基于小波变换的APF

1、基于小波变换的APF（用于三相不对称电路）基于瞬时无功功率理论的电流检测方法被广泛应用于电力有源滤波器。仅适合对称的三相三线电路，不适合三相不对称，三相四线和单相电路。小波理论分析1.连续小波变换小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。图是一个Daubechies小波(db10)与正弦波的比较。 傅里叶变换与小波变换基元 正弦波是振幅不变、随时间无限振动的光滑波形，它是傅里叶变换的基础。由图看出，小波是尖锐变化而且是无规则的波形，这是小波变化的基础。因此用小波能更好地刻画信号的局部特性。 在数学上，傅里叶变换的公式为积分是从到。图给出了傅里叶变换的示意图。由图看出，

2、原始信号是由不同的频率成分构成的。 信号 不同频率分量的组成 信号傅里叶变换过程连续小波变换（Continue Wavelet Transform）的数学表示式为式中，为小波；a为尺度因子；b为平移参数。图是小波变换的示意图。由图看出，小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成的。 信号 不同尺度和不同位置小波的组成 信号小波变换示意图小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下的“拉伸”或者“压缩”。图给出了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。小波中的位移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。 不同尺度下小波形状2.离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离

3、散化。这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。离散的目的是减少连续小波变换的信息冗余，同时又要保证反映出信号的特征信息。通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散化公式分别取作，则相应的离散小波函数为:相应的离散小波变换为:其重构公式为C是一个与信号无关的常数。3.二进制小波变换 上面是对尺度参数a和平移参数b进行离散化的要求。为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的非平稳性，需要改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动态采样网格，即，每个网格点对应的尺度为

4、，而平移为。由此得到的小波 二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定有一放大倍数，它对应为观测到信号的某部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数即减小值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即加大值。在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜。二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量仍保持连续变化，因此，二进小波变换不破坏信号咋时间域上的平移不变量，这是它较之离散小波变换所具有的连续的独特优点。 时间域 频率域 短时傅里叶变换 小波变换 （1）小波变换示意图4.MALLAT算法滤波的基本原理Mallat算法在小波分析

5、中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。关于多分辨率分析的理解，以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图 三层多分辨率分析树结构图从图可以明显看出，多分辨率分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频不予以考虑。分解具有关系：.这里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分。以下再分解依次类推。4.1康托尔（Cantor）间断集设,则是一个长度等于1的闭区间，现在将单位长度等分，去掉中间长度为的开区间，剩下的是左、右各长度的闭区间，用表示，则，接着再把中两个长度各为的区间三等分，去掉中间的部分，其长度为的开区间，剩下的是，则，它是

6、由个长度等于的闭区间所构成，如图所示。如此继续分割下去就得到一个无穷嵌套序列,其中是由个长度为的闭区间所组成，这些集的交集用D表示，则，这就是康托尔间断集。因为是由个长度等于的闭区间所组成，它的总长度等于。所以D若是有长度的话，其长度等于如下极限：与闭区间同时存在的是开区间，记为,.不难看出，康托尔间断集中任意两个不同的开区间即交集是空集，说明它们是相互正交的，即为了方便，称下标为康托尔间断集的尺度。4.2康托尔间断集与希尔伯特空间的对应关系 由图易将康托尔间断集与希尔伯特空间H联系起来，建立二者之间的对应关系。为此用H空间的子空间表示康托尔间断集中的。每次去掉的部分用子空间表示，而每次剩余的

7、部分用子空间表示。显然，任意两个不同的开区间与的交集是，意味着它们彼此正交。同时与的交集并不是，因此与并不正交，在尺度为1时，分解为与的直和，即，就是在中的正交补空间，改变尺度继续分割下去就有,可见，就是对空间结构的细节补充。同时就是在尺度下对的基本特征的表现。康托尔间断集与希尔伯特空间的关系4.3康托尔间断集的性质由图可以直观地看出，康托尔间断集有如下性质：1.：即分辨率高的空间包含了分辨率低的空间 全部信息。2.，即。3.如果，则。4.若，则，即康托尔间断集对于函数的平移是不变的。4.4 多分辨率分析多分辨率分析的实质是满足一定条件中的一系列子空间，其定义如下：在空间中的多分辨率分析是指满

8、足下列条件的一空间序列:(1) 单调性：，;(2) 渐进完全性：，；(3) 伸缩性：对任意，则；(4) 平移不变性：，则，;(5) 里兹（Riesz）基存在性：存在函数，使得构成的里兹基，即对任意的，存在唯一的序列,使得。4.4.1空间的标准正交基（尺度函数的引入） 由里兹基得存在性，设，则 (1)其傅里叶变换为 (2) 式中在多分辨分析中，称为尺度函数。由多分辨率分析的性质（3），可以得出空间的标准正交基为，。尺度函数与小波在小波变换中起着重要作用，尺度函数时构造小波的重要途径。4.4.2的正交补空间的标准正交基若，则可构成空间的标准正交基，而由多分辨率分析的伸缩性，空间的标准正交基为，。4

