=0a05、设k。0aJ,则对任意实数a#0,方程组Ax=b都是病态的。（用hoo）（）6、设AWRnX：n,QWRnX：n,且有QTQ=I（单位阵），则有1A2=IQA2。（）7、区间a,b】上关于权函数W（x）的直交多项式是存在的，且唯一。（）1、（X）2、（V）3、（X）4、（V）5、（ X6、（ V ） 7、（ X

9、 ） 8、（ X一、判断题（10X1'）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX=b一定可以使用高斯消元法求解。（乂）2、解非线性方程f（x）=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。（）3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式naii-aaij（i=1,2,.,n）jTj=i则解线性方程组AX=b高斯一一塞德尔迭代法一定收敛。（X）4、样条插值一种分段插值。（7）5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。（）6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。（）7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX

10、=b。（X）8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭代计算的舍入误差。（X）9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。（）10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差10001.用计算机求Z100时，应按照n从小到大的顺序相加。ndn2.为了减少误差，应将表达式 ,2001 - J1999改写为22001,1999进行计算。3 .用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4 .用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）复习试题、填空题:4-

11、1A = 14- 0-101八A=-14J,则A的LU分解为一ir-11I4-10A=-1/4115/4-1答案:00-4151JL56152、已知f=1.0,f(2)=1.2,f(3)=1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得3Lf(x)dx"，用三点式求得定O答案：2.367,0.253、f(1)=-1,f(2)=2,f(3)=1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为,拉格朗日插值多项式为。11L2(x)=-(x-2)(x-3)-2(x-1)(x-3)-(x-1)(x-2)答案：-1,224、近似值x*=0.231关于真值乂=0.229有(2)位有效数字；5、设f(x)可微，

12、求方程x=f(x)的牛顿迭代格式是()；_xn-“Xn)xn1-xn一答案1T(xn)6、对f(x)=x3+x+1，差商f0,1,2,3=(1),f0,1,2,3,4=(0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为b一a(2n由)；10、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15);.、一f(x)dx°f(x)dx，一f(-)f(),11、两点式高斯型求积公式of(X)dX=(b22V32弋3)，代数精度为(5);12、解线性方程组Ax

13、=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。_346y=102313、为了使计算x-1(x-1)(x-1)的乘除法次数尽量地少，应将该表1达式改写为_y=0+(3+(-6t)t)t,t=二1_,为了减少舍入误差，应将表达式J2001-V1999改写为J2001+,1999_014、用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为0.5,1，进行两步后根的所在区间为0.5,0.75。15、计算积分0.54xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309,梯形公式的彳t数精度为1

14、，辛卜3x1 5x2 = 1生公式的代数精度为3。x1(k1)=(1-5x2k)/316、求解方程组P2x1+4x2=0的高斯塞德尔迭代格式为_J/)=_x1(k,20一该迭代格式的迭代矩阵的谱半径：(M)=1217、设f(0)=0,f(1)=16,f(2)=46，则l(x)=l(x)=-x(x-2)_,f(x)的二次牛顿插值多项式为N2(x)=16x+7x(x-1)0f(x)dx:二Akf(xk)求积公式akR的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2n1)次代数精度19、5已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求If(x)dx=(12)o20、设f(1)=1,

15、f(2)=2,f(3)=0,用三点式求生(2.5)。21、如果用二分法求方程x3+x-4=0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分(次。1023、l0(x),l1(x),ln(x)是以整数点x0,x1,xn为节点的Lagrange插值基函数，则.二lk(x)="xklj(xk)=T(1),k及(nx'(x：x23)lk(x)=xj)，当n之2时y(x4x2326、改变函数f(x)=Jx不1-<x(x冷1)的形式，使算结果较27、若用二分法求方程f(X)=0在区间1,2内的根,次。要求精确到第3位小数，则需要对分1029、若用复化梯形公式计算个求积节点。1exdx一斗4

16、、.0,要求误差不超过10”,利用余项公式估计，至少用477x1+1.6x230写出求解方程组0.4x1 +'2 =2 的 Gauss-Seidel 迭 代公式'x11k +) = 1 -1.6x2k)x")=2 +0.4x1*Jk =0,1,迭代矩阵为0-1.6- 0.64此迭代法是否收敛收敛。54)31、心3人则A ：=932、设矩阵2176的A = LU ,则U =612133、一一 4若 f(x) =3x+ 2x +1 ,则差商 f2,4,8,16,32 =34、35、线性方程组的最小二乘解为12f(x)dx-f(-1)8f(0)f(1)数值积分公式工9的代数

