圆的性质及与圆有关的位置关系

1、组长签字： 日期： 学员编号： XCAST 年 级：九年级 课时数：3KS 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课日期及时段2016-12 -3117:00-19:00 九年级 圆的性质及与圆有关的位置关系教学目标一圆的有关概念及性质1. 弦、直径及垂径定理 2.弧、弦、圆心角之间的关系 3.圆周角与圆心角的关系二与圆有关的位置关系1.直线与圆的位置关系、切线的性质和判定 2.点与圆的位置关系学习内容知识梳理 一、圆的有关概念及性质（1）圆的有关概念1. 圆心角和圆周角（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆周角，它的度数等于它所对的弧的度数（2） 圆周角：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫

2、做圆周角其性质有：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 （3）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等， 所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦 的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等注意：前

3、提条件是在同圆或等圆中；在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等1. 垂径定理（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2） 推论1：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与

4、勾股定理有：，根据此公式，在，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量 二、点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系（1） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定（2） 设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部点在的外部.点在圆上点在圆上点在上.点在圆内点在圆的内部点在的内部.2.过已知点的圆1. 过已知点的圆（1） 经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个（2） 经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为

5、圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个（3） 过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个（4） 过个点的圆：只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；（2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”（3） 三角形的外接圆及外心1. 三角形的外接圆（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的

6、交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形（2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；（2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.三、直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没

7、有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交（2）切线的性质及判定1. 切线的性质（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心，垂直于切线过切点过圆心，则过切点过切点，垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心2. 切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2） 距离法：和圆心距离

8、等于半径的直线是圆的切线；（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线注意：定理的题设是“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；作垂直，证垂直在圆上 3. 切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长（2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角三、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的

9、内心，这个三角形叫做圆的外切三角形2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系设、分别为中、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中若，则 例题讲解考点一 圆的有关概念及性质（1） 圆周角与圆心角例1.如图，O的半径为4，ABC是O的内接三角形，连接OB、OC。若BAC与BOC互补，则弦BC的长为_. 例2.如图,经过原点O的P与x,y轴分别交于A,B两点,点C是劣弧OB上一点,则ACB=_. 例3.如图，已知AB=AC=AD,CBD=2BDC,BAC=44o，则CAD的度数为_. 变式训练1.(2016南宁

10、)如图，点A，B，C，P在O上，CDOA，CEOB，垂足分别为D，E，DCE=40°，则P的度数为_.  2. 如图,O是ABC的外接圆,连接OA、OB,OBA=50O,则C的度数为(    ) 3、如图，点p是四边形ABCD外接圆O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是O的直径，AB=BC=CD，连接PA,PB,PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=_ 。（2） 垂径定理例1、已知O的半径等于5cm，弦AB=6cm,CD=8cm,且AB/CD,则AB、CD之间的距离为_. 例2、如图，O的半径是2，

11、直线与O相交于A、B两点，M、N是O上的两个动点，且在直线的异侧，若AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（   ）例3、2012烟台如图，AB为O的直径，弦CDAB，垂足为点E，CFAF，且CFCE（1）求证：CF是O的切线；（2）若，求的值 （3） 圆的内接四边形例1.如图，四边形ABCD内接于O，DAB=130O，连接OC。点P是半径OC上任意一点，连接DP、BP，则BPD可能为_度。（写出一个即可）对应训练1.如图，在RTABC中，ABC=90O，点M是AC的中点，以AB为直径作O分别交AC，BM于点D，E。求证：MD=ME。（4） 三角

12、形的外接圆及圆的内接多边形例1.设I为ABC的外心,若BIC=100O,则A的度数是_例2.如图，在O的内接五边形ABCDE中,CAD=35O，则B+E=_. （5） 与相似的综合例1.如图，已知AD是ABC的角平分线，O经过A、B、D三点，过点B作BE/AD，交O于点E，连接ED。（1）求证：ED/AC;（2）若BD=2CD，设EBD的面积为S1，ADC的面积为S2，且S12-16S2+4=0,，求ABC的面积。 考点二 与圆有关的位置关系(1)切线的性质例1.如图, AB是O直径,点 C在O上, AE是O的切线, A为切点,连接 BC并延长

13、交 AE于点 D.若AOC=80°,则ADB的度数为( ) 例2如图所示，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心。若B=25O，则C的大小等于（  ）。对应训练1.如图，PA、RB分别切O于点A、B，若P70°，则C的大小为_度. 2.如图,AB为O的直径,直线l与O相切于点C,垂足为D,AD交O于点E,连接OC、BE.若,则线段DC的长为_.（2）切线长定理例1如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，AD、AB、BC分别与O相切于E、F、G三点，过点D作O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为_. (

14、3)与切线有关的勾股定理和垂径定理的综合1.如图，已知0是以坐标原点0为圆心，1为半径的圆，AOB45°，点P在x轴上运动，若过点P且与04平行的直线与0有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是_. 2.如图在矩形ABCD中，AB8，AD12，过A，D两点的O与BC边相切于点E，则O的半径为_ （4）圆与相似三角形的综合1.如图7，ABC是等腰直角三角形，AC=BC= ，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切与点E，F， 与AB 分别交于点G，H，且 EH 的延长线和 CB 的延长线交于点D，则 CD 的长为    

15、60;      . 2.如图，AB是O的直径，点D是上一点，且BDE=CBE,BD与AE交于点F。（1）求证：BC是O的切线;（2）若BD平分ABE，求证：DE2=DFDB;（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和O的半径。综合题库1 （2012永州）如图，AC是O的直径，PA是O的切线，A为切点，连接PC交O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6求：（1）O的半径；（2）cosBAC的值2 （2012铁岭）如图，O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且CBF=CDB连接AD（1）求证：直线EF是O的切线；（2）若点C是弧AB的中点，sinDAB= ，求CBD的面积3.（2012阜新）如图，在ABC中，BC=3cm，BAC=