数学练习题抽象函数(含答案)

1、高考一轮专练一一抽象函数1.已知函数y=f(x)(xCR,xw0)对任意的非零实数%,再，包有f(#-)=f(斗)+f(勺，试判断f(x)的奇偶性。2i已知定义在-2,2上的偶函数，f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围3 .设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3)=-f(x),求f(1998)的值。4 .设函数“”对任意2，者B有“丹+占)=汽x1k门占)f(x)=2,()“一)已知口)=工求2,4的化5 .已知f(x)是定义在R上的函数，且满足：f(x+2)1-f(x)=1+f(x),f(1)=1997,求f(2001)的值。6 .设f(x)是定

2、义R在上的函数，对任意x,yCR,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)w0.(1)求证f(0)=1;(2)求证：y=f(x)为偶函数.7 .已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8 .设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a,b,当a+bw0,都有fta垃-b>0(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小；(2)若f<0对xC1,1恒成立，求实数k的取值范围。9 .已知函数是定义在(-8,3上的减函数，已知八+|+mJm对九二R包成立，求实数各的取值范围。10,已知函

3、数*在当，*兄时，恒有ft*#as.(1)求证：门外是奇函数；(2)若门一3-砥试用“我示"24).11.已知制是定义在R上的不包为零的函数，且对于任意的，都满足：b=一冏曲中打(1)求人0),“】)的值；(2)判断的奇偶性，并证明你的结论；,求数歹14的前门项和5.12.已知定义域为R的函数"”满足/'(一X+X»=X'+V(1)若,(2)设有且仅有一个实数吊，使得"Hf求函数"P的解析表达式.13 .已知函数的定义域为R,对任意实数见网都有"川1+/外4!f(-)=0-T>广、工，且2，当2时，个>&g

4、t;0.(1)求)；(2)求和网八心+，。+询3”)；(3)判断函数回的单调性，并证明.14 .函数的定义域为R,并满足以下条件：对任意能名是，有尸(制>0;对任意VR,有小了)=心汁；.(1)求“的值；(2)求证：川*在R上是单调减函数；(3)若八人心>0且反，匕求证：fkdb).15 .已知函数嘉的定义域为R,对任意实数四都有五，"二网八用，且当时，'.(1)证明："7一。时,f(X»1；(2)证明：启在R上单调递减；(3)设A=,B=,若八ne二中，试确定日的取值范围.16 .已知函数灯是定义在R上的增函数，设F(t-f(t)心7).(1

5、)用函数单调性的定义证明：“*是R上的增函数；m1一(2)证明：函数卅二3)的图象关于点(？成中心对称图形.17 .已知函数“灯是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线父=对称.(1)求"°)的值；(2)证明：函数是周期函数；至少(3)若的求当*名改时，函数*外的解析式，并画出满足条件的函数,3一个周期的图象。18 .函数乩。对于x>0有意义，且满足条件""LW小)+“¥卜，。促减函数。(1)证明：0=0；*)若Am*力2=成立，求x的取值范围。19,设函数在(一*司上满足"2)=心),A?Al=A7+幻，且在闭区间0,7上，只

6、有*3)=0.(1)试判断函数的奇偶性；(2)试求方程"*=0在闭区间-2005,2005上的根的个数，并证明你的结论.20 .已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时，f(x)>0,f(1)=2,求f(x)在区间2,1上的值域。21 .已知函数f(x)对任意MJ三区,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且当x>0时，f(x)>2,f(3)=5,求不等式“一如-2K飞的解。22 .是否存在函数f(x),使下列三个条件：f(x)>0,xCN；户“垃7G0由三叫,f(2)=4。同时成立？若存在，求出f(x

7、)的解析式，如不存在，说明理由。答案：1 .解：令=-1,士=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)为了求f(-1)的值，令芭=1,F=-1,则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令/=&=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1).(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2 .分析：根据函数的定义域，-mm-2,2，但是1-m和m分别在-2,0和0,2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f(x)有性质f(-x)=f(x)=f(|x|),就可避免一场大规模讨论。解：:f(x)是偶函数，f(1-m<f(

8、m可得停冲”川味，.f”)在0,2同11一切+m、加岂卜.小2.-2£I-m£2上是单调递减的，于是1°工同门，即上及化简得-10陆二。3.解：因为f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=f(x+3)+3)=-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(64.解：由x ,=f(”久0,f (1) =2,X333)=f(0)=0。f(+工)=f("知f二"/"()=/(4-)=/(>-门一)=网一)22222从而f(2001)=f(1)=

9、1997说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。6 .证明：(1)问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。(2)问题中令x=0即得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),且f(0)=1.所以f(y)+f(-y)=2f(y),因此y=f(x)为偶函数.说明：这类问题应抓住f(x)与f(-x)的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。7 .解：由y=f(x)是偶函数且在(2,6)上递增可知，y=f(x)在(一6,2)上递减。令u=2-x,则当x(4,8)时，u是减函数且u(-6,-2),

10、而f(u)在(一6,一2)上递减，故y=f(2-x)在(4,8)上递增。所以(4,8)是y=f(2-x)的单调递增区间。8 .解：(1).因为a>b,所以a-b>0,由题意得士”二处。二>0,所以f(a)+f(-b)>0,又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(b)=f(b),f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b)(2) .由(1)知f(x)在R上是单调递增函数，又f"I'+fG'-9,?产l<0,得f",i<f'“一3故所以k<令1=甘,所以k<t+，而t+f>2、2,即k&l

