西工大与西安交大期末复习考研备考自动控制原理3.5 线性系统的稳定性分析2

1、123 3 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法一一稳定性的基本概念稳定性的基本概念二二线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件三三稳定判据稳定判据四四劳思判据的应用劳思判据的应用3根据李亚普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性定义如下：根据李亚普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性定义如下：线性控制系统的稳定性定义线性控制系统的稳定性定义 系统稳定系统稳定：若线性控制系统在：若线性控制系统在初始扰动初始扰动的影响下，动态的影响下，动态过程随时间的推移过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零逐渐衰减并趋于零（原平衡工作（原平衡工作点），则称系统稳定；点），则称系统稳定；系统不稳定系统不稳定：若

2、线性控制系统在：若线性控制系统在初始扰动初始扰动的影响下，动的影响下，动态过程随时间的推移而态过程随时间的推移而发散发散，则称系统不稳定。，则称系统不稳定。0 回顾回顾0)(lim tct负实部的特负实部的特征根征根线性系统稳线性系统稳定定4线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件0 回顾回顾5HurwitzHurwitz稳定判据稳定判据 1352321024242213252302262411200000000nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaa0)(1110 nnnnasasasasDHurwitz行列式行列式0 回顾回顾系统稳定的系统稳定的必要条件

3、必要条件：特征方程式特征方程式各项系数符号相同，且均不为零。各项系数符号相同，且均不为零。系统稳定的系统稳定的充要条件充要条件：各阶各阶Hurwitz行列式行列式 全大于零。全大于零。(1,2,)iDinL6HurwitzHurwitz稳定判据稳定判据 0 回顾回顾7下列说法正确的有若控制系统的输入不同，则稳定性不同控制系统具有一个正实部复根，则不稳定系统有0和其他全负实部根，则稳定初始条件非零，则系统一定不稳定ABCD提交多选题1分林纳德奇帕特稳定判据：林纳德奇帕特稳定判据：系统稳定的系统稳定的充要条件充要条件为：为：A:系统特征方程式各项系数系统特征方程式各项系数符号相同，符号相同，且且均

4、不为零；均不为零；B:奇数阶（或偶数阶）奇数阶（或偶数阶）Hurwitz 行列式行列式均均大于零大于零。特征方程的阶次高特征方程的阶次高Hurwitz判据工作量大；判据工作量大；林纳德林纳德-奇帕特（奇帕特（Lienard-Chipard）证明：）证明：若特征方程式所有系数若特征方程式所有系数同符号同符号且均不为零且均不为零如果如果所有奇次阶所有奇次阶Hurwitz行列式为行列式为正正则则所有偶次阶所有偶次阶Hurwitz行列式亦行列式亦必为正必为正。反之亦然。反之亦然。2 2、 Lienard-ChipardLienard-Chipard稳定判据稳定判据8三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定

5、判据9 1877 1877年劳思年劳思(Routh,(Routh,18311907) )提出根据系统特征方程提出根据系统特征方程式的式的系数系数来确定系统的特征根在来确定系统的特征根在右半平面的个数右半平面的个数，从而判，从而判断系统稳定性断系统稳定性，被称为被称为劳思判据劳思判据。方法方法：根据特征方程的系数，以表：根据特征方程的系数，以表格形式，通过简单计算，得出格形式，通过简单计算，得出劳思劳思表表，由劳思表判断系统的稳定性。，由劳思表判断系统的稳定性。Routh判据：大幅减小计算量。判据：大幅减小计算量。3 3、 RouthRouth稳定判据稳定判据 三、线性系统稳定判据三、线性系统稳

6、定判据设系统的特征方程式：设系统的特征方程式：0)(1110 nnnnasasasasD由此列出由此列出劳思表劳思表：103 3、 RouthRouth稳定判据稳定判据 三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据1302113aaaaac 1504123aaaaac 1706133aaaaac 1323131314ccaacc 1333151324ccaacc O0a2a4a6a1a3a5a7aLLLLL1 nsns2 ns3 ns4 ns2s1s0sMMMM1343171334ccaacc 142413231415cccccc 143413331425cccccc 144413431435cc

7、cccc 1,1 nc1,2 ncnc,1nnac 1,143c44c45c110)(1110 nnnnasasasasD3 3、 RouthRouth稳定判据稳定判据 三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据系统稳定的系统稳定的充要条件充要条件： 特征方程的全部系数均具有相同符号，且均不为零；特征方程的全部系数均具有相同符号，且均不为零； 劳思表中劳思表中第一列各元素第一列各元素的值都大于零。的值都大于零。说明说明： 若第一列元素值出现若第一列元素值出现小于零小于零的数值，系统的数值，系统不稳定不稳定； 第一列元素第一列元素符号改变符号改变的次数，就是系统特征方程的的次数，就是系统特征方程的

