数学江苏专用新设计大一轮讲义+习题：第三章导数及其应用第4讲

1、第4讲导数的综合应用解决恒成立、存在性问题考试要求1.理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性（B级要求）；2.掌握利用导数求函数极值与最值的方法（B级要求）；3.会利用导数解决与不等式有关的包成立问题、存在性问题；4.会利用导数解决涉及函数零点的一些问题.血识份证体验I回顾教材1存实基础知识梳理运用不等式求解包成立、存在性问题的转化关系不等式类型与最值的关系任意的xCD,f(x)>M任意的xCD,f(x)min>M任意的xCD,f(x)<M任意的xD,f(x)max<M存在xD,f(x)>M任意的xCD,f(x)max>M存在xD,f(x)

2、<M任意的xCD,f(x)min<M任意的xCD,f(x)>g(x)任意的xCD,f(x)-g(x)min>0任意的xCD,f(x)<g(x)任意的xD,f(x)g(x)max<0任意的xiDi,任意的x26D2,f(xi)>g(x2)任意的xCDi,任意的xD2,f(x)min>g(x)max任意的xiCDi,存在x2D2,f(xi)>g(x2)任意的xCDi,任意的xD2,f(x)min>g(x)min存在xiDi,任意的x2D2,f(xi)>g(x2)任意的xCDi,任意的xD2,f(x)max>g(x)max存在x

3、MDi,存在x2D2,f(xi)>g(x2)任意的xCDi,任意的xD2,f(x)max>g(x)min诊断自测1 .已知g（x）=2+x2+2alnx在1,2上是减函数，则实数a的取值范围为x.一22a解析gx)=-?+2x+,xx由已知得g'x广0在1,2上恒成立,可得a01x2在1,2上包成立.x又当xC 1 , 2时,"min=2-4=-7.2 .(2019苏北四市联考)已知函数f(x)=x3ax2+4,若f(x)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围为解析由题意知f'x)=3x22ax=x(3x2a),当a00时，不符合题意.当a

4、>o时，”)在(0,2a"单调递减，在管，+8卜单调递增，2a一所以由题意知f6尸0且f(0)=4>0,解得a>3.答案(3,+oo)乙1+lnx3 .已知函数f(x)=1.x(1)若函数f(x)在区间%,a+2卜存在极值，求正实数a的取值范围；k(2)如果当x>1时，不等式f(x)>一恒成立，求实数k的取值范围.x+1解(1)函数的定义域为(0,+8),1- 1-lnxlnxfxhx2令f'x)=0,得x=1;当xC(0,1)时，f'x)>0,f(x)单调递增；当xC(1,+oo)时，fx)<0,f(x)单调递减.1所以x=

5、1为极大值点，所以0<a<1<a+2,故2<a<1,即实数a的取值范围为1：(x+1)(1+lnx)tr(2)当x>1时，k<la成立，x人，、(x+1)(1+lnx)令g(x)=，x(1+lnx+1+】)x(x+1)(1+lnx)则g'x)=-2xxInx=.x再令h(x)=xInx,则h'x)=11>0,x所以h(x户h(1)=1,所以g'x)>0,所以g(x)为单调增函数，所以g(x)>g(1)=2,故k02.所以实数k的取值范围是(8,2.I考点聚焦突破分类洪结，以例求法考点一分离参数法求解包成立问题【

6、例11设函数f(x)=exax-2.求f(x)的单调区问；(2)若a=1,k为整数，且当x>0时，(xk)f'xl+x+1>0,求k的最大值.解(1)f(x)的定义域为(一8,+oo),f，x)=exa.若a<0,则f'x)>0,所以f(x)在(_oo,+oo)上单调递增；若a>0,则当xC(oo,ina)时，fx)<0；当xC(Ina，+00)时，f'x)>0,所以，f(x)在(8,ina)上单调递减,在(Ina,+8)上单调递增.(2)由于a=1,所以(xk)f'x)+x+1=(xk)(ex-1)+x+1.故当x&g

7、t;0时，(xk)f'x)+x+1>0等价于x+1k<ex_1+x(x>0).x+1,e (ex x2)(ex1) 2令g(x)=exr1+x,_xe_1则gx)=(ex1)2+1由(1)知，函数h(x)=exx2在(0,+8)上单调递增.而h(i)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+8)上存在唯一的零点.故g'x)在(0,+8)上存在唯一的零点.设此零点为%则小(1,2).当x(0,a)时，g'x)<0;当x(%+°°)时，g，x)>0.所以g(x)在(0,+°°)±的最