11、t;2Y一一1sinAr)ij+1+A)-工iniis13£unij#JILtrm'.f£J=sjJ-2i-j0j-.2D4一加工|j-r-tiwr*liiix一n-V3£dr£1JlO10. (1)证明：令一二得小时一必"7儿山门.，刈令0,则网八。尸53打7)=0"7i加.*#)是奇函数。(2)f2U=2川用=又."-3）=ao"3）="nf24）=-心11 .（1）解：令=b二口,则-。令廿=D=I,则川）=3*l）n，=°（2）证明：令吐占=T,则61）=2A1）,.川】=

12、76;】）=°令徐5="I,则/汨-1）mi16一期是奇函数。网3,s）fib）r（A）.,广一.：=+/式肌=一.（3）当匕*0时，也由ba，令x,贝8（方,3=g*限卜）故或产）=%”目），所以人父）曲“£（3）=。/剧皆）.出二川212 .解：（1）二.对任意*w勺函数小满足"力L="，）.一二且"2）=2":必Y-QTF则:”0州"，.八，'-Q：+=限10'+0="UU=f（a）=a（2）对任意武R,函数，乜）满足“T，卜F=/一":有且仅有一个实数使得.对任意有加一丁

13、"7上式中，令"飞,则"）-V.+.七./卬”故%0或耳广1若为=o,则"qQ,则"叫='，但方程“*八有两个不相同的实根与题设茅盾，故若蜀】，则3支-I,则八目=X",此时方程Vnl=uC】、0有两个相等的实根，即有且仅有一个实数一%,使得.,；m=打=一/"(4i-)=2汽一+=jf(1)=一13.(1)解：令2,则2712201)=-,(2) ;#/»+】)二门】)+A啪十L+十工一/(rt)-I222.ni.数列“”)是以2为首项,1为公差的等差数列，故nrtjt-I)jj+-=1"心=-

14、.=-任取3士仁飞且看，则西1/白.I1曦小的11*vj/IaI*梅I1，figh工Ai,!门鸟。申:F(M禺4-)>0=.函数"#是R上的单调增函数.14.解：:对任意勺有"">0,.令"0，*2徨','W,I_任取任取禺.0L*HV/,则令13尸，故M<内函数”力的定义域为R,并满足以下条件：对任意匕士衣，有费')>0;对任Il'j意*用有"LF；三”门gp：L"?一"尸>o.',函数"#是R上的单调减函数.由(1)(2)知，Nb"

15、/(0|=.4/C.a)=f(b»i-6)*<fo-t>*-/X/!)-'bLb，J4t/3+fl门"加上"用卜>2/)训/，而,',15.(1)证明：令加二°，”T,则“0，卜砌，.当4U时，展”1,故m)>0,.八=,.当Q0时，八月)1当又y。时，o,则HQ)I+M)=*-/(*=n的=>1A-A>f-X>证明：任取不"先旦飞，飞,则门为i一打工1ME/-JQ-禺-门J,心网小-耳"一HX,)=I“公一片1-I，().三-网>。，.0<k)I,故”占7j-I&

16、lt;0,又.”即A0，3)叫卬)。，故小»5)函数”是R上的单调减函数.a1|儿了""i*N¥一rii)|+/1An)由(2)知，出是R上的减函数，一八八I.&一(，3”(八2)="eR(3小心2=0,八叫B=又.珀人X-+y<1方程组”2无解，即直线八=。叮单位雨71I的内部无公共占八、7T+1二,故分的取值范围是-人士门士也16.(1)任取W凡且看工则FfCXjif'(.rl)/ia%"fx21AJ)=1I又函数出是定义在R上的增函数，六一中、U,-尾）故：一I>0F（是R上的增函数;£0）

17、设A”K）为函数¥=FQ的图象上任一点,则点“"心片）关于点G的对称点为N（吗灯）,则£_/土用Q_国十门3一丁丁，故叫月.把所"5代入炉）=H'S打得，"授-七"m-$+%）=门-%"”）=月 2。）.函数 >'=门.用的图象关于点（工17.（1）解：. 飞。为R上的奇函数, “则f（oirg.' =0成中心对称图形.对任意”£艮都有n.一 *,令（2）证明：:"1）为R上的奇函数，.对任意界听凡都有"-*）=1日，的图象关于直线-31对称，对任意TW段都有“I*

18、工）=C冷.用17代3得，必幻-川OI二二。.串（用即日4,正3"”）是周期函数,4是其周期.网-151)”A用二当相卜1时，.1m)当4bUg"+l时，"幻-"4,fieZ当4人1<44+3时，八出一"2","NF( k-图象如下:1411410K4*ih,NER,¥42-4*44卜Iwx<411-3)y-2-10123456x18.(1)证明：令,则以)=田，故八1=。(2);=，令<7=2,则2x2)=A4A2=2,Z(4>=2.''-HF#-%*/Hln/if-工外W

19、fl4|=sZ-3ri4=b-li."»*3)22成立的x的取值范围是TM汗£3。19 .解：(1)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数尸=六*的对称轴为K=2和*=1,从而知函数*t)不是奇函数，=八万)="«+)，从而知函数了=”刘的周期为7 =1°又/(0)一慎而八7)才0,故函数""是非奇非偶函数;由IA1“02*II门”64M55三门d7门14-箝用Th1tAT*JiinTl»汽L4k=r(x)=r(t+io)又/13)-rcoi-G.r(lII=HI3)=/(7)。阴口故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解，从而可知函数y二"")在0,2005上有402个解，在-2005.0上有400个解，所以函数flv)ft-2005,2005上有802个解.20 .解：设/<叼，贝忆-Q0,当Q0时J(x)o,=力但-小工】=/(7为+7g,./g-/&)=出-勺)0,即/包)>/(/),.(x)为增函数。在条件中，令y=x,则/。=,区+/(一切，再令x=y=0,则f(0)=2f