复数的运算说课稿

1、复数的运算说课稿 林萍萍 2012-10-21一、说教材（一）教材的地位与作用：1、依据新大纲及教材分析，复数四则运算是本章知识的重点。2、新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念，复数的代数形式及几何意义，加减乘除运算及加减的几何意义。因此，复数的概念，复数的代数运算是重点，在教学中要注意与实数运算法则和性质的比较，多采用类比的学习方法，在复数的概念和复数的代数运算的教学中，应避免烦琐的计算，多利用复数的概念解决问题。 3、将实数的运算通性、通法扩充到复数，是对数学知识的一种创新，有利培养学生的学习兴趣和创新精神。（二）学情分析：1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。2

2、、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。4、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。（三）教学目标：1、知识目标：掌握复数代数形式的加、减、乘、除、乘方运算法则。2、能力目标：培养学生运算的能力。3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神。（四）教学重点：复数的概念，复数的代数运算是重点（五）教学难点：复数代数形式的乘、除法法则。教学方法：（六）启发式教学法关键：掌握复数加法、减法的定义和复数相等定义的运用。二、说教法： 1、本节课通过复习整式的运算，复数的运算，通过类比思想体会整式的运算与复数的

3、运算的共性，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。 2、例题的学习，使学生在学会复数运算的基础上归纳计算方法，提高运算能力，归纳、概括能力。三、说学法： 1、复习已学知识，为本节课学习作铺垫。通过对数系学习的回忆，引出课题，激发学生学习动机。 2、让学生板演运算法则，有利于培养学生创新能力和主动实现学习目标。 3、通过例题学会复数的运算，归纳运算简便方法。培养学生归纳问题、转化问题的努力。四、说课过程：（一）、复习提问：1、1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2、与1的关系:

4、就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是3、复数的概念：形如a+bi(a，bR)叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部。4、复数的分类：复数a+bi(a，bR)，当b=0时，就是实数;当b0时，叫做虚数;当a=0，b0时，叫做纯虚数;5、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是a1=a2，b1=b2。6、复数的分类：虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 也没有大小。7、复数的模：若向量表示复数z，则称的模r为复数z的模， ；积或商的模可利用模的性质（1），（2）8、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可

5、用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点（二）类比代数式，引入复数运算：一、复数代数形式的加减运算类似根据代数式的加减法，则复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d

6、)i. 二、复数的加法运算满足交换律和结合律1、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2R).z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.2、 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a

7、3，b1，b2，b3R).(z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(a3+b3)i=(a1+a2)+a3+(b1+b2)+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)+(a2+a3)+(b2+b3)i=a1+(a2+a3)+b1+(b2+b3)i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复

8、数的加法运算满足结合律三、复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i. 与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减). 复平面内的点平面向量2. 复数平面向量3.复数加法的几何意义：设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)(a+c)+(b+d)i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(ac)+(bd)i，所以zz1

9、=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数zz1的差(ac)+(bd)i对应由于，所以，两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)(5-2-3)+(-6-1-4) i=11 i例2计算：(12i)+(2+3i)+(34i)+(4+5i)+(2002+2003i)+(20032004i)解法一：原式=(12+34+2002+2003)+(2+34+5+20032004i)=(2003

10、1001)+(10012004)i=10021003i.解法二：(12i)+(2+3i)=1+i， (34i)+(4+5i)=1+i，(20012002i)+(2002+2003)i=1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(1+i)+(20032004i)=(20031001)+(10012004)i=10021003i例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z2z1=(1+2i)(2+i)=1+i，z的实部a=10，虚部b=10，复数z在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复

11、数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.即所表示的复数是zBzA.，而所表示的复数是zAzB，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关5、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i. 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3C及m,nN*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn,

12、(z1z2)n=z1nz2n.6、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。，7、复数的除法：(a+bi)(c+di)= ，分母实数化是常规方法复数的运算，典型例题精析：例4（1）复数等于( ) A.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 复数=，选C（2）若复数同时满足2，（为虚数单位），则 解：已知；（3）设复数z满足关系，求z；解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得由复数相等可得：，解得，所以设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化

13、。（4）若，解方程解：设x=a+bi (a,bR)代入条件得:,由复数相等的定义可得： ,a=4，b=3，x=4+3i。例4：(1)复数z满足，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A）A直线 B圆 C椭圆 D抛物线解：令z=x+yi（x，yR），则x2+(y+1)2x2+(y1)2=1，y=1/4。故选A。8. 复数的代数式运算技巧：（1）i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1（2） （3）“1”的立方根的性质： 扩充知识：9、特别地， zBzA.，为两点间的距离。z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；， z对应的点的轨迹是一个圆；， z

14、对应的点的轨迹是一个椭圆；， z对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式：11、实系数一元二次方程的根问题：（1）当时，方程有两个实根 。（2）当时，方程有两个共轭虚根，其中 。此时有 且。注意两种题型： 虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：（1）当时，(2)当时， 已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：（1）当时，即，则 即，则 （2）当时，例6（1）计算： 答案：（2）设复数z满足：，求|z|的最大值与最小值；解：|z|的最大值为，最小值为；（3）若，解方程解：设x=a+bi (a,bR)代入条件得:,由复数相等的定义可得： ,a=4，b=3，x=4+3i。(4)设，则复数，在复平面内对应的图形面积为_。解：|u|=|1+i|=|z|，|u|2，故面积S=。【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。例4：已知z=1+i，a，b为实数，(1)若=z2+34,求|; (2)若，求a，b的值。