8、小值为g(o).又由g'R=0,可得6"=升2,所以g(c)=a+1C(2,3).由于式等价于k<g(,故整数k的最大值为2.规律方法利用导数研究含参数的不等式问题，若能分离参数，则转化为形如af(x)(或a&f(x)的形式，通过求函数y=f(x)的最值求得参数范围.何成立问题的求解方法如下:(1)f(x)a恒成立？f(x)min>a；(2)f(x)Wb恒成立？f(x)max<b.【训练11(2019新海中学调研)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax3,其中a为实数.对一切xC(0,+8),2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围.解

9、由题知2xlnx>x2+ax3,即a021nx+x+-,x对一切x(0,+oo)恒成立.设h(x)=21nx+x+3(x>0),、x'则 h'x)=(x+3)(x-1)2x当xC(0,1)时，h'x)<0,故h(x)在(0,1)上单调递减,当xC(1,+oo)时，h，x)>0,故h(x)在(1,+8)上单调递增.所以h(x)在(0,+8)上有唯一极小值h(1),即为最小值，所以h(x)min=h(1)=4,因为对一切xC(0,+00),a&h(x)恒成立，所以a<4.考点二不等式包成立问题例2设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)

10、=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值.若x2时，f(x)<kg(x),求k的取值范围.解(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,(0)4,g'(劣4.而f'x)=2x+a,g'x)=ex(cx+d+c).故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.2x(2)由(1)知f(x)=x+4x+2,g(x)=2e(x+1).设F(x)=kg(x)f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则F'x)=2kex(x+2)2x4=2(

11、x+2)(kex1).由题设可得F(0)>0,即k>1.令F'x)=0,即2(x+2)(kex1)=0,得xi=Ink,x2=2.若1&k<e2,则一2<x100,从而当xC(2,x)时，F'x)<0,当x(x1，+8)时，Lx)>0,即F(x)在x(2,x1)上单调递减，在xC(x1，+8)上单调递增，故F(x)在-2,+8)上有最小值为F(x1).2F(x)=2x+2x14x12=x(x+2)>0.故当x>2时，F(x)0恒成立，即f(x)<kg(x).若当k=e2,则F'x)=2e2(x+2)(exe2

12、),当x>2时，F'x)>0,则F(x)在(一2,+8)上单调递增，而F(2)=0,故当且仅当x>-2时，F(x)>0恒成立，即f(x)<kg(x).若k>e2,贝UF(2)=2ke2+2=2e2(ke2)<0.从而当x>2时，f(x)&kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为1，e2.规律方法含参数的不等式恒成立问题，除了分离参数外，常用构造函数转化法求参数，常见方法如下：(1)f(x)>0在区间D上恒成立，则f(x)min>0在D上恒成立；(2)f(x)g(x)在区间D上恒成立，则f(x)ming(x)max在

13、D上恒成立或h(x)=f(x)g(x),则h(x)min>0在D上恒成立.(3)在处理含参数的恒成立问题时，注意分类讨论思想的应用【训练2设函数f(x)=ax2alnx,其中aR.讨论f(x)的单调性；(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>1e1x在区间(1,十°0)内恒成立仁=2.718x为自然对数的底数).一12a01解(1)fx)=2axx=x(x>0).当a00时，f'x)<0,f(x)在(0,+8)内单调递减.1当a>0时，由fx)=0,有x=12a.此时，当xC |0,j2a 1 时,f'x)<。，f(x)单调递减;

14、当x-k OO) I，时,f'x)>0, f(x)单调递增.(2)令g(x)=(一e1r,s(x)=ex1x.则s'x)=e"11.而当x>1时，s'x)>0,所以S(x)在区间(1,+oo)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时，g(x)>0.当a00,x>1时，f(x)=a(x21)lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+°0)内恒成立时，必有a>0.当0<a<2时，2a>1.由有，/卜(1)=0,而g忘，0，所以此时f(x)>g(x

15、)在区间(1,十°0)内不恒成立.一1一/当a2时，令h(x)=f(x)-g(x)(x>1).32、“I,V111x111x-2x+1x-2x+1当x>1时，hx)=2axx+x2e1>xx+整一x=x2>x2>0.因此，h(x)在区间(1,+8)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时，h(x)=f(x)g(x)>0,即f(x)>g(x)包成立.综上，aj2,+8j考点三存在性问题【例3】已知函数f(x)=ax+lnx(aR).求f(x)的单调区问；(2)设g(x)=x22x+2,若对任意x1C(0,+oo),均存在x260,1使