17、精度为3 2A = 2 036、设矩阵 J 3二、单项选择题：1145分解为A = LU，则U =24一3010-321万1、Jacobi迭代法解方程组Ax=b的必要条件是（C）A.A的各阶顺序主子式不为零B.P(A)<1C.a-0,i=1,2,nd.A<122-3A=0512、设P0-7一则6)为(C).A.2B.5C.7D.33、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。A.2B.5C.3D.44、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中,A须满足的条件是（B)oA.对称阵B.正定矩阵C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是（A）产生的误差。A.只取有限位数B.模型准确值与用

18、数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值6、3.14158觉冗的有（B）位有效数字的近似值。A. 6B. 5C. 4D. 77、用1+x近似表示ex所产生的误差是（C）误差A.模型B.观测C.截断8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是A.控制舍入误差B.减小方法误差(A) f(x,x0,x1,x2,-x1xn)(xx2)(x xn 1)(x xn),C.防止计算时溢出x9、用1+3近似表示3心所产生的误差是(D)误差。A.舍入B.观测C.模型D.截断10、-324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A. 5B. 6 C. 7D. 811、设f (-

19、1)=1,f (0)=3,f (2)=4，则抛物插值多项式中x2的系数为(A )。A. 0. 5B. 0. 5C.12、三点的高斯型求积公式的代数精度为)oA. 3B. 4C. 5D. 213、(D)的3位有效数字是0.236X102。(C) 235.418 (D) 235.54X 10- 1(A)0.0023549<103(B)2354.82X10-214、用简单迭彳弋法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x),则f(x)=0的根是(B)。(A) y=中(x)与x轴交点的横坐标(B) y=x与y=。(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=x与

20、y=%x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组3x1 -x2 4x3 = 1-x1 + 2x2 -9x3 = 04不一3x2 *X3 = -1 ,第1次消元，选择主元为(A) -4(B) 3(C) 4(D) 916、拉格朗日插值多项式的余项是(B )，牛顿插值多项式的余项是(C )Rn(x) = f(x) Pn(x) =(B)f(n 1)()(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,一,xn)(x x1)(x x2)(:xxn 1)(x xn),Rn(x) =f (x) Pn(x)=(D)f(n 1)()(n 1)!，n 1 (x)17、等距二点求导公式f'(x1”( A )0f

21、(x1)- f(x0)(A)x1 - x0(x0)(C)f(x0) f(x1)x0 一 x1xo - x1(D) f(x1) - f(x0)x1 x018、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,定收敛到方程f(x)=0的根。(A) f (x0)f (x) 0(B)f(x0)f (x) 0(C) f (x0)f (x)：二0(D) f (x。)f (x)：二 019、为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。2 x(A)1,，1一,迭代公式：x+=T=x -1,

22、xk -1x(B)二1+2，迭代公式：xk由=1+2 xxk/C、x3=1+x2，迭代公式：xk书=(1+x2)1/3(C)x3-1=x2，迭代公式：xk书(D)(k 1) x(k)=Bx+g收敛的充要条件是(3)：(A)1,(4)：(B)122、在牛顿-柯特斯求积公式:bnf(x)dx:(b-a)二Cif(xi)a_i=0(n)中，当系数Ci是负值时，公式的x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是(O(2)三次;(4)五次稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1)n之8,(2)n7,(3)n之10,(4

23、)n6,23、有下列数表)(1)二次;(3)四次；25、取有之1.732计算X=(73-1)4,下列方法中哪种最好？()1616(A)28-1673；(b)(4-273)2；©(4+2/3)2；(D)(73+1)4。27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是()x11.522.533.5f(xi)-10.52.55.08.011.5(A)5;(B)4;(C)3;(D)2。b28、形如Lf(x)d-A心)+A2f(x)+A3f(为)的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为()(A)9；(B)7；(C)5；(D)3。29、计算V3的Newton迭代格式为()x