9、.4.3尺度函数的两尺度方程和的性质 尺度函数，当和时有但，所以可以用展开，即 (3)其中 式(3)成为尺度函数的两尺度差分方程。将式(2.3)两边取傅里叶变换， （4）其中称为序列的傅里叶变换。序列或者与之等价的完全决定了多分辨率分析。4.4信号的多分辨率分析 将空间与空间结合起来，就相当于希尔伯特空间H的正交分解，即实际测量的信号，只能得到有限的分辨率，假设对于尺度，该尺度就对应着，然后在空间不断变换尺度进行越来越细的分解，用公式表示如下：4.5 滤波器脉冲系列和设为的多分辨率逼近，由多分辨率理论有 （5）为尺度函数，令，则 （6）是的规范正交基。将代入式（6），的规范正交基也可表示为（7

10、）为小波函数，令，则（8） 是的规范正交基。将代入式(8)，的规范正交基也可表示为 （9） 且 （10） 根据式（10），可以用空间的规范正交基表示空间的基函数，即令，则由内积变成 （11）这正是式(3)中定义的，不过现在是。对任意，上式均成立。所以有（12）将代入上式，就得到等价表示式（13）（14）完全相似地可以得到小波函数的如下关系：（15）（16） （17）脉冲系列和是马拉算法的基础。4.6 二进正交小波分解的物理意义由于为规范的正交基，对不同的，是正交的。所以由不同的所确定的频带是相互独立的。随着的变化，这些相互独立的频带覆盖了整个频率轴。从频谱分析角度看，二进正交小波变换是 把信号

11、分解到一系列相互独立的频带上，分辨率反映了频带的位置和带宽。 在多分辨率分析理论中，是空间的标准正交基，是的标准正交基。信号在空间的正交投影，称为在分辨率为时的细节部分。显然，为在分辨率时的近似信号，它是由分辨率为时的近似部分与细节部分之和构成。综上所述，对二进正交小波分解可表示为如下：（1）当分辨率为时，空间的标准正交基为，则 （18）式中 （19）是带通的，所以是由所确定的带通频带对信号的贡献，提供在分辨率为时的细节部分，而正交展开系数称为离散细节。(2)当分辨率为时，空间的标准正交基为,则（20）式中 （21）它是相对所确定带通频带的相邻低通频带对信号的贡献，称为信号在分辨率为时的近似部

12、分，而是正交展开系数称为离散近似。(3) （22） 它是由所确定的带通频带与比其低且相邻的低通频带之和的一段低通频带队信号的贡献，包含了信号的分辨率为时的近似和细节。 下图说明了（22）的频带关系：和分别是分辨率为时的近似部分和细节部分的频带；而和分别是分辨率为时的近似和细节部分频带。是中的高频部分，是中的低频部分。式（2.22）的频带关系4.7MALLAT算法4.7.1小波分解根据，有（23）与 （24）将式（14）和式（17）定义的和代入式（23）和（24）有 （25）与 （26） 因此，由式（25）有 （27）即 （28）由式（26）有 （29）即 （30） 令，则式（28）与式（30）

13、 （31） （32）上面两式就是小波分解的马拉算法。图表示小波分解的马拉算法，表示抽样，即从到和，样点数减少一半。 小波分解的马拉算法4.7.2小波重构 根据，及与两个正交基之和就是的正交基，有 （33）与小波分解马拉算法推导相同，引入系数和，上式化简为 （34）即 （35） 上式即为小波重构的马拉算法。图为这种算法的示意图，表示内插，即有和到，样点数增加一倍。 小波重构的马拉算法示意如果从信号处理的观点来看，小波分解与重构算法，实质上是一种滤波处理过程。根据信号处理理论，如果一个线性系统的脉冲响应为，则该线性系统对信号的响应可由卷积运算来表示 （36）式 （36）代表了系统对输入信号的滤波处理，由卷积定理得频域关系 （37） 这种滤波处理将包括三种情形：低通滤波，即，；高通滤波，即，；带通滤波，即，及。将其用于离散信号处理有 （38）式（38）与式（31），（32）进行比较可由看出，近似部分分别与序列和作卷积运算，即作滤波处理，不同的是它们的下标顺序与常规的顺序不同。在式（31），（32）中卷积的形式为、。卷积是对所有的值作卷积运算，或者说对而言是全滤波，而、则是对作卷积运算，缺少了的奇数部