16、得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.1ax1斛0fx)=a+-=(x>0),xx当a0时，由于x>0,故ax+1>0,f'x)>0,所以f(x)的单调增区间为(0,+oo).当a<0时，由f'x)=0,得x=1.a在区间jo,a止，f'x)>0,在区间1a，+°°止，f'x)<o,所以函数”)的单调递增区间为b，a；单调递减区间为(一：，十".(2)由已知得所求可转化为f(x)max<g(x)max,g(x)=(x1)2+1,x0,1,所以g(x)max2,由知，当a0时,

17、f(x)在(0,+8)上单调递增,值域为R,故不符合题意.当a<0时，f(x)在2，-a卜单调递增，在1,+00卜单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，是fa)=1+ln1j=-1-ln(-a),所以2>1ln(a),解得a<3.e规律方法含参数的能成立(存在型)问题的解题方法：af(x)在区间D上能成立？a>f(x)min；a&f(x)在区间D上能成立？a<f(x)max.【训练3】已知函数f(x)=x(a+1)lnx-x(aeR且a<e),g(x)=|x2+exxex.当xC1,e时,求f(x)的最小值；(2)当a<1时,若存在xee,e

18、2,使得对任意的x22,0,f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+8),/x)=(x1)2*a，.x若a01,当xC1,e时，ffx)>0,则f(x)在1,e上为增函数,f(x)min=f(1)=1a.若1<a<e,当xC1,a时，f'x)&0,f(x)为减函数；当xCa,e时，fx)0,f(x)为增函数.所以f(x)min=f(a)=a(a+1)lna1.综上，当a<1时，f(x)min=1a；当1<a<e时，f(x)min=a(a+1)lna1"由题意知：f(x)(xCe,e2)的

19、最小值小于g(x)(x-2,0)的最小值.由知f(x)在e,e2上单调递增,f(x)min=f(e)=e(a+1),又g'x)=(1ex)x.e当xC2,0时，gx)<0,g(x)为减函数，则g(x)min=g(0)=1,所以e-(a+1)-a<1,ee2e解得a>7H,eiie2-2e)所以a的取值范围为,1.<e+1J出层限时训练I事矍分层训练个提升能力，一、必做题1 .若函数f(x)=x32cx2+x有极值点，则实数c的取值范围为.解析f'x=3x24cx+1,由f'x)=0有两个不同的根，可得A=(-4c)2-12>0,c>中

20、或c<-呼.答案8,号ju但，+co)2 .(2018泰州期末)函数f(x)=x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是解析f'xl=3x23a=3(x2a).当a00时，f'x)>0,f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值.当a>0时，f'x)=3(xya)(x+，a).当xC(oo,g)和h/a,+oo)时，f(x)单调递增;当xC(g)时，f(x)单调递减,所以当g<1,即0Va<1时，f(x)在(0,1)内有最小值.答案(0,1)3.设函数 f(x)=ln x+mm(mC R),若对任意的 b>a>0,f (

21、b) f (a)b a<1包成立,则实数m的取值范围是.f(b)f(a)解析对任意的b>a>0,<1包成立，等价于f(b)b<f(a)a恒成ba设函数h(x)=f(x)x=lnx+x,则h(x)在(0,+°°)上是单调减函数，即h，x)=xm1100在(0,+8)上包成立，得m>x2+x=32，+；(x>0)恒成立，得m>".471所以实数m的取值范围是由+8一、二1、答案4,+°°J4.(2018南通、扬州、淮安、连云港二调)设f(x)=4x3+mx2+(m3)x+n(m,nCR)是R上的单调增

22、函数，则实数m的值为.解析因为f'xl=12x，2mx+(m-3),又函数f(x)是R上的单调增函数，所以22212x+2mx+(m-3)>0在R上恒成立，所以(2m)-4X12(m-3)<0,整理得m12m+36<0,即(m6)200.又因为(m6)20,所以(m6)2=0,所以m=6.答案6一，3x25 .设函数f(x)=x万一2x+5,右对任息的xC1,2,都有f(x)>a,则头数a的取值范围是.解析f'x=3x2x2,令f'x)=0,得3x2x2=0,解得x=1或x=2,又3f(1)=,f-3i=157,f(1)=11,f(2)=7,故f