24、k3xk3xk2xk3xk1)xk1)xk1=xk1)(A)k12xk；。122xk；(C)k12xk.(D)k13xk。32；.10.30、用二分法求方程x+4x-10=0在区间1,2内的实根，要求误差限为2,则对分次数至少为()(A)10;(B)12;(C)8;(D)9。9、kli(k)=32、设li(x)是以xk=k(k=0,1川,9)为节点的Lagrange插值基函数，则k=0()(A)x;(B)k；(C)i；(D)1。33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度x0 =2不收敛的是(A)5;(B)4;(C)6;(D)3。,、一一32 x k 5 _2_3 xk-2o3

25、5、已知万程x-2x-5=0在x=2附近有根，下列迭代格式中在xk1(D)(A)xk由=3/2xk+5；(B)k*Yxk；(C)xk书=x3-xk536、由下列数据x01234f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3o37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打&否则打父)1、已知观察值(为，yi)(i=0，1，2,，m)，用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时,Pn(x)的次数n可以任意取。2x2、用1-2近似表示cosx产生舍入误差（x-

26、X0）（x-X2）3、（xi-x0）（xix2）表示在节点X1的二次（拉格朗日）插值基函数。（）4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。（）311、-2535、矩阵A=J25J具有严格对角占优。（）四、计算题：4x1+2x2+x3=11xi4x22x3=181、用高斯-塞德尔方法解方程组l2x1+X2+5x3=22,取x（0）=（0,0,0）T,迭代四次（要求按五位有效数字计算）。答案：迭代格式(k+)x1二144(11-2x2k)-x3k)说.二144(18-x广)-2x3k)x")二1(22-2x，*)-x2k*)一5k(k)x1(k)x2x

27、3k)000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019高，并求其代数精度；利用此公式求I21dx1 x(保留四位小数)。1 .1.1f(x)dx:Af(-1)f(1)Bf()f(),2、求A、B使求积公式JI/rI/v2222'2的代数精度尽量2 一答案：f(x)=1,x,x是精确成立，即2A 2B =2122A B =23A 1 08/曰 A = 一，B =得 9911811求积公式为df(x)dx=9f(-1)f(1)9f(-2)f(-)2 13 4一一一一当f(x

28、)=x时，公式显然精确成立；当f(x)=x时，左=5,右=3。所以代数精度为3。dx产1，dt，81T1xt39-13139-1/2312397=0.692861403、已知xi1345f(xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式p3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小数)。(x-3)(x-4)(x-5),(x-1)(x-4)(x-5)L3(x)26答案：(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)5(x-1)(x-3)(x-5)4(x-1)(x-3)(x-4)(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)差商表为xiyi一阶均

29、差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10141P3(x)=N3(x)=22(x-1)-(x1)(x-3)(x-1)(x-3)(x-4)4f(2):P3(2)=5.56、已知sinx区间0.4,0.8的函数表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差M3|R2(x)隹(|，3(x)|尽量小，即应使僧3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.6,0.7最好，实际计算结果sin0

30、.63891:0.596274,且sin0.63891-0.596274< |(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6)(0.63891-0.7)3!< 0.5503210”7、构造求解方程ex+10x2=0的根的迭代格式xn+=*(xn),n=012,，讨论其收敛4性，并将根求出来，|xn+-xn|<10o答案：解：令f(x)=ex10x-2,f(0)-2：0,f=10e0且f(x)=ex+10A0对Uxw(-s,十的)，故f(x)=0在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x)=0变形为1x、x=(2-e)10则当xw(0,1)时x彳一ee中(x)=(2ex)W

31、(x)1一而M而<1故迭代格式1xcxn1=-(2-en)10n0123xn0.50.0351278720.0964247850.089877325n4567xn0.0905959930.0905173400.0905259500.090525008收敛。取x0=0.5,计算结果列表如下：，6*_且满足|x7-x6户0.00000095<10.所以x定0.0905250088、利用矩阵的LU分解法解方程组|x12x23x3=14«2x1+5x2+2x3=183x1+x2+5x3=2011A=LU=21答案：解：j351上231-4-24令Ly=b得y=(14,-10,-7

32、2)T,Ux=y得x=(1,2,3)T.3x12x210x3=15，10x1-4x2-x3=59、对方程组x1+10x2-4x3=8(1)试建立一种收敛的Seide迭代公式，说明理由；(2)取初值x(0)=(0,0,0)T,利用(1)中建立的迭代公式求解要求近似值有5位有效数字，只须误差R(n)( f ) <1x1023 嗯寻|W)1只要R(n) (ex)2得月10“即可，解得n ,e 102 =67.308776|x(k1)-x(k)|:-：:104解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x1-4x2-X3-52x1+10x2-4x3=83x1+2x2+10x3=15故对应的高