8、正实正实部（右）根部（右）根的数目。的数目。123 3、 RouthRouth稳定判据稳定判据 三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据13三个代数判据都有一个必要条件，这个必要条件包括：特征多项式的系数都为正数特征多项式的系数同号特征多项式不能出现0系数特征多项式的系数都为负数ABCD提交多选题1分【例例2 2】若系统特征方程为：若系统特征方程为： ，试用劳思判据分析其稳定性。试用劳思判据分析其稳定性。010532234 ssss解：解：(1)(1)特征方程各项系数特征方程各项系数均为正均为正； (2)(2)计算劳思表：计算劳思表：143 3、 RouthRouth稳定判据稳定判据 三、线性

9、系统稳定判据三、线性系统稳定判据【例例2 2】 劳思表：劳思表：4s745710157 2s3s715231 101s0s10第一列有一个元素第一列有一个元素小于小于 0 0 系统不稳定系统不稳定第一列元素符号第一列元素符号改变两次改变两次 系统有系统有两个右根两个右根103251153 3、 RouthRouth稳定判据稳定判据 三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据【例例3 3】系统闭环传递函数为：系统闭环传递函数为：试用劳思判据分析其稳定性。试用劳思判据分析其稳定性。3019251)(234 ssssss解：解：(1)(1)特征方程特征方程: : (2)(2)计算劳思表：计算劳思表：

10、各项系数各项系数均为正均为正0301925234 ssss163 3、 RouthRouth稳定判据稳定判据 三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据【例例3 3】 劳思表：劳思表：系统稳定系统稳定3014630196306119251913025101234sssss 系统的所有特征根为：系统的所有特征根为：-0.1024 + 4.8532i-0.1024 - 4.8532i-0.3976 + 1.0559i-0.3976 - 1.0559i173 3、 RouthRouth稳定判据稳定判据 三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据180233 ss【例例4 4】分析系统稳定性分析系统稳定性

11、, ,系统特征方程为：系统特征方程为： 劳思表劳思表为：为： 01232031ssss 第二行中第一个元素第二行中第一个元素为零为零，而其余，而其余不全为零不全为零，此时计，此时计算下一行时，将出现算下一行时，将出现，劳思判据，劳思判据无法使用无法使用。4 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据?0043143147210123456sssssss 【例例5 5】分析系统稳定性分析系统稳定性, ,系统特征方程为：系统特征方程为： 劳思表劳思表为：为： 第四行出现了第四行出现了全零行全零行，劳思判据，劳思判据无法使用无法使用

12、。04473223456 ssssss194 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据 用因子用因子 乘以原特征方程（乘以原特征方程（ 为任意正数），为任意正数），然后对然后对新特征方程新特征方程用劳思判据判断。用劳思判据判断。 方法方法1 1：as a情形一：情形一：劳思表中某一行劳思表中某一行首元素为零首元素为零，而其余不全为零，而其余不全为零204 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据2106733)23)(3(2343 sssssss新新劳思表

13、：劳思表：对例对例4 4，用，用 去乘原特征方程，得去乘原特征方程，得新特征方程新特征方程： 3 s6206327363101234sssss 4 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据新新劳思表：劳思表：所以所以：(1)(1)系统不稳定；系统不稳定； (2)(2)系统有两个右根。系统有两个右根。( (原特征方程因式分解原特征方程因式分解得：得： ，有两个右根，有两个右根) ) 6206327363101234sssss 0)2()1(2323 ssss224 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种

14、特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据 用一个小正数用一个小正数 代替代替0 0，继续用劳思判据判断。，继续用劳思判据判断。 方法方法2 2：情形一：情形一：劳思表中某一行劳思表中某一行首元素为零首元素为零，而其余不全为零，而其余不全为零 234 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据 所以所以：(1)(1)第三行第一个元素小于第三行第一个元素小于0 0，系统不稳定，系统不稳定; ; (2) (2)系统有两个右根。系统有两个右根。仍用例仍用例4 4，列出，列出新劳思表新劳思表：223232)(0310123sss

15、s 244 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据 方法方法： 以全零行的上一行的元素为系数构造一个以全零行的上一行的元素为系数构造一个辅助方辅助方程，程，对其对其求导求导，然后用求导后所得方程的系数，然后用求导后所得方程的系数代替代替全全零行元素，然后继续计算下去。零行元素，然后继续计算下去。原因原因：系统特征方程存在一些大小相等、符号相反的根。：系统特征方程存在一些大小相等、符号相反的根。情形二：情形二：劳思表中出现劳思表中出现全零行全零行254 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三

16、、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据26064)(3 sssFdsd4- 3- 1 4- 3- 1 4- 7- 2- 1 456sss ?(-4) ?(-16.7) ?(-4) )46?(- 0(-6) 0(4) 0123ssss用第三行元素为系数构造用第三行元素为系数构造辅助方程辅助方程: : 求导求导: : 用此方程系数用此方程系数替换替换第四行。第四行。对例对例5 5，劳思表：，劳思表： 043)(24 sssF所以，系统有所以，系统有一个一个右根。右根。 4 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据270)4)(1