23、(x)min=7,所以a<7.21327222答案(?7)6 .函数f(x)=x33x1,若对于区间3,2上的任意xi,x2,都有|f(xi)f(x2)gt,则实数t的最小值是.解析因为f'x)=3x23=3(x-1)(x+1),令f'x)=0,得乂=土，可知一1,1为函数的极值点.又f(3)=19,f(1)=1,f(1)=3,f(2)=1,所以在区间3,2上,f(x)max=1,f(x)min=19.由题设知在区I可3,2上,f(x)maxf(x)min&t,从而t120,所以t的最小值是20.答案207 .若函数f(x)=1x3+x22在区间(a,a+5)上存

24、在最小值，则实数a的取值范围是33.解析由题意得f'x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(一8,2),(0,+8)上是增函数，在（一2,0）上是减函数，作出其图象如图所示,令gx3+x22=2，得x=0或x=3,则结合图象可知，3<a<0,S解得aC3,0).a+5>0,答案3,0)8.(2018徐州考前,K拟检测)当乂2,1时，不等式ax3x2+4x+30何成立,则实数a的取值范围是.解析当xC(0,1时，得a»3s一4甘+1,令t=1,则tC1,+8),a>xxxx 3t3-4t2+t,令g(t)=3t34t2+t,tC1,+8),则g&#

25、39;t)(=9t28t+1=(t+1)(9t1),显然在1,+00)上,g't)<0,g(t)单调递减,所以g(t)max=g(1)= 6,因此a>-6;同理，当x-2,0)时，得a<2.由以上两种情况得一6<a< 2,显然当x=0时也成立.故实数a的取值范围为6,-2.答案6,-29 .若函数f(x)=；x3+2x2+2ax在弓，+°°/存在单调递增区间，则a的取值范围是.解析对f(x)求导得fx)=-x2+x+2a1 2I。=-厂2)+4+2a.当xC13，+8口寸，f'xl的最大值为f'tU2+2a.令9+2a&

26、gt;0,解得a>9，99所以a的取值范围是9,+°°j答案9，+°°)10 .已知函数f(x)=aexlnx1.设x=2是f(x)的极值点，求a,并求f(x)的单调区问；(2)证明：当a>；时，f(x)>0.e(1)解f(x)的定义域为(0,+8),f，x)=aex1.x由题设知，f(2)0,所以a=2e2.从而f(x)=2e2exlnx-1,f'x)=2e2exx.当0<x<2时，f'x)<0;当x>2时，f'x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+oo)上单调递

27、增.、,1一.ex(2)证明当a1时，f(x)>-lnx1(x>0).exex1设g(x)=Zlnx-1(x>0),则gx)=-(x>0).eex当0<x<1时，g'x)<0；当x>1时，g'x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时，g(x)>g(1)=0.一一,1-因此，当a>-时，f(x)>0.e11 .已知函数f(x)=xlnxa(x1)2x+1(aR).当a=0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)<0对x(1,+oo)包成立，求a的取值范围.解(1)若a=0,f(x)=x

28、lnxx+1,f'x)=lnx,x(0,1)时,f'x)v0,f(x)为减函数，x(1,+oo)时，x)>0,f(x)为增函数，.f(x)有极小值，f(1)=0,无极大值.(2)f(x)=xlnxa(x1)2x+1<0在(1,+00)恒成立.若a=0,f(x)=xlnxx+1,f'x)=lnx,x(1,+00),f，x)>0,f(x)为增函数，.f(x)>f(1)=0,即f(x)<0不成立，.二a=0不成立.:41,lnx(X"一(:xa”<0在(i,+oo)恒成立，X(x1)(axa+1)不妨设h(x)=lnx-x，xC(1,+00),(x1)(ax+a1)h'x)=-2,x(1,+8),x，/31-ahx)=0,x=1或F-,a若a<0,则与a<1,x>1,h'x)>0,h(x)为增函数，h(x)>h=0(不合题意)；a,1f1a、，,一一一右0<a<2,xJ,a!,hx)>0,h(x)为增函数，h(x)>h(1)=0(不合题息)；-1右a2,x(1,+00),hx)<0,h(x)为减函数，h(x)<h(1)=0(符合题息).，、一，、一，1综上所述，右x>1时，f(x