33、斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为x9£(4x2k)十x3k)+5)改尸)=*(必产)+4x3k)+8)x3解：当 0<x<1 时，f "(x) =ex,则 f "(x)Me,且 ie dx有一位整数.=A(-3x(k41)-2x2k+1)+15)L10取x=(0,0,0)T,经7步迭代可得：x*x(7)=(0.999991459,0.999950326,1.000010)T10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据所以 n=68,因此至少需将0,1 68等份。1

34、1、用列主元素消元法求解方程组1-15 -421一-43 x2 = -121-X3_ J1解:-15：2-1 1-4 311一5111 12-4 3 -12-1 1-41111513-43-12857951351-43-127958-43 -12131 795555513131回代得X3=-1,X2=6,X1=312、取节点x0=0,x1=0.5,x2=1，求函数f(x)=e"在区间0,1上的二次插值多项式2(x)，并估计误差。e，-"Fj(X-0)(X-1)解:(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1)一(x-0)(x-0.5)e(1-0)(1-0.5)_05_

35、/_=2(x-0.5)(x-1)-4e5x(x-1)2ex(x-0.5)f(x)=e«,f(x)=-e：M3=max|f(x)|二1又x.0,1|R2(x)|=|e'”2(x)|三3|x(x-0.5)(x-1)|故截断误差3!。3)说明所用的迭代格式是收敛的x解：1)将万程(x-1)e-1=0(1)改写为x-1=e4x*作函数fi(x)=x-1,f2(x)=e的图形(略)知(2)有唯一根x(1,2)2)将方程(2)改写为x=1+e”xk41=1+e-xk构造迭代格式阿="(k=0,1,2,)计算结果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.2

36、74091.279691.278121.27856i1.27844.1.278471.278463)中(x)=1+e",*'(x)=-e*当xw1,2时，率(*尸叫2),1)卜1,2,且1l：(x)|Me<1所以迭代格式xk/=*(xk)(k=0,1,2,)对任意x0W1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求4的近似值。取x°=1.7,计算三次，保留五位小数。f '(x)=2x,牛顿迭代公式为解：<3是f(x)=x23=0的正根,xn 1 - xnx2 -32xnxn3xn 1 =(n =0,1,2,)2 2xn取x0=1.7,列表如下:n123x

37、n1.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2,f(1)=3,f(2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)>f(1,5)的近似值,取五位小数。解:L2(x一(x 1)(x-2) (x 1)(x-1) 3 4(1 1)(1 -2)(2 1)(2 -1)234.-(x-1)(x-2)-(x1)(x-2)-3(x1)(x-1).1f(1.5) ： L2(1.5) = 0.041672417、n=3,用复合梯形公式求e'dx的近似值(取四位小数)，并求误差估计。- eXdx ： T3 =解：01 -001 32 3.1e 2(e e ) , e ： 1.7342f

38、(x) =ex, f "(x) =ex, 0WXW1 时，|f"(x)|Mee=0.025 < 0.05108至少有两位有效数字。3-3X1X218、用Gauss-Seidel!代法求解线性方程组取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel1代格式为:x(kx2k1( 31一一产-1-x3k) - 5)JfDx2k1)-8)411141严格对角占优，故Gauss-Seidefe代收敛.取X(0)=(0,0,0)T,列表计算如下：kX，x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.46

39、10.359-2.526,220、（8分）用最小二乘法求形如y=a+bx的经验公式拟合以下数据:Xi19253038*19.032.349.073.3解：中=span1,x2T1111yT = 19.0 32.3 49.0 73.31AT=I19225231238、解方程组ATACnaty其中ATA-33913529603AT y =173.6I179980.70.9255577C二解得：p.0501025_|所以a=0.9255577b=0.050102521、（15分）用n =8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算dxe1 o时，试用余项估计其误差。用n =8的复化梯形公式（或复