17、(432224 ssss 由辅助方程由辅助方程: :043)(24 sssF 解得解得: :2;4,32,1 sjs两对大小相等、符号相反的根两对大小相等、符号相反的根4 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据 65432422374434ssssssssMs 其它根的求取：其它根的求取： 21Msss 5,6132js 长除法：长除法：28023)(234 sssssD2)4(0221123101234sssss 解解: : 第四行的第一个元素为零，不应按第四行的第一个元素为零，不应按第一种第一种特殊情况处理，特殊情况处

18、理，而应按而应按第二种第二种特殊情况处理。特殊情况处理。 【例例6 6】：分析系统稳定性：分析系统稳定性, ,系统特征方程为：系统特征方程为： 系统不稳定，系统不稳定，有两个右根。有两个右根。 4 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据2902223 sss)2()4(022110123ssss解解: :属于第二种特殊情况，属于第二种特殊情况，系统不稳定系统不稳定。第一列全大于零，第一列全大于零，系统没有右根系统没有右根。 【例例7 7】：分析系统稳定性：分析系统稳定性, ,系统特征方程为：系统特征方程为： 4 4、 Ro

19、uthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据30022)(2 ssF解之得：解之得：分析辅助方程：分析辅助方程： 所以：所以：系统不稳定系统不稳定是因为系统存在是因为系统存在虚轴虚轴上的上的纯虚根纯虚根，系统是系统是临界稳定临界稳定。js 2,14 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据31当系统特征方程式的各项当系统特征方程式的各项系数符号不相同系数符号不相同，或者有，或者有为零为零的系数时，系统的系数时，系统不稳定不稳定；当劳思表中出现当劳思表中出现两种特殊情况两

20、种特殊情况时，系统时，系统不稳定不稳定；以上两种特殊情况下，如果尚需知道系统有以上两种特殊情况下，如果尚需知道系统有几个右几个右根根，就需用劳思判据。，就需用劳思判据。注意注意： 4 4、 RouthRouth稳定判据的两种特殊情况稳定判据的两种特殊情况三、线性系统稳定判据三、线性系统稳定判据32当已知线性系统特征方程时，劳思判据可以：当已知线性系统特征方程时，劳思判据可以：p 分析分析判断系统的稳定性判断系统的稳定性； p 分析系统分析系统参数变化参数变化对系统稳定性的对系统稳定性的影响影响（参数取（参数取值范围、临界增益）；值范围、临界增益）；p 确定系统的确定系统的相对稳定性相对稳定性。

21、四、劳思判据的四、劳思判据的应用应用【例例8 8】：系统结构图为：系统结构图为 为使系统稳定，试确定的为使系统稳定，试确定的 取值范围。取值范围。K解解：系统特征方程为：系统特征方程为：)125.0)(11.0( sssK)(sR)(sC0)125.0)(11.0( Ksss040401423 Ksss即：即：1 1、系统参数变化对系统稳定性的影响、系统参数变化对系统稳定性的影响33四、劳思判据的四、劳思判据的应用应用【例例8 8】： 劳思表：劳思表：要使系统稳定，需满足要使系统稳定，需满足：解得：解得：KsKsKss401440401440144010123 040014404014KK14

22、0 K341 1、系统参数变化对系统稳定性的影响、系统参数变化对系统稳定性的影响四、劳思判据的四、劳思判据的应用应用线性系统的单位脉冲响应线性系统的单位脉冲响应： 负实部特征根距离虚轴负实部特征根距离虚轴越远越远，系统动态过程就，系统动态过程就越快越快接接近稳定，希望负实部特征根距离虚轴近稳定，希望负实部特征根距离虚轴有一定的距离有一定的距离。 )1cos()(121 teDeAtcrkkktkqjtsjkkj 为此，在为此，在 左半平面作左半平面作垂线垂线 ， 为系统特征为系统特征根与虚轴之间的根与虚轴之间的最小距离最小距离，称为，称为稳定裕度稳定裕度。as sa2 2、确定系统的相对稳定性、确定系统的相对稳定性稳定裕度稳定裕度35四、劳思判据的四、劳思判据的应用应用36方法方法： 用新变量用新变量 代入原特征方程，得到以代入原特征方程，得到以 为为变量的变量的新特征方程新特征方程，对新特征方程应用，对新特征方程应用劳思判据劳思判据。 从而，确定系统的相对稳定性从而，确定系统的相对稳定性稳定裕度稳定裕度。ass 11s2 2、确定系统的相对稳定性、确定系统的相对稳定性稳定裕度稳定裕度四、劳思判据的四、劳思判据的应用应用37s【例例