数学人教版八年级下册平行四边形辅助线

1、PARTA知识讲解六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1,在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结BFBF=DE证明：连结DB,DF，设DB,AC交于点O四边形ABCD为平行四边形AO=OC,DO=OB.AE=FC.AO-AE=OC-FC即OE=OF四边形EBFD为平行四边形.BF=DE第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC

2、和BD相交于点O,如果AC=12,BD=10,AB=m，那么m的取值范围是（）A1：二m：二11b2:二m:二22c10:二m：二12d5:二m:二6解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB=CE,DC=BE,则有四边形CDBE为平行四边形”在MCE中，AC=12,CE=BD=10,AE=2AB=2m12-10<2m<12+10,IP2<2m<22解得1<m<11故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3,四边形ABCD为平行四边形_222_2_22求证：AC2BD2=AB2BC2CD2DA2证明：过A

3、,D分另ij作AE_LBC于点E,DF_LBC的延长线于点FAC2-AE2CE2-AB2-BE2(BC-BE)2-AB2BC2-2BEBCBD2=DF2BF2=(CD2-CF2)(BCCF)2=CD2BC22BCCF则AC2BD2=AB2BC2CD2DA22BCCF-2BCBE四边形ABCD为平行四边形AB/CD且AB=CD,AD=BC ./ABC=/DCF./AEB=/DFC=90° MBE三ADCFBE=CF_22_222_2ACBD=ABBCCDDA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点

4、，BE与CF交于P点，求证：AP=AB证明：延长CF交BA的延长线于点K 四边形ABCD为正方形AB/CD且AB=CD,CD=AD,/BAD=NBCD=/D=90°/1=/K又:/D=/DAK=90°,DF=AF/.ACDFAKAF-1-1AK=CD=ABCE=-CDDF=-AD.CE=DF2'2N CPB = 900,则 / KPB = 900/BCD=/D=90°ABCEzACDF./=N2/1+N3=90。N2+/3=90。AP=AB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形ABCD中，点E

5、为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于F,则有MEDsAFEC,&FABs&FEC,MEDsAFAB第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1一例6已知：如右上图6,在平行四边形ABCD中，AN=BN,BE=BCNE3，交BD于F,求BF:BD解：连结AC交BD于点O,连ZON四边形ABCD为平行四边形BDOA =OC,OB = OD =. AN = BN1 - BE-BC31 _1 _ON /BC 且 ON =1BC22.BE :ON =2:3BE BFON FOBF 2FO 一 3BF 2BO 一

6、5 . BF : BD =1:5综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形,为证明解决问题创造条件。PARTB综合演练一、一般多边行1、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH是平2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹？3、提出问题：如图所示，在

7、四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，PBC与4ABC和DBC的面积之间有什么关系？探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手：（1）当AP=-AD时（如图）：211八-AP=-AD,ABP和4ABD的图相等，Sbp=S峦bd。11八-PD=ADAP=-AD,CDP和CDA的图相等，S疗DP=-Sda。S.PBC - S3边形 ABCDS ABP - S CDP一S四边形ABCD一S四边形ABCD-2 S ABD - 2 S. CDA1cc 1cc一2 S四边形 ABCD - S. DBC -2 S四边形 ABCD - S. ABC_ 1-=2 S . DBC 2 S

8、 ABC1(2)当Ap= AD时，探求S点bc与S%BC与SmBC之间的关系，写出求解过程;(3)当 AP=1AD 时，Sbc S 6BC和S#BC之间的关系式为（4） 一般地,，.1当AP= - AD （ n表不正整数）时，探求S&BC与S&BC和S#bcn间的关系,写出求解过程;问题解决：当AP=mAD 0 Mn Im 1一 <1 I.时, nSb与Sb cF口 SJd bc之间的关系为二、多边形1、如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中/A=130那么/BCD的度数等于（）A、40°B、50°C、60°2、一个零件的形状如图所

9、示，按规定/A应等于90/B、/C应分别为21-和32检验工人量得/BDC=148=,就断定这个零件不合格，这是为什么呢?3、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子，另一块是上底为30cm,下底为120cm,高为60cm的直角梯形板子(如图)，王师傅想将这两块板子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域(如图)，由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。(1)求BC的长。(2)利用图求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离X(cm)为多少时，矩形的面积y,2

10、(cm)最大？最大面积是多少？(3)若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。三、平行四边形(矩形、菱形、正方形与其相同)1、如图，已知ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF。(1)请在图中找出一对全等三角形，用符号“且”表示，并加以证明；(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；(3)若AB=6,BD=2DC,求四边形ABEF的面积。2、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=1DC。2若AB=10,BC=12,则图中阴影部分的面积为。3、如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并