40、化Simpson公式）Rf=- 解：12c11 Ch2f ”(刃' xe012 82计算出该积分的近似值。1=0.001302 768h7T(8)=-f(a)2-f(Xk)f(b)2k11=12(0.88249690.77880080.606530660.53526140.472366550.416862070.36787947=0.632943422、（15分）方程x3-x1=0在x=1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x=Vx+1对应迭代格式Xn* =<Xn +1 ; (2)X1 ： Xn 1 =X对应迭代格式113xn ; (3) x = X3 -1 对应迭解

41、：（1）（1.引=0.18<1,故收敛;代格式Xn+=X3-1。判断迭代格式在X0=1.5的收敛性，选一种收敛格式计算X=1.5附近的根,精确到小数点后第三位。1-(x)(X1)3"（”1,故收敛;3(3)叫x)=3x2,"(1.剑:3".521,故发散。选择(1):x0=1.5 x1 =1.3572 x21.3309 X3 =1.3259 x4 =1.3249x5=1.32476x6=1.3247223、(8分)已知方程组AX=f，其中431-24A=34-1f=30.-14J,24(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法的分量形式。(

42、2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。x尸)=1(243x2。)4N)=；(30-3x+x3k)x3k+)=1(-24+x2k)4解：Jacobi迭代法：、k=0,123,x尸)(243x2k)4jx2k*)=：(30-3x1(k*)+x3k)xk，(_24+x2k/)4Gauss-Seidel迭代法：k=Q123103%01JP(Bj )=瓦(或*) = 0.790569Bj=D、(L+U)=340%.0%0一25、数值积分公式形如10xf(x)dx-S(x)=Af(0)+Bf(1)+Cf'(0)+Df'试确定参数a,b,c,D使公式代数精度尽1量高；(2)设f(X)三C4

43、0，1,推导余项公式R(x)=10xf(x)dx-S(x),并估计误差。371123A=，B=一，B=一，D=一一解：将f(x)=1,X,X,x分布代入公式得：20203020:H3(x)=f(xi)-构造Hermite插值多项式H3(x)满足此(为)=f(xi)i=0,1其中x0=0,x1=11f()22.xH3(x)dx=S(x)f(x)-H3(x)=x(x-1)则有：0,4!R(x) = 0xf(x) S(x)dx = 0f (4)()4!32 ,x (x -1) dx产()4!132° x (x -1) dx =f(4)()f(4)()4! 60144027、(10分)已知数

44、值积分公式为:h'h'2'.f(x)dxf(0)f(h)-h2f(0)-f(h)02，试确定积分公式中的参数人，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x)=1显然精确成立;f(x)=x 时,hxdx=H )2h20 h h21 -12f(x) =/时,f(x) =x3 时,f(x) =x4 时,h 2 h h 22_ h _x dx0 h h 0 -2h = -2h =03224h 3 , h h3,1,22,x dx0 h h 0 - 3h 04212.h 4 , h h 41 . 23 hx dx0 h h 0 -4h :052126 .所以，其代

45、数精确度为 3。28、(8分)已知求，'a(a >0)的迭代公式为:1 a,xk 1 = -(xk )x00 k -0,1,22 xk证明：对一切k =12，xk之Ja ,且序列之)是单调递减的， 从而迭代过程收敛。xk+ =、乂 + ) - x 2x xk x =i a k = 0,1,2,2 xk 2xk证明：k- k故对一切k =12，xk -<a。xk 11a1* F(1 =)匕(1 1)=1:又xk2xk2所以人士一九，即序列xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、( 9分)数值求积公式330 f (x)dx - - f (1)f(2)"，八是否为

46、插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为x -2x -1p(x)二二 f如f(2)33p（x）dx）ff（2）'°2。其代数精度为1。30、（6分）写出求方程4x=c0sx）+1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。1xn1=xn1-COS*口1(6分)4,n=0,1,2,11xsinx10T44对任意白初值x0U，1,迭代公式都收敛。31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算，115的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.0476190

47、0.0434783-0.0000941136115：10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275553-5f'''x=3x2(115 -100 (115-121 (115-144()83!134一100215629：0.0016368I =32、（10分）用复化Simpson公式计算积分3dx$0 x的近似值，要求误差限为0.5 M10 。=0.94614588S2SI-S2f04f1备515S2-S1sin(x)_1x2或利用余项:3!468xxx+_+_5!7!9!Mx)2x72!4x94!(小55RJb。f(小1-r0.50-o2880n4)2880x5n4n>212=?33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：x14x22x3=24<3xi+X2+5x3=342x1+6x2+x3=